第6章 一次方程组（复习讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

第6章 一次方程组（复习讲义） 1.了解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，体会二元一次方程组各知识点之间的整体联系。 2.熟练掌握代入消元法、加减消元法，能灵活处理含参数、同解、整数解等特殊方程组。 3.理解并利用二元一次方程组解决实际问题，掌握审题、设元、列方程组、解方程组、检验和作答的基本步骤，能运用基本公式分析和解决问题。 【知识点01:二元一次方程(组)的定义】 1.二元一次方程：含有 2 个未知数，未知数的项的次数是 1的整式方程，形式为ax+by=c（a、b不同时为 0）。 2.二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，需满足所有方程均为二元一次方程，且未知数种类一致。 3.注意： 含未知数的项次数必须为 1（如x2+y=3不是二元一次方程）； 方程必须是整式方程（如+y=2不是二元一次方程） 【知识点02:二元一次方程(组)的解】 1.二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解，其解可表示为（t为任意实数）。 2.二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，通常只有唯一一组解（特殊情况有无数组解或无解）。 3.注意：若是方程组的解，则代入所有方程均成立，可用于求参数值。 【知识点03:二元一次方程组的解法】 1.代入消元法： 步骤：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一个方程消元，求解后回代得解。 适用场景：其中一个方程可快速变形为x=ay+b或y=ax+b的形式。 2.加减消元法： 步骤：通过等式性质使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，相加或相减消元，求解后回代得解。 适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或便于通分。 3.特殊解法：整体代入法（如方程组中两方程相加 / 减可直接得到x+y或x−y的值）。 【知识点04.二元一次方程组的应用】 1.常见题型： 增长率问题（内销、出口收入增长）； 购物问题（两种商品的数量与总价）； 运输问题（车皮数量与货物运输量）； 几何问题（坐标对称、图形面积）； 新定义问题（“繁花数”“风月同天数”“树人数” 等）。 2.解题步骤： 设未知数（明确未知量的含义）； 列方程组（根据题意找等量关系）； 解方程组（选择合适的消元法）； 验根（检验解是否符合实际意义）。 题型一 二元一次方程（组）的概念 【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键． 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可． 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列方程中，二元一次方程的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先判断选项中方程是否含有两个未知数并且未知数的次数都是1，用排除法求出答案． 【详解】解：① 属于二元二次方程，故不符合题意； ②符合二元一次方程的定义，故符合题意； ③不属于整式方程，故不符合题意； ④属于二元二次方程，故不符合题意； ⑤符合二元一次方程的定义，故符合题意； ⑥属于三元一次方程，故不符合题意． 故选． 【点睛】本题主要考查的是二元一次方程的概念，解题过程中需要注意的是熟练掌握二元一次方程的形式和特点：含有2个未知数以及未知数的次数都是1的整式方程． 【变式1-2】下列各式中，为二元一次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，符合题意； B、有3个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选A． 题型二 二元一次方程（组）的解 【例2】下列各组数值中，哪组是二元一次方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．将每个选项中的x和y值代入方程，验证是否等于． 【详解】解：A、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意； B、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意； C、把代入方程得，是方程的解，符合题意； D、把代入方程得，不是方程的解，不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】方程组的解的情况是 ． 【答案】 无解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 通过比较两个方程即可得到结论． 【详解】解：对于方程组 ， 观察两个方程，左边均为 ，但右边分别为 和 ， 由于 ，因此方程组矛盾，无解． 故答案为：无解． 【变式2-2】在①②③中， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程的解， 是二元一次方程组的解．（填序号） 【答案】 ①③ ②③ ③ 【分析】本题考查二元一次方程组解的概念，明确二元一次方程组的解是同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值是解题的关键． 根据定义，分别把三组方程的解代入二元一次方程验证判定即可． 【详解】解：将代入方程成立，②代入得，方程不成立， 将代入方程成立，①代入，方程不成立， 将①②③分别代入，只有③能够使得方程组的等式成立． 故答案为：①③；②③；③． 题型三 解二元一次方程组 【例3】解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键在于正确掌握消元法． 将原方程组整理为，再利用加减消元法求解，即可解题． 【详解】解：， 整理得， 由得：， 解得， 将代入②中得：， 解得， 方程组的解为． 【变式3-1】解方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． （2）解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 【变式3-2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解二元一次方程组，熟练掌握解一元一次方程的步骤，消元法解二元一次方程组是解题的关键： （1）去分母，去括号，移项，合并，系数化为1进行求解即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴． 题型四 二元一次方程组之错解复原问题 【例4】在解关于、的方程组时，甲同学正确解得，乙同学把看错了，得到的解为，那么的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可． 【详解】解：将甲同学的解代入方程组：得 解得： 将乙同学的解代入第一个方程得 联立①和③解方程组： 解得： 因此 故答案为：． 【变式4-1】下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：得……第一步 得……第二步 ……第三步 将代入①得……第四步 所以，原方程组的解为……第五步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做________消元法，其中第一步的依据是________； (2)第________开始出现错误，这步的正确结果应为________； (3)直接写出该方程组的正确解：________． 【答案】(1)加减，等式的基本性质 (2)二， (3) 【分析】（1）根据题中的求解通过将两个方程相加或相减消去一个未知数的方法可判断出该方法是加减消元法，方程①两边同时乘以2，是根据等式的基本性质：等式两边同时乘同一个数，等式仍然成立； （2）观察题中的解题步骤发现在第二步“得”出现错误，由于合并同类项错误导致计算问题，正确结果应为； （3）根据上述分析从第二步开始重新计算即可得出结果． 【详解】（1）解：根据解方程的基本特征，判定为加减消元法，第一步是利用等式的基本性质变形得到， 故答案为：加减，等式的基本性质． （2）解：∵得， ∴第二步错误，正确结果应为， 故答案为：二，． （3）解：， 由得，， 得，， 将代入①得，， ∴原方程组的解为． 【变式4-2】（1）解方程组：； （2）小明在解方程组，具体解法如下： 解： 得：③（第一步） 得：④（第二步） 得：（第三步） 所以： 将代入①得：（第四步） 所以这个方程组的解是． 任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做___________（填“代入消元法”或“加减消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据是___________； 任务2：以上解答过程从第___________步开始出现错误，具体错误是___________； 任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是___________． 【答案】（1） （2）任务1：加减消元法，等式的性质 任务2：三，时合并同类项计算出错 任务3： 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算即可． 【详解】解：（1） ，得 ， ，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 解得， ∴原方程组的解为． （2）任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做加减消元法，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：加减消元法，等式的性质； 任务2： 第三步出现错误，原因是时，合并同类项计算出错； 故答案为：三；时合并同类项计算出错． 任务3： 得：③ 得：④ 得： 所以： 将代入①，得 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 题型五 二元一次方程组的应用之古代问题 【例5】今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 【答案】1只雀重斤，1只燕重斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可． 【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤， 根据题意得：，解得， 即1只雀重斤，1只燕重斤． 【变式5-1】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行．问人与车各多少？设共有人，y辆车，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；根据题意，每3人坐一车有2辆空车，可得；每2人坐一车有9人步行，可得，据此对照选项即可． 【详解】解：设共有x人，y辆车， 由题意得：， 故选：C． 【变式5-2】列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 用一根绳子去量一根木条，绳子剩余7尺可知：绳子比木条长7尺，得：，绳子对折后比木条短1尺，得：．组成方程组求解即可． 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 题型六 二元一次方程组的应用之几何问题 【例6】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过设小长方形的长和宽为未知数，依据盒子底面的长建立长与宽的关系式，再分别表示出两块阴影部分的周长，最后求和化简得出结果． 【详解】解：设小长方形卡片的长为，宽为． 由图②中盒子底面的长可知，小长方形的长与两个宽的和等于盒子底面的长， 即． 左边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 右边阴影部分：长为，宽为，其周长为． 将两块阴影部分的周长相加并化简： 故选A 【点睛】本题解题关键是通过设未知数建立小长方形长与宽的关系，再利用长方形周长公式表示阴影部分周长，最后通过化简消去未知数得到结果，体现了代数方法在几何问题中的应用． 【变式6-1】如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据，，求出，最后把m、n代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 【变式6-2】综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系． 【素材】如图． ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯． 【实践操作】如图． 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为； 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计） 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高 ； (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数． 【答案】(1)2 (2)放入4个大球，6个小球 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键． （1）根据“3个小球使水面上升”列式计算； （2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解． 【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，． 故答案为：2； （2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高， 设放入x个大球，y个小球， 根据题意，得， 解得， 答：放入4个大球，6个小球． 题型七 二元一次方程组的应用之销售问题 【例7】七年级某班参与“多彩校园文艺晚会”的表演，需要为学生购置表演服装．经了解，男款服装每套100元，女款服装每套130元，购买50套表演服装共需5870元．该班购买的男款服装和女款服装各多少套? 【答案】男款服装21套，女款服装29套 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设购买的男款服装x套，则女款服装套，根据购买套演出服共需5870元，列方程求解即可． 【详解】解：设购买的男款服装x套，则女款服装套， 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：该班购买的男演出服套和女演出服套． 【变式7-1】某旅行社组织甲、乙两个公司的部分员工赴某景点游览，其中预订的一类门票、二类门票的数量和所花费用如表： 一类门票张 二类门票张 费用元 甲公司 乙公司 根据上表给出的信息，求一类门票和二类门票的单价． 【答案】一类门票的单价为元，二类门票的单价为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意列出等式是解题的关键．设一类门票的单价为元，二类门票的单价为元，分别利用甲乙两公司的费用列方程组求解即可． 【详解】解：设一类门票的单价为元，二类门票的单价为元， 则有， 解得， 答：一类门票的单价为元，二类门票的单价为元． 【变式7-2】运动会结束后八（1）班班主任准备购买一批明信片，用来奖励积极参与运动会各个比赛项目的学生，计划花180元购买A，B两种明信片共20盒．已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元． (1)甲同学根据上述信息，列出了尚不完整的方程请你在横线上填上具体的数字，并说明a，b分别表示的含义． (2)乙同学设x表示购买了A种明信片的盒数，y表示购买了B种明信片的盒数．请你帮他列出方程组并计算购买A种明信片和B种明信片各多少盒． 【答案】(1)；；表示买种明信片花的总钱数，表示买种明信片花的总钱数． (2)购买了种明信片盒，种明信片盒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． （1）由已知条件补全方程组，根据总价÷单价=数量即可得出，分别表示的含义； （2）根据种盒数种盒数，种盒数单价种盒数单价，由此列方程组求解即可． 【详解】（1）解：，；表示买种明信片花的总钱数，表示买种明信片花的总钱数． 从等量关系式入手分析，由“”、“”可知，、分别表示两种明信片的单价，而依等量关系式可知：总价÷单价=数量，便知表示种明信片的总价，表示种明信片的总价，则方程组补充为： （2）解：根据题意，得 解得 答：购买了种明信片盒，种明信片盒． 题型八 二元一次方程组的应用之方案问题 【例8】2023年8月，吉林省农博会在长春举行，某校组织学生去农博会参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问：甲、乙两种型号客车各租多少辆？ 【答案】租用甲型车5辆，乙型车10辆 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键． 设租用甲型车辆，乙型车辆，根据租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，再建立方程组解题即可． 【详解】解：设租用甲型车辆，乙型车辆， 根据题意，得， 解得， 答：租用甲型车5辆，乙型车10辆． 【变式8-1】综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)一共花费180元 (2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； （2）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：（元）． 答：一共花费180元． （2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个． 根据题意得， 解得； 答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个． （3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 根据题意得， ． ，均为正整数，且，， 或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个． 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个． 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 【变式8-2】随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用．某社区超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售．据了解，2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元． (1)求A，B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (2)若该超市计划正好用200元购进A，B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计购买方案； (3)若该超市销售1个型玩具可获利8元，销售1个型玩具可获利5元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元 (2)共有3种购买方案，方案一；购进型玩具6个，型玩具5个；方案二：购进型玩具4个，型玩具10个；方案三：购进型玩具2个，型玩具15个 (3)购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元，根据“2个型玩具、3个型玩具的进价共计80元，3个型玩具、2个型玩具的进价共计95元”即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个，根据题意可得，再由m，n均为正整数，即可得出结论； （3）分别将三个方案的利润求出，再进行比较即可． 【详解】（1）解：设型玩具每个的进价为元，型玩具每个的进价为元， 由题意，得 解得， 答：型玩具每个的进价为25元，型玩具每个的进价为10元； （2）设购进型玩具个，购进型玩具个， 由题意，得， 解得， 因为m，n均为正整数， 所以或或， 所以共有3种购买方案， 方案一：购进型玩具6个，型玩具5个； 方案二：购进型玩具4个，型玩具10个； 方案三：购进型玩具2个，型玩具15个； （3）方案一可获得利润：（元）， 方案二可获得利润：（元）， 方案三可获得利润：（元）， 因为， 所以购进型玩具2个，型玩具15个获利最大，最大利润为91元． 题型九 二元一次方程组的应用之分配问题 【变式8-1】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 【变式8-2】根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是从分书情境中找出图书数量与学生人数之间的等量关系． （1）找出情境中的量，结合分书的两种分配方式梳理等量关系； （2）根据设出的未知数，对应等量关系列出方程． 【详解】（1）解：涉及的量是图书的本数、学生的人数； 等量关系为：图书数学生数；图书数学生数 （2）解：∵图书有本，学生有人， 由“每人分6本，剩40本”得：； 由“每人分8本，缺50本”得：． ∴． 【变式8-3】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 基础巩固通关测 一、单选题 1．下列六个方程组中，是二元一次方程组的有（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可． 【详解】解：①方程组中的方程不是整式方程，故方程组不是二元一次方程组； ②方程组中的方程不是一次方程，故方程组不是二元一次方程组； ③方程组中含有三个未知数，故方程组不是二元一次方程组； ④方程组是二元一次方程组； ⑥方程组是二元一次方程组； ⑦方程组是二元一次方程组； ∴二元一次方程组有④⑤⑥，共3个， 故选：C． 2．若关于，的二元一次方程有一个解是，．则的值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握将方程的解代入方程可得到关于未知参数的方程是解题的关键． 将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 故选：A． 3．用代入消元法解方程组时，消去y，可将第一个方程变形为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握将方程变形为用一个未知数表示另一个未知数的形式是解题的关键． 根据代入消元法的要求，将第一个方程变形为用表示的形式，从而消去． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 4．若，是关于、的二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把的值代入已知方程计算即可求出的值． 【详解】解：∵ 是方程 的解， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， 故选：A． 5．我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又差三钱．问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组． 根据“人出七，盈二”表示总钱数比货物总价多2钱，可得；根据“人出六，不足三”表示总钱数比货物总价少3钱，可得． 【详解】解：∵每人出7钱，多2钱， ∴； ∵每人出6钱，差3钱， ∴； ∴可列方程组为． 故选：B． 二、填空题 6．把方程变形为用x表示y的形式： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．把当成常数，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 7．若是关于，的二元一次方程的解，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握“将方程的解代入方程可构造关于未知参数的方程”是解题的关键． 将方程的解代入原二元一次方程，得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 是方程的解， ， 解得， 故答案为：1． 8．二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用代入消元法解方程组即可得到答案． 【详解】解： 把①代入②得，解得， ∴原方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题 9．解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法． （1）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入①，即可求解； （2）根据代入消元法，将②变形为：代入①即可求得，再将代入③，即可求解． 【详解】（1）解：由②，得， 把代入①，得，解得． 把代入①，得， 所以原方程组的解是 （2）由②，得，③ 把②代入①，得，解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为 10．小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为的小正方形． (1)图2中间阴影小正方形的边长为_____； (2)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程为_____，由图2可列二元一次方程为_____； (3)求每个小长方形的面积． 【答案】(1)3 (2)，； (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及长方形的面积，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式结合平方根的定义求解即可； （2）根据设每个小长方形的长为，宽为，根据长方形对边相等列二元一次方程组求解即可． （3）求出、，即可得出每个小长方形的面积. 【详解】（1）解：设阴影小正方形的边长为，依题意得： ，解得：，（负值不合题意已经舍去） （2）设每个小长方形的长为，宽为， 则由图1可列二元一次方程为， 由图2可列二元一次方程为. （3）设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 答：每个小长方形面积为． 11．共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作做出了应有的贡献．某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水．这种矿泉水有大箱和小箱两种包装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 【答案】大箱：24，小箱：10 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题，设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水，根据题意列出方程组并求解即可得到答案． 【详解】解：设大箱每箱装瓶矿泉水，小箱每箱装瓶矿泉水， 依题意得， 解得． 答：大箱每箱装24瓶矿泉水，小箱每箱装10瓶矿泉水． 能力提升进阶练 一、单选题 1．若单项式与是同类项，则a，b的值分别是（    ） A．3，1 B．－3，1 C．3，－1 D．－3，－1 【答案】A 【分析】本题考查同类项的定义、解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法、同类项的定义是解答本题的关键． 两个单项式为同类项，则对应字母的指数相等，据此列出关于和的方程组并求解. 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴ 由①得：③， 将③代入②得：， 解得， 将代入③得：， ∴方程组的解为 故，的值分别为， 故选：A． 2．若关于，的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解二元一次方程组，相反数的定义，掌握方程的解法和相反数的定义是解题的关键． 由与互为相反数，可得，代入到方程组中得到、的值，进而可得的值． 【详解】解： 与互为相反数， ， 将代入中得：， 解得， ， 将，代入中得：， 解得， 故选：A． 3．已知关于，的方程组，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 先求出，进而根据求解即可． 【详解】解：， 得， ∵， ∴， 解得：． 故选：C． 4．某铁路桥长，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了，整列火车完全在桥上的时间共．设火车的速度为 ，火车的长度为，则所列方程组正确的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据火车过桥问题，从开始上桥到完全过桥，火车行驶距离为桥长加车长；完全在桥上时，火车行驶距离为桥长减车长. 利用速度、时间和距离关系列方程． 【详解】解：设火车的速度为，长度为， ∵ 从开始上桥到完全过桥用时，行驶距离为， ． ∵ 完全在桥上用时，行驶距离为， ． 因此，方程组为． 故选：B． 5．爸爸今年34岁，子女两人的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍与哥哥的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．哥哥和妹妹今年的年龄分别是（   ） A．9岁、7岁 B．10岁、6岁 C．12岁、4岁 D．12岁、6岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁，根据年龄和与两年后的条件列方程组求解． 【详解】解：设哥哥今年年龄为岁，妹妹为岁 ∵ 今年子女年龄和， 两年后爸爸年龄为岁， 且， 化简得：， 联立方程： ， ② − ①得：， ， 代入①得：. 故原方程组的解为 ∴ 哥哥岁，妹妹岁； 故选：B. 6．已知关于x，y二元一次方程组的解满足，则的值为（  ） A．0 B．2 C．-2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．由①②得，故，进而推断出，再求解即可． 【详解】解：． ①②，得． ． 又关于，的二元一次方程组的解满足， ． ． 故选：B． 7．若关于x，y的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：由题意得，两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 则． 故选：D． 8．已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题 9．已知，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，绝对值的非负性和平方的非负性等知识点，根据绝对值的非负性和平方的非负性，列出关于x和y的方程组，解方程组即可． 【详解】解：由非负数的性质，得，， 解方程组，将两式相减，得，， 即， 解得， 代入第二式，得，， 解得， 故答案为：，． 10．小宇准备制作数盏如图①所示的仿古灯笼，他用图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，最终制成图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼，现有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完，则的值为 （用含a，b的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了几何问题(二元一次方程组的应用) ，解题关键是找准等量关系． 先根据题意，列出关于x，y的方程组，再将两个方程组相加后两边都除以5即可． 【详解】解：∵有张长方形宣纸和张正方形宣纸，若做出竖式灯笼x个、横式灯笼y个，恰好将宣纸用完， ∴， ∴两式相加，得， ∴， 故答案为：． 11．关于x、y的方程组的解是，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的特殊解法．把原方程化为，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 而关于，的方程组的解是， ∴， 解得：； 故答案为：． 12．加密是保障数据安全的一种方式，明文通过加密规则加密成密文．某加密规则为：明文对应加密文，如明文对应加密文．若接收到的加密文为，则发送的明文是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设明文为，由加密规则得方程组，解此方程组即可得明文，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设明文为，由加密规则得方程组： ， 解得：， ∴明文为：， 故答案为： 三、解答题 13．方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】4 【分析】本题考查同解方程组，将两个方程组中不含参数的两个方程组成新的方程组，求解后，代入两个含参方程组成的方程组中，进行求解即可． 【详解】解：∵方程组与方程组的解相同， ∴方程组和的解也相同， 解，得， 把代入，得， 故． 14．已知满足方程组的x，y的值的和等于2，试求m、x、y的值． 【答案】，， 【分析】本题考查二元一次方程组的解，二元一次方程组的解法，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．把两个方程相减得到，再建立方程组，求出m的值，即可求出m、x、y的值． 【详解】解：， ①②得：， ∴， 解得， ∴． 15．阅读下列材料，善于思考的小红在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程②变形，即③，把①代入③得． 解得，把代入①得，所以原方程组的解为 请你运用以上方法解决下列问题： (1)模仿小红的方法解方程组 (2)已知x，y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整体代换法解方程组，解题的关键是读懂题意，明确整体思想． （1）仿照小红的方法把②变形得：，把①代入求y，进而求x即可； （2）由①得： ③，再把②变形得到④，再将③代入求出 ，进而代入求值即可． 【详解】（1）解：把②变形得：， ③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 所以原方程组的解； （2）由①得： ③， 由②得：④， 把③代入④得： ， 解得：， 把代入得： ． 16．府谷是中国黄米之乡，其香味独特，营养丰富，含有人体所需的多种维生素和氨基酸．某超市以5元/千克的价格购进一批府谷黄米，由于销量良好，该超市又以4.5元/千克的价格再次购进同一种府谷黄米，这样该超市两次购进府谷黄米共600千克，超市花去2800元． (1)求该超市两次分别购买了多少千克府谷黄米？ (2)在销售中，尽管两次进货的价格不同，但超市仍以相同的价格售出，若第一次购进的府谷黄米有3%的损耗，第二次购进的府谷黄米有5%的损耗，并且在销售过程中的其他成本共计392元，如果该超市希望售完这些府谷黄米共获得1400元的利润，求该超市每千克府谷黄米的售价． 【答案】(1)第一次购买了200千克府谷黄米，第二次购买了400千克府谷黄米 (2)该超市每千克府谷黄米的售价为8元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意列出方程求解是解题的关键． （1）设第一次购买了x千克府谷黄米，则第二次购买了（）千克府谷黄米，根据两次购买的总费用为2800元建立方程求解即可； （2）设该超市每千克售价应定为m元，根据利润等于总销售额减去总成本建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购买了x千克，则第二次购买了（）千克府谷黄米． 根据题意，得， 解得． 所以． 答：第一次购买了200千克府谷黄米，第二次购买了400千克府谷黄米． （2）解：设该超市每千克售价定为m元． 根据题意，得． 解得． 答：该超市每千克府谷黄米的售价为8元． 17．某校在体育商城三次购买某种型号足球与篮球若干，购买数量与价格如表所示，其中第三次购买时巧遇商城做促销活动，该种型号的足球与篮球都打n折销售． 购物次数 足球数量 篮球数量 购买总费用/元 第一次 8 6 1240 第二次 5 7 1100 第三次 10 12 1200 (1)分别求该种型号的足球与篮球的标价． (2)求n的值． (3)若该校第四次购买该种型号足球与篮球（足球，篮球都要有），且折扣与第三次购买时相同，共花去960元，则该校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)该种型号的足球、篮球的标价分别为80元、100元 (2)n的值是6 (3)有三种购买方案，即购买足球5个，篮球12个或购买足球10个，篮球8个或购买足球15个，篮球4个 【分析】此题重点考查二元一次方程组、一元一次方程的应用，正确地用代数式表示购买足球所需要的钱数与购买篮球所需要的钱数是解题的关键． （1）设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元，根据题意列方程组求出x、y的值即可； （2）按打n折计算，根据题意列方程列方程，解方程求出n的值即可； （3）设第四次购买a个足球、b个篮球，根据题意得，由a、b都是正整数，求出方程的解即可得出购买足球和篮球的个数，确定出购买方案． 【详解】（1）解：设该种型号的足球、篮球的标价分别为x元、y元， 根据题意得， 解得， 答：该种型号的足球、篮球的标价分别为80元、100元； （2）解：根据题意得， 解得， 答：n的值是6； （3）解：设第四次购买a个足球、b个篮球， 根据题意得，即， 整理得， ∵a、b都是正整数， ∴或或， 答：有三种购买方案，即购买足球5个，篮球12个或购买足球10个，篮球8个或购买足球15个，篮球4个． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第6章一次方程组（复习讲义) 单元目标聚焦·明核心 1.了解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的意义，体会二元一次方程组各知识点之间的整体联 系。 2熟练掌握代入消元法、加减消元法，能灵活处理含参数、同解、整数解等特殊方程组。 3理解并利用二元一次方程组解决实际问题，掌握审题、设元、列方程组、解方程组、检验和作答的基 本步骤，能运用基本公式分析和解决问题。 知识图谱梳理，因基础 一次方程组定义：由几个一次方程组成的方程组 二元一次方程组：含2个未知数，未知项次数为1 核心概念O 三元一次方程组：含3个未知数，未知项次数为1 方程组的解：同时满足所有方程的未知数的值 一 代入消元法● 二元一次方程组解法。 加减消元法● 解法O 核心思路：消元（三元→二元→一元） 三元一次方程组解法0 步骤：选两方程消同一元→得二元方程组→求解→回代求第三元 设未知数（直接设/间接设） 找等量关系列方程组 解题步骤。 解方程组 检验（符合实际意义） 实际应用O 作答 常见题型：行程问题、工程问题、利润问题、调配问题 消元时漏乘常数项 移项忘记变号 易错点提醒O 解三元方程组时消元目标不明确 实际问题中忽略解的合理性检验 教材要点精析·夯重点 【知识点01：二元一次方程（组细）的定义】 1.二元一次方程：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程，形式为ax+byc(a、b不同时为 0)。 2.二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，需满足所有方程均为二元一次方程，且 未知数种类一致。 3.注意： 含未知数的项次数必须为1（如x2+y=3不是二元一次方程）； 1/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方程必须是整式方程（如是+y=2不是二元一次方程） 【知识点02：二元一次方程（组）的解】 【X=t 1.二元一次方程的解：使方程左右两边相等的一对未知数的值，有无数组解，其解可表示为y=( 为任意实数)。 2.二元一次方程组的解：方程组中所有方程的公共解，通常只有唯一一组解（特殊情况有无数组解或无解）。 3注意：半仔=日是方程组的解，则代入所有方程均成意。可用于求参数位。 【知识点03：二元一次方程组的解法】 1.代入消元法： 步骤：将一个方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数，代入另一个方程消元，求解后回代得 解。 适用场景：其中一个方程可快速变形为x=ay+b或y=ax+b的形式。 2.加减消元法： 步骤：通过等式性质使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，相加或相减消元，求解后回代得解。 适用场景：两个方程中同一未知数的系数成倍数关系或便于通分。 3.特殊解法：整体代入法（如方程组中两方程相加/减可直接得到x+y或xy的值）。 【知识点04.二元一次方程组的应用】 1.常见题型： 增长率问题（内销、出口收入增长）； 购物问题（两种商品的数量与总价）； 运输问题（车皮数量与货物运输量）； 几何问题（坐标对称、图形面积）； 新定义问题(“繁花数“风月同天数“树人数”等)。 2.解题步骤： 设未知数（明确未知量的含义）； 列方程组（根据题意找等量关系）； 解方程组（选择合适的消元法）； 验根（检验解是否符合实际意义）。 2/13 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 考点题型突破·拓思维 题型一二元一次方程（组）的概念 【例1】下列方程组中，是二元一次方程组的是() (x+y=5 x-2y=4 （x-y=1 2x+y=3 A.xy=6 B. 是+合=5 C. (x+3y=4 D. (x十z=4 【变式1-1】下列方程中，二元一次方程的个数为() ①xy=1;②2x=3y;③x-吉=2；④x2+y=3;⑤=3y-1⑥x-y+z=0. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【变式1-2】下列各式中，为二元一次方程的是() A.4x+3y-9=0 B.2x+y+3z=4 C.x+号=6 D.3x-xy+20=0 题型二二元一次方程（组）的解 【例2】下列各组数值中，哪组是二元一次方程2x+y=10的解() （x=-2 (x=4 (x=3 X=-6 A.1y=6 B.y=3 c. (y=4 D. y=2 2x-y=1 【变式21】方程组2x-y=一3的解的情况是 x=2, x=1,（x=-1, 【变式2-2】在① y=1②y=1,®{y=4 中， 是二元一次方程x+y=3的解， x+y=3, 是二元一次方程3x+2y=5的解， 是二元一次方程组3x+2y=5的解.（填序号) 题型三解二元一次方程组 号-学 【例3】解方程组： 2(x-y)=8-3y 【变式3-1】解方程组： |y=2x-3 (012x+y=5 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 多-岁=1 (2)3x+2y=10 【变式3-2】解方程： )学-5=-1 （x-y=1 (2)13x+2y=8 题型四二元一次方程组之错解复原问题 ∫ax+by=22 X=3 【例4】在解关于x、y的方程组cx+7y=8时，甲同学正确解得y=2,乙同学把c看错了，得到 ∫x=-2 的解为y=6，那么a一b+c的值为 【变式4-1】下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 2x-3y=-4① 解方程组： 4x-5y=-20② 解：①×2得4x-6y=-8③.第一步 ②-③得-y=-12第二步 y=12..…第三步 将y=12代入①得x=16.第四步 (X=16 所以，原方程组的解为y=12第五步 ()这种求解二元一次方程组的方法叫做 消元法，其中第一步的依据是 (2)第 开始出现错误，这步的正确结果应为 (3)直接写出该方程组的正确解： x-y=1 【变式4-2】(1)解方程组： 5x+2y=4; 2m-3n=-2① (2)小明在解方程组 3m+2n=10(② 具体解法如下： 解： ①×3得：6m-9n=-6③（第 步) ②×2得：6m+4n=20④（第二步） ④-③得：-5n=26(第三步) 4/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所以：n=-碧 将n=-碧代入①得：m=-号（第四 步) m=-号 所以这个方程组的解是 =-9 任务1：这种求解二元一次方程组的解法叫做 (填“代入消元法”或“加减消元法”)，以上求解 步骤中，第一步的依据是 任务2：以上解答过程从第 步开始出现错误，具体错误是 任务3：请直接写出该二元一次方程组的正确解是 题型五二元一次方程组的应用之古代问题 【例5】今有五雀、六燕，集称之衡.雀俱重，燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并雀、燕重一斤.问： 雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其 中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同.已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重 多少？ 【变式5-1】我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九 人步.问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果 每2人坐一辆车，那么有9人需要步行.问人与车各多少？设共有x人，y辆车，则可列方程组为() (3(y-2)=x (3(y+2)=x3(y-2)=x A.12y-9=x B. 2y+9=xC.{2y+9=x D 3(y+2)=x (2y-9=x 【变式5-2】列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？” 译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比 木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 题型六二元一次方程组的应用之几何问题 【例6】把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面长为8，宽为7的长方 5/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 形盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则②中两块阴影部分周长的和为() 8 图① 图② A.28 B.26 C.24 D.22 【变式6-1】如图所示，是我校七(1)、(2)两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型.两块边长为 n(m>n)的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分S1,S2分别表示七(1)、七(2)两个班级的基 地面积.若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则1一S2=一· m S 【变式6-2】综合与实践 【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系 【素材】如图. 单位：cm 放入3个体积 相同的小球 26 放入2个体积 相同的大球 32 ①若干个体积相同的大球和体积相同的小球； ②原始水面高度是26cm的高为55cm的圆柱形烧杯. 【实践操作】如图 步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为32cm: 6/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为32cm, (误差均忽略不计) 【实践探索】 (1)放入一个小球水面升高_cm: (2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为50cm,求放入大球和小球的个数. 题型七二元一次方程组的应用之销售问题 【例7】七年级某班参与“多彩校园文艺晚会”的表演，需要为学生购置表演服装.经了解，男款服装每套100 元，女款服装每套130元，购买50套表演服装共需5870元.该班购买的男款服装和女款服装各多少套？ 【变式7-1】某旅行社组织甲、乙两个公司的部分员工赴某景点游览，其中预订的一类门票、二类门票的数 量和所花费用如表： 类门票/ 二类门票/ 费用/ 张 张 元 甲公司 2 5 1800 乙公司 1 6 1600 根据上表给出的信息，求一类门票和二类门票的单价 【变式7-2】运动会结束后八(1)班班主任准备购买一批明信片，用来奖励积极参与运动会各个比赛项目 的学生，计划花180元购买A,B两种明信片共20盒.已知A种明信片每盒12元，B种明信片每盒8元. (a+b= ①)甲同学根据上述信息，列出了尚不完整的方程是+号 请你在横线上填上具体的数 字，并说明a,b分别表示的含义. (②)乙同学设x表示购买了A种明信片的盒数，y表示购买了B种明信片的盒数.请你帮他列出方程组并计 算购买A种明信片和B种明信片各多少盒. 题型八二元一次方程组的应用之方案问题 【例8】2023年8月，吉林省农博会在长春举行，某校组织学生去农博会参观学习.己知该校租用甲、乙 两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元，问： 甲、乙两种型号客车各租多少辆？ 【变式8-1】综合与实践 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 某学校组织爱心义卖，八(1)班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2 元.为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和 玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案。 【变式8-2】随着“低碳生活，绿色环保”理念的普及，新型降解环保塑料在社会生活中被广泛使用.某社区 超市计划购进一批用新型降解环保塑料制作的玩具进行销售.据了解，2个A型玩具、3个B型玩具的进价 共计80元，3个A型玩具、2个B型玩具的进价共计95元. (1)求A,B两种型号的玩具每个的进价分别为多少元； (②)若该超市计划正好用200元购进A,B两种型号的玩具（两种型号的玩具均购买），请你帮助该超市设计 购买方案； (3)若该超市销售1个A型玩具可获利8元，销售1个B型玩具可获利5元，在(2)中的购买方案中，哪种 方案获利最大？最大利润为多少元？ 题型九二元一次方程组的应用之分配问题 【变式8-1】某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍.如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果 每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍.设宿舍有x间，学生有y人. (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【变式8-2】根据题意列方程组：将一批图书分给了若千名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8 本，则还缺50本.共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎祥的等量关系？ (②)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 【变式8-3】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片， 一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套 ()应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中 留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别 出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需 要分出多少人生产B镜片？ 分层阶梯训练·提能力 基础巩固通关测 一、单选题 1.下列六个方程组中，是二元一次方程组的有() ∫是+y=1 「y=9 (x-y=2(x+12y=4(x=2 ①16x-6y=-9:②x+2y=16:®{z-3y=4:@17x-9y=5:⑤y=3:⑥ x=y-3 (x+1=4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.若关于x,y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是x=2,y=1.则a的值为() A.5 B.4 C.3 D.2 2x-y=5 3.用代入消元法解方程组(3x+4y=2时，消去”，可将第一个方程变形为(） A.y=2x+5B.y=2x-5 c.x=岁 D.x=字 【x=3 4.若y=-3,是关于xy的二元一次方程ax-y=15的-个解，则a的值为(） A.4 B.-4 C.6 D.-6 5.我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出七，盈二；人出六， 不足三.问人数、物价各几何？”本题意思是：今有人合伙购物，每人出七钱，会多二钱；每人出六钱，又 差三钱.问人数、货物总价各多少？设人数为x人，货物总价为y钱，可列方程组为() (y=7x+2 (y=7x-2 (y=7x-2 （y=7x+2 A.{y=6x+3B. (y=6x+3 C y=6x-3 D.1y=6x-3 二、填空题 6.把方程2x一y=3变形为用x表示y的形式：y= 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (x=1 7.若y=-2是关于x,y的二元一次方程mx-y=3的解，则m=一 X=3 8.二元一次方程组2x-y=8的解是一 三、解答题 9.解下列二元一次方程组： |x+y=4@ (012x-y=5② 3x-2)-2y-1)=5① (2) 2x+y=-1② 10.小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图1；小红看见了，说： “我也来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成了如图2那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是面积为 9cm2的小正方形. 图1 图2 (1)图2中间阴影小正方形的边长为 cm; (2)设每一个小长方形的长为xcm,宽为ycm,则由图1可列二元一次方程为，由图2可列二元一次 方程为； (3)求每个小长方形的面积. 11.共青团蓬溪县委响应“绿水青山，就是金山银山”号召，许多志愿者都加入了植树造林活动，为环保工作 做出了应有的贡献.某天，县环保局和林业局给他们准备了一些矿泉水，这种矿泉水有大箱和小箱两种包 装，3大箱，2小箱共92瓶；5大箱，3小箱共150瓶，问大箱、小箱每箱各装多少瓶矿泉水？ 能力提升进阶练 一、单选题 1.若单项式2x2ya+b与-xaby4是同类项，则a,b的值分别是() A.3,1 B.-3,1 C.3,-1 D.-3,-1 10/13