第11章 解三角形（单元自测·基础卷）数学苏教版必修第二册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高一数学单元自测 第11章解三角形基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 6 P D A B D C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 10 11 BC AC AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.5 14.72 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分》 【解】(1)在ABC中，S= 因为s-号-c2in4,即csnA=传8-ein4, 且0°<A<180°，则sinA>0, 则bc=b2-2c2,即(b-2c(b+c=0, 又因为b+c>0,则b-2c=0,即b=2c (2)若a=√7c,则a2=7c2,且b=2c, 由余弦定理可得cosA=+c-0-4c+c2-1c2-, 2be 4c2 且0°<A<180°，所以A=120° 16.(本小题满分15分) 【解】)由2sinC+6 及正弦定理得V3sinC+cosC= sin B+sin C 6 sin A ..3 sin Asin C+sin A cos C=sin B+sin C sin(A+C)+sin C, 1/5 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ..3sin Asin C=cos Asin C+sin C, :Ce0.小，nC=0.5im4-cos4=1,即2sn4君=1白sm4 又：A∈(0，)，A-亚∈（刀 π5π、 6 、66 :Aπ、 ，A=3 66 A(2)由题可知CD=3,BD=3，∠CA=<B1D=汇 6 2a 在△ACD,△ABD中由正弦定理得3=6 ①，3 6② πsinC sin 元sinB sin 6 6 ①-②得)-sinB 2 sinC c ,即c=2b: SABC =SAACD+RD Ibexsinx6xb-sinx 6xcxsin 32 62 6 .3bc=6b+6c,.23b2=6b+12b,.b=3V3, a2=b2+c2-2 becos A=b2+4b2-4b2x=362, a=V3b=9. C a 、3 D 2a b 6 B 17.(本小题满分15分) 【解】(1)由题图知， T3πππ 2442’ 所以最小正周期为T=π， 所以0=2红=2红=2 Tπ 又=2m2x导*p=2. 即2x+0=+2km,k∈Z,得0=2kr,k∈Z, 4 2 又因为子<0< 元 所以p=0. 2/5 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以fx=2sin2x. (2)由(1)知fx)=2sin2x, 所以g(x=fx+=2sim2x+ 12 6 由g(A=2sim2A+ =1, 、6 因为A是ABC的内角， 所2+8区） 所以21+后-装，符4-号 由余弦定理，得3=c2+b2-2bc×≥2bc-bc=bc, 所以bc≤3，当且仅当b=c=√5时，等号成立， 因此，4BC的面积为S=)besind≤×3x5_35 2 24 即A8C的面积的最大值为3V5 4 18.(本小题满分17分) 【解】(1)由正弦定理得，a=2 RsinA,.b=2 RsinB,c=2 RsinC, .bcosC+3csinB =1+2c,a =1, .sinBcosC+3sinCsinB sinA+2sinC, 由三角形内角和知，B+C=180°-A,则sin4=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,代入后化简： 3sinCsinB cosBsinC +2sinC, :sinC≠0， ..3 sin B cos B+2,3 sin B-cos B=2, 3sin B-cos B=2sin(B-30)=2, .sinB-30）=1, 0<B<180°，.B-30=90°→B=120. 3/5 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)在ABC中，由正弦定理得AC=b= sin B 5 q= in∠BAC 2sin∠BAC AC AD,:AD= 5 2sin∠BAC ∠B=120°，LDCB=LB,.∠DCB=120°， 在△ACD中，∠ACD=∠DCB-∠ACB=120°-(60°-∠BAC)=60+∠BAC, AC=AD, :△ACD是等腰三角形，∠ACD=∠ADC=60°+∠BAC, ∠CAD=180°-2(60+∠BAC=60°-2∠BAC, 由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD cos∠CAD, p3=沙-2o6w-2a4cl-am2Bcl-omw-24B4c 2sin2∠BAC=1-cos60°-2LBAC）=2sin2(30°-∠BAC）, :∠BAC和30°-∠BAC均为锐角，正弦为正， ∴sin∠BAC=sin(30°-∠BAC,即∠BAC=30°-∠BAC,解得∠BAC=15°， .∠CAD=60°-2∠BAC=30°， CD 由正弦定理得2R=。 -5=25,解得R=5: sin∠CAD1 2 :△ACD的外接圆半径为R=√5. 19.(本小题满分17分) 【解】ID设WVn4D=E,则OE=OMos∠MOD=5,ME=O6in∠MOD 1 3 圆BN=AGEA0+OB=1+，mN=ME+AB 改m-号w9w (2)设∠MOD=0,0∈[0，π，MN AD=E, MN sin+1,BN AE cos+1 )msindcosn 2 令m8+cos0==5n0+},则sn0cos0=. 2 4/5 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 e0+[则0到 所以x∈(-1，v2 4 即三角形PMN面积的最大值为3+22 4 M A D P B N 5/5………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元自测 第11章 解三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 4．在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 8.在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（    ） A． B． C． D． 的外接圆的半径为2 11．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．若，则是等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若的面积，则是等腰直角三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，已知，且，则 ． 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 14．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 16.（本小题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 18．（本小题满分17分）在中，角的对边分别为，且．    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 19．（本小题满分17分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边． (1)设，求三角形铁皮的面积； (2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值． 参考公式： 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第11章 解三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为.故选：D 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦定理得，，即， 所以根据正弦定理有.故选：C. 3．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以.故选：A 4．在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【解析】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意； 所以的两个解均成立.根据三角形内角和定理，所以或.故选：A 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【解析】由，设， 所以C是的最大内角．因为， 所以，所以C是锐角，则是锐角三角形．故选：A. 6．位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【解析】如图，，，由正弦定理得，， 所以.故此时甲船距离灯塔海里.故选：B. 7．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，由余弦定理得：， 又因为，所以， 在中，由正弦定理得：，即，解得.故选：D 8.在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在中，，边上的高等于， ∴， 由余弦定理得：， 故，∴.故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】BC 【解析】∵， ∴由余弦定理得：， 即， ∵三角形有两解，∴方程有两个不相等的正根， ∴， 解得：，结合选项可得B，C正确，故选：BC. 10．记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（    ） A． B． C． D． 的外接圆的半径为2 【答案】AC 【解析】对于A，由三角形的面积公式得，A项正确； 对于B，由余弦定理得，所以，B项错误； 对于C，由正弦定理得，C项正确； 对于D，设的外接圆的半径为，所以，则，D项错误. 故选：AC. 11．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．若，则是等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若的面积，则是等腰直角三角形 【答案】AD 【解析】对于A：当时，因为，又因为单调递减，所以， 当时，因为，又因为单调递减，所以， 所以“”是“”的充要条件，故A正确； 对于B：若，由正弦定理可得，所以， 故或，即或，故是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：当，满足，则最大角为， 由余弦定理得，因此角是锐角，且为最大角， 此时是锐角三角形与C选项的结论矛盾，C错误； 对于D：的面积，则， 则，且，，所以， 所以当且仅当时取等号成立，则是等腰直角三角形，D选项正确； 故选：AD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，已知，且，则 ． 【答案】2 【解析】由正弦定理得：，由， 所以，即，所以， 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 【答案】/ 【解析】由， 根据正弦定理，得， 则， 则， 在中，，则，即， 又，所以，则. 14．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米． 【答案】72 【解析】设直线与交于点，则， 由题意，，， 又，且，代入解得， 从而， 进而， 所以塔高米． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 【解】（1）在中，， 因为，即， 且，则， 则，即， 又因为，则，即. （2）若，则，且， 由余弦定理可得， 且，所以. 16.（本小题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 【解】（1）由及正弦定理得， ∴， ∴， ∵，∴，即， 又∵，， ∴，∴； （2）由题可知，， 在中由正弦定理得①，②， ①÷②得，即． 又，∴， ∴，∴，∴， ∴， ∴． 17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 【解】（1）由题图知，， 所以最小正周期为， 所以． 又， 即，，得，， 又因为， 所以． 所以． （2）由（1）知， 所以． 由， 得． 因为是的内角， 所以， 所以，得． 由余弦定理，得， 所以，当且仅当时，等号成立， 因此，的面积为， 即的面积的最大值为． 18．（本小题满分17分）在中，角的对边分别为，且．    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 【解】（1）由正弦定理得，， ，， ， 由三角形内角和知，，则，代入后化简： ， ， ，即， ， ， ，． （2）在中，由正弦定理得， ，， ，，， 在中，， ， 是等腰三角形，， ， 由余弦定理得， 即， ， 和均为锐角，正弦为正， ，即，解得， ， 由正弦定理得，解得， 的外接圆半径为． 19．（本小题满分17分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边． (1)设，求三角形铁皮的面积； (2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值． 参考公式： 【解】（1）设，则， 则，， 故； （2）设，，， 则， ， 令，则， ，，则，所以 ， 即三角形面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学单元自测 第11章 解三角形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在中，已知，，则外接圆的半径为（    ） A．6 B．3 C． D． 2．在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 4．在中，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 5．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 6．位于某海域的甲船发现，在其北偏东方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东方向行驶海里之后，发现该灯塔在正东方向，那么此时甲船距离灯塔（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 7．如图，在中，已知，D是BC边上的一点，，，，则（    ） A． B． C． D． 8.在中，，边上的高等于，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知的内角的对边分别为．若三角形有两解，则边的取值可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 10．记 的内角的对边分别为，其面积为，已知，则（    ） A． B． C． D． 的外接圆的半径为2 11．在中，角所对的边分别为，则下列命题正确的是（     ） A．“”是“”的充要条件 B．若，则是等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若的面积，则是等腰直角三角形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在中，已知，且，则 ． 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 . 14．某同学为测量学校附近山上信号塔的高度（塔底视为点，塔顶视为点），在山脚下选取了两点，（其中，，，四点在同一个铅垂平面内），在点处测得点的仰角为，在点处测得点、的仰角分别为，测得米，则按此法测得的塔高为 米． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，. (1)证明：； (2)若，求内角A的大小. 16.（本小题满分15分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若D为边上一点，，，平分，求a． 17．（本小题满分15分）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，在中，内角，，所对的边分别是，，．若，，求面积的最大值． 18．（本小题满分17分）在中，角的对边分别为，且．    (1)求的大小； (2)如图所示，为外一点，，，求外接圆半径的长． 19．（本小题满分17分）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边． (1)设，求三角形铁皮的面积； (2)设为，请用函数表示铁皮三角形的面积，并求出面积的最大值． 参考公式： 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $