第11章 解三角形（单元自测·提升卷）数学苏教版必修第二册

2025-2026学年高一数学单元自测 第11章 解三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．在中，角的对边分别为．若，为中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 4．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 5．已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 6．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 7．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 10．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 11．已知的面积为，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，、、分别是、、的对边，且.则 . 13．的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为 ． 14．如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距 海里.    四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为1，求边的值. 16．（本小题满分15分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 17．（本小题满分15分）如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，，为了方便市民出行，要求公园到的距离为，设. (1)试求的长度关于的函数关系式（的面积）； (2)问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离. 18．（本小题满分17分）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 19．（本小题满分17分）在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第11章 解三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由，则.故选B. 2．在中，角的对边分别为．若，为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据余弦定理，， 所以.故选：B 3．在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】A 【解析】将用余弦定理展开， 得. 由题设，故.故选：A 4．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 【答案】A 【解析】因为是函数的零点，所以, 由余弦定理可得：, 则；故选：A 5．已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】方法一：由条件知， 而由正弦定理得， 而，此时必有，. 方法二：由条件知，由余弦定理和正弦定理有 ， 于是，由得.故选：D. 6．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题知，设，则，， 所以，解得. 所以.故选：B 7．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得，即， 又由余弦定理，可得， 又因为角为锐角，即，所以，即角的取值范围是. 故选：D. 8．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 此三角形面积最大值为.故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 【答案】ABD 【解析】根据正弦定理得，则. 所以的外接圆半径为4，所以C错误D正确； 根据正弦定理可得， 所以，所以A,B正确； 故选：ABD. 10．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 【答案】ACD 【解析】对于A选项，由余弦定理可得， 故，A对； 对于B选项，由余弦定理可得， 因为，故，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，设边上的高为，则，解得，D对. 故选：ACD. 11．已知的面积为，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】利用二倍角公式，将展开： 代入已知条件， 化简得：，选项B正确； 令，则， 因为，则， 若为锐角三角形，则，即，则， 所以，矛盾，故，即， 三角形面积，故，由，得， 而，平方得：， 故，选项A正确； 由勾股定理，，结合（），得：， 代入，解得，即，选项C错误； 由，得，选项D错误. 故选：AB. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，、、分别是、、的对边，且.则 . 【答案】 【解析】， 由，得，即. 将代入分子，得 分子与分母相等，故. 13．的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为 ． 【答案】/ 【解析】由，解得， 设的中点为D，则， 则 ，则， 即边上的中线长为． 14．如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距 海里.    【答案】21 【解析】在中，， 由余弦定理可得，, 即， 化简可得，解得或（舍去）， 所以（海里）， 在中，由余弦定理可得， 所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为1，求边的值. 【解】（1）中，，所以 所以 又，所以， 又因为，所以. （2）因为， 由余弦定理， 将，代入解得， 所以. 16．（本小题满分15分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 【解】（1）因为， 所以. 所以. 由正弦定理，得，即. 因为， 所以. （2） . 因为为锐角三角形，且，所以， 所以，所以， 所以的取值范围为. 17．（本小题满分15分）如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，，为了方便市民出行，要求公园到的距离为，设. (1)试求的长度关于的函数关系式（的面积）； (2)问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离. 【解】（1） 设，如图所示，作于点. 在中，，即， 在中，同理可得. 由题意知，的面积，解得. 将代入上式可得； （2）由（1）知 ， 因为，所以， 所以当，即时，取到最大值1， 此时分母最大，值最小， 最短距离为. 故当时，的长度最短，最短距离为. 18．（本小题满分17分）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 【解】（1）， ， 所以的最小正周期， 令，，解得，， 所以的最小正周期为，单调递增区间为，. （2）已知，则， 即； 因为三角形是锐角三角形，所以，则， 在这个区间内，解得， 依据余弦定理，可得， 即，解得或； 当时，， 此时为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去这种情况； 当时，， 此时为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且， ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件; 根据三角形面积公式，可得， 所以的面积为. 19．（本小题满分17分）在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 【解】（1）因为， 由正弦定理得，， 又由余弦定理得，， 故. （2） 由余弦定理可知，，代入， 可得，解得. 设， ，即， 解得，因此. （3）由余弦定理得，， 即. ，两边平方得. 由正弦定理可知，，故， 因此 ， 又因为是锐角三角形，故，解得， 故，，， 即，则. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第11章 解三角形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知的内角所对的边分别是，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D． 2．在中，角的对边分别为．若，为中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 4．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b是函数的零点，，则（   ） A． B． C．18 D．12 5．已知的面积为2，其外接圆半径为，，则（   ） A． B． C． D． 6．“年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图），设乘客眼睛离地面的距离为，.若在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则北塔高为（    ）    A． B． C． D． 7．的内角的对边分别为，满足，角为锐角，则角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．南宋时期中国数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式.设三角形的三条边长分别为a，b，c，已知三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半.现有一个三角形的边长满足，则此三角形面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则（    ） A． B． C．的外接圆半径为8 D．的外接圆半径为4 10．在中，角、、的对边分别为、、.已知，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．边上的高为 11．已知的面积为，则（　　） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，、、分别是、、的对边，且.则 . 13．的内角的对边分别为的面积为，且，则边上的中线长为 ． 14．如图所示，设港口在灯塔南偏西20°方向上，两地相距24海里；灯塔在灯塔南偏东40°方向上，与港口相距31海里.货船从港口出发，行驶到达两灯塔连线段上的处时，若此时货船恰与灯塔相距20海里，则此时货船与港口相距 海里.    四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）在中，角，，的对边分别为，，，已知. (1)求角； (2)若，的面积为1，求边的值. 16．（本小题满分15分）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且. (1)求角的大小； (2)求的取值范围. 17．（本小题满分15分）如图，某市在两条直线公路上修建地铁站和，，为了方便市民出行，要求公园到的距离为，设. (1)试求的长度关于的函数关系式（的面积）； (2)问当取何值时，才能使的长度最短，并求其最短距离. 18．（本小题满分17分）已知函数. (1)求的最小正周期及单调递增区间； (2)设锐角的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的面积. 19．（本小题满分17分）在中，设角所对的边分别为，已知且. (1)求角； (2)若，求边上的角平分线的长； (3)若为锐角三角形，求边上的中线的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第11章解三角形能力提升（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 6 P B B A D B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 ABD ACD AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1 13.3 14.21 2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 【解】(1)ABC中，A+B+C=元，所以A+B=π-C→sinC=sin(A+B) 所以sin(A+B)-sin(A-B)=√2sinB→2 cos Asin B=√2sinB 又sinB≠0，所以2cosA=√2， 又因为A(0,列，所以4=号 ②》因为5csmA=1=加=25， 由余弦定理A=台b2+c2-a2=V2bc台(b-c2-a2=(2-2bc, 4 将b-c=2√2-1，bc=2√2代入解得a2=5, 所以a=5 16.(本小题满分15分) 【解】(1)因为cos2C=sin2A+cos2B-sin4sinC, 所以1-sin2C=sin2A+1-sin2B-sinAsinC 所以sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC 1/5 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 山正弦定理，得公=心+e2-ac,即cos8=月 因为B∈(0，π)， 所以8-号 (2)cos4+cosB+cosC=-cos(B+C)+cosB+cosC=-cos+C++cosC 3 2 c0sCx+sincx 1 +。+cosC 22 =sincx -+cosC× 11 2 22 =sin C+1 +6十2 0<C<π 因为ABC为锐角三角形，且B=于，所以 0<A= 2-C< 3 2 所以C∈，π 所以C+∈π2红） 3, （6'2 633 sinc+ 6// 所以cosA+cosB+cosC的取值范围为 V3+13 22 17.（本小题满分15分) 【解】(1) D B A O 设0A=a,0B=b,如图所示，作OD⊥AB于点D 在R△0AD中，A0=OD 即a=0.2 .1 sin sin 5sin0' 1 在Rt△OBD中，同理可得b= 5sin(30°-0) 由题意知，408的面积S=×02x1-ab-sinA么50°，解得1-3b 2 将abf代入上式可得1=10sin9sin30°-0 1 0°<0<30）： 1 1 (2)由(1)知10sin0sin(30°-0 10sin0 -sine 2 2/5 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1 5sin0cos0-53sin20 5 2sin20+ 2cos29-5V5 V3 2 1 5sin20+60)-5V5, 2 因为0°<0<30°，所以60°<20+60°<120°， 所以当20+60°=90°，即0=15°时，sin(20+60)取到最大值1， 此时分母最大，1值最小， 1 220+10V34+23 最短距离为 5-5510-55 25 5 2 故当0=15°时，AB的长度最短，最短距离为4+25 5 18.(本小题满分17分) (1)f(x)=cosx+2sin xcosx-sinx=(cos2x+sin2 x)(cos2x-sin2x)+2sin xcosx, -cos2x++ 2 +2co25sm2x+}】 所以f,的最小正周期T=2红 2 =π， 令2-受≤2+≤2x+号keZ,解得kr- 2 4 ≤x≤m+π， 8 +8,kez, 所以f)的最小正周期为π，单调递增区间为kx-3江， 2已知+=1，则5m2号爱+孕 )+)=1. 即54+名+-5s+径-1m4+设 12 2 因为三角形是锐角三角形，所以0<4<受：则侣<4+语<设， 1212 在这个区间内A+5亚=3江，解得A=3弧5江=， 12-4 4123' 依据余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos A,可得(N192=52+c2-2×5c×cosT 3 即19=25+c2-5c→(c-2)(c-3)=0,解得c=2或c=3; 当c=2时，cosB=+c2-b-19+2-51 <0 2ac 2×V19×2219 此时∠B为钝角，不符合题干锐角三角形的条件，舍去c=2这种情况： 3/5 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当c=3时，cosB=+c2-B2-19+32-5.1 >0, 2ac 2×V19×3219 此时∠B为锐角，符合题干锐角三角形的条件，且c0sC=。2+2-c2-35 2ab 10vig>0, ∠C也为锐角，故△ABC为锐角三角形，符合题干条件； 根据三角形面积公式S=)besinA,可得S=x5×3sin”=155 2 34 所以ABC的面积为15V5 4 19.(本小题满分17分) 【解】(1)因为sin2B+sin2C-sin2A=sin Bsin C, 由正弦定理得，b2+c2-a2=bc, 又由余弦定理得，cosA=b2+c2-a=bc。1 2bc=2bc=2' 故A-号 (2) D 由余弦定理可知，osA6+c-a-b+c2c-Q=代入a=V3,b+c2 2be 2bc 可得4-26c-3.1 2bc 2'解得bc=1 3 设AD=x,:SAABC=S△ABD+S△ACD 2 “32 621 1246+cr= t, 解得x=5,因此AD= 6 6 (3)由余弦定理得，cosA=+c2-a62+c2-31 2bc 2bc2 即b2+c2=bc+3 2AD=AB+AC,两边平方得4|ADP=ABP+|ACP+2AB·AC=b2+c2+bC=2bC+3 b =2 由正弦定理可知，sin B sinC sin A√3，故b=2sinB,c=2sinC, 2 4/5 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 因此2c+3:8s血85mC+3-8sn8sn-8+3=8s8r5co+n+3 3 =4sim Bcos B+4sinB+32sin2B+4.-cos2B+3=25sim2B-2cos2B+5 2 =4sin28. -c0s2B·)+5=4sin(2B-)+5, 1 2 2 6 0<B< 又因为ABC是锐角三角形，故 -8解得58 2 2 0<C= 6 2, 故2B-名eg爱，sm2B-爱e(小，4sn26-爱+5e(.91, 66'6 6 61 即4而e9,测0： 5/5