专题1.4 整式的乘法（3大考点+10大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题1.4整式的乘法 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点01单项式与单项式相乘 知识点02单项式与多项式相乘 知识清单 知识点0了多项式与多项式相乘 题型01计算单项式乘单项式 题型02计算单项式乘多项式 题型0了计算多项式杀多项式 整式的乘法 题型04已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型05整式乘法混合运算 题型精讲 题型06多项式乘多项式一化简求值 题型07(X+p)(X+q)型多项式乘法 题型08多项式乘法中的规律性问题 题型09整式乘法与图形面积 题型I0整式运算中的新定义型问题 强化训练 教学目标、教学重难点 1掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，理解其算理。 教学目标 2.能熟练运用法则进行整式乘法运算，并掌握与幂的运算性质的综合运用。 3.通过几何图形面积解释乘法法则，体会数形结合思想，发展代数推理能力。 1.重点： (1)准确掌握多项式乘多项式的运算法则（特别是二项式相乘），并能展开和化简 (2)熟练运用分配律进行单项式与多项式的乘法运算，确保符号和系数的准确性 教学重难点 2.难点： (1)多项式乘法中各项的“不漏乘”与正确合并同类项，尤其是涉及多个字母和负号时. (2)理解不同法则之间的内在联系，并能在综合运算中灵活选择和应用 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 知识清单 知识点01单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母， 连同它的指数作为积的一个因式： 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数 相加混淆； ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式： ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 【即学即练】1.(25-26七年级下·全国课后作业)计算： 04r(←y)y3. (2)(-4xy)(-xy)+(-3xy2)2. (3)(-3abc)(-a2c3)2.(-5a2b) 2.(25-26八年级上青海西宁期中)先化简，再求值：(-3ax-2a2x2）+7(ax)°.a2x)-a'x5,其中 x=-2,a=-1. 知识点02单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(a+b+c)m=am+bm+cm 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同： ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； ③在混合运算时，要注意运算顺序 【即学即练】3.(25-26八年级上·四川凉山期末)化简： oGx-小-12列 (2)-2ab)3a2-2ab-4b2） 3到j3w-42+1 2/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4(2526七年级上上海期中)先化简，再求值：父-x2+2列-3x2+6x-小，其中x=多 知识点03多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项 式项数的积： ②多项式相乘的结果应注意合并同类项： ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个 因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(+a)和(+b)相乘可以得到. 【即学即练】5.(25-26七年级下·全国课后作业)计算： (1)川a-1(a-2)-aa-5: (2)3x(x+2)-(x+1)3x-4). 6.（25-26八年级上吉林松原期中)已知多项式A=2x+5)(3x-4)-1-2x2+x. (I)化简多项式A: (2)若4x2+5x=10,求A的值. 题型精讲 题型01计算单项式乘单项式 【典例1】（25-26七年级下，全国·课后作业)计算： (1)4x·3y: (2)(-2x)-3x2y). 【变式1】(25-26七年级下，全国·课后作业)计算： ()(-3xy2）+(-4xy）-xy: (2)2xy2-3xy2)+5xy2）(-xy). 【变式2】(25-26七年级下.全国课后作业)计算： (1)ab(-a)2; 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②wgj (3)2y-(4', -jw. 【变式3】(25-26七年级下，全国·课后作业)计算： ()(-a(-a·a3 2-则r.4w； ④-3a2a6(o8 题型02计算单项式乘多项式 【典例2】(24-25七年级下·全国课后作业)计算： 002-c-26)+2a8。 (2)(2a3b2-3a2b-4a)-2b. 【变式1】(25-26八年级上北京期中)先化简，再求值：3a(2a2-4a+3)-2a2(3a-4),其中a=- 【变式2】(25-26七年级下·全国课后作业)计算： (1)x(y-5)+y(4-x; (2)x-xy)2-xx2y2+y: (3)aa-4b)-2b(2a+3b); (4a(a2-ab+b2）+b(a2-ab+b2）. 【变式3】(25-26七年级上上海月考)先化简，再求值：a+3a6-2ab)ab-3ab,其中 2 4 a=1,b=-1 题型03计算多项式乘多项式 【典例3】(25-26七年级下·全国课后作业)计算： (1)(x+3y2x-y); (2)(-3x+2b)(2x-4b). 4/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(25-26八年级上全国·课后作业)计算： (1)a3-a+a-1(a+2). (2)5m2-(m-2)(3m+1-2(m+1)(m-5). 【变式2】（25-26八年级上全国·随堂练习)计算： (1)x-1)(x+4): (2x-2y)(5x+3y); (3)m-n)(m2+mn+n2): (4)2x-13x2+2x+1. 题型04己已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例4】(25-26七年级上·上海期中)已知关于x的整式x2-mx+n与x-2的乘积中不含x2项和x项， 则mN= 【变式1】(25-26八年级上·天津蓟州·月考)若代数式(x2+x(x2-2x+m展开后不含2项，求m的值 是 【变式2】(25-26八年级上四川眉山期中)己知代数式A=x2+mx-3,B=2x+n. (I)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为-6，求m、n的值； (2)在(1)的条件下，求(m+n)(m2-mn+n2)的值 【变式3】(25-26八年级上四川资阳期中)若x2+px +28(x2-3x+g)的展开式中不含和x的项 3 (1)求P、9的值： (2)求代数式(-2p2q)°+6pg3+p2024g2025的值。 题型05整式乘法混合运算 【典例5】(25-26八年级上·全国·单元测试)计算： (1)(x2y3)+(-x).(-2y4)3 (2)(a+3)(a-2)-(a3+a2)÷a 【变式1】(25-26八年级上·全国期中)计算： (1)0-3y)4x2y-2xy): (2)a+2)(a+3)+2a6÷a4; 【变式2】(25-26七年级上上海期中)计算： (0-2x2y°+(-x3)'(-y)2y 5/15 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)2a-5b)3a2-2ab+b2】 (3)(x+2y)(y-2)+(2y-4x)(y+1 【变式3】(2024八年级上全国专题练习)计算： ()-x2-y+y2）-xy); 2-2ab2）°(3a2b-2ab-4b2）: ej4-*2 (4)2mn(-2mn-3n(mn+m'n+m'n2). 题型06多项式乘多项式一一化简求值 【典例6】(25-26八年级上贵州遵义期中)先化简，再求值：(a+b)(-2a+b)-b(b-2a,其中 a=1,b=2 【变式1】（25-26八年级上陕西榆林期末)先化简，再求值：(x+2y)(x-y)-(x)'÷x+2y2.其中 ts? y=9. 【变式2】(24-25八年级上新疆乌鲁木齐月考)先化简.再求值：(3a+1)(2a2-4a-2a2(3a-4),其中 a=-2. 【变式3】(25-26八年级上山东德州月考)化简求值：（2x2+y)(x-3y)-x2x2+y-3y),其中x=-1, y=1. 题型07(x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例7】(25-26八年级上江西上饶期中)观察下列各式： ①(x+2)(x+3)=x2+5x+6; ②(x+2)(x-3)=x2-x-6; ③(x-2)(x+3)=x2+x-6; ④(x-2)(x-3)=x2-5x+6. 请回答下列问题： (1)总结公式：(x+a)(x+b)=x2+_x+ab; (2)已知a,b,m均为整数，且(x+a)(x+b)=x2+mx+5,求m的值. 【变式1】(25-26七年级下湖南张家界期末)回答下列问题： (1)计算：①(x+2)x+3)=: 6/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②(x-5x-6)=; ③(x+2)(x-5)=. (2)总结公式：(x+a)(x+b)=· (3)由(2)的公式，直接写出下列计算的结果： ①(x+1(x+3)=；②(x-2)x-3)=; (4)已知a,b,m均为整数，且(x+a(x+b)=x2+mx+6,求m的所有可能值： 【变式2】(25-26八年级上海南海口月考)(1)计算下列式子： ①(x+2)(x+3)= ②(x-2(x-3)= ③(x+2(x-3)= ④x-2)x+3)= (2)从上面的计算中总结出规律：（x+a(x+b)= (3)运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①(x+4)(x+7）= ； ②m-5)(m+2)= ③x-1)(x-3)= @+月 【变式3】(2425八年级上·广东湛江·月考)根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式 与多项式相乘的法则，得到：(a+b)(p+q)=ap+g+b(p+q.再利用单项式与多项式相乘的法则，得： (a+b(p+q)=ap+ag+bp+bg. 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 2 b ap bp aq bq 【任务1】计算下列各式： (1)(x+2)(x+3)= (2)(x-4(x+1)= (3)y+4)(y-2)= (4)(y-5)(y-3)= 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释. (x+p)(x+9)=()+()x+()】 【任务3】如果(x+p)x+q=x2+mx+8其中m,p,q均为整数，求m的值. 题型O8多项式乘法中的规律性问题 【典例8】(25-26七年级上·河北保定·月考)我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表 是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”. ......(a+b)=a+b .(a+b)2=a2+2ab+b2 .(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b …(a+b)4=a+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 此图揭示了（α+b)”(n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为 ； (2)(a+b)2”展开式中共有 项，第19项系数为 (3)根据上面的规律，写出(a+b)‘的展开式： (4)利用上面的规律计算：35-5×34+10×33-10×32+5×3-1； 【变式1】(25-26八年级上·河南信阳月考)观察下列各式. (x-1(x+1=x2-1 (x-1x2+x+1=x3-1 (x-1)(x3+x2+x+1=x4-1 (1)根据以上规律，则(x-1(x6+x+x+x3+x2+x+1= (2)你能否由此归纳出一般规律(x-1)(x”+x-1+…+x+1= (3)根据以上规律求：52024+52023+5202+…+52+5的结果。 【变式2】(25-26八年级上·辽宁大连·期末)观察下列等式： 152=225=100×1×2+25, 252=625=100×2×3+25, 352=1225=100×3×4+25, (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空：752=一； (②)规律表示：设两位数的十位上的数字为m,个位上数字为5，m为整数，且0<m<10,用含m的等式表 8/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 示上述运算的一般规律为_： (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：36×34=1224,41×49=2009,52×58=3016， 67×63=4221,.·他发现结果也存在类似的运算规律.若设其中一个两位数十位上的数字为α，个位上的 数字为b(其中α，b为小于10的正整数)，请你用含字母a,b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所 学知识说明你的结论的正确性： 【变式3】(25-26八年级上广西南宁·月考)阅读：在计算(x-1)(x”+x+x-2+…+x+1)的过程中，我 们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类 问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般.如下所示： 【观察】①x-1)(x+1)=x2-1: ②(x-1(x2+x+1=x3-1: ③(x-1x3+x2+x+1=x4-1: 【归纳】 (1)由此可得(x-1)x”+x-1+x”-2+…+x+1= ； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： (2)计算22025+22024+22023+…+22+2+1的值 (3)若x3+x4+x3+x2+x+1=0,求x225的值， 题型09整式乘法与图形面积 【典例9】(25-26八年级上·陕西榆林期末)书籍是人类进步的阶梯：为了爱护书籍，人们常用封皮进行 包裹.现有一本数学课本（如图1），其长为28cm、宽为20.5cm、厚为1cm.小军用一张长方形纸（如图 2)包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边 长(Cm)即为折叠进去的宽度.请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） 20.5cm 28cm 封面 封底 厚1cm 图1 图2 (①)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为 cm,宽为 cm; (②)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域)的总面积， 【变式1】(25-26八年级上陕西延安月考)如图，某小区有一块长(3a+2b)m,宽(2a+b)m的长方形空 9/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为am的小路 (图中空白部分)· 3a+2b 2a+b Q (I)用含a,b的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含Q,b的代数式表示铺设地砖的面积（化 为最简)； (3)若a=2,b=3,预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【变式2】(25-26八年级上·贵州黔西期末)如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺 应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自 然融为一体.如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m)· a+3b a+2b -3a-b 2a+3b 2a+3b 图1 图2 图3 (1)请用含字母a,b的代数式表示图3的面积， (2)若a=-2,b=4,此时图3的面积是多少平方米？ 【变式3】(25-26八年级上·吉林长春期末)【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题代数式ax-y+6+3x-5y-1的值与x的取值无关，求a的值”， 通常的解题方法是：把x、y看作字母，α看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x 项的系数为0，即原式=(a+3)x-6y+5,所以，则a=-3. 【理解应用】 (1)若关于x的多项式(2m-3)x+2的值与x的取值无关，则m的值为 (2)已知A=(2x-1)(x+1)+x1-2y),B=-2x2+xy-1,且A+B的值与x无关，求y的值， 【能力提升】 (3)7张如图①的小长方形，长为α，宽为b,按照图②方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中 未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S,左下角的面积为S,,设AB=x,当AB的 长变化时，2S,-3S,的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系. 10/15 专题1.4 整式的乘法 教学目标 1.掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则，理解其算理。 2.能熟练运用法则进行整式乘法运算，并掌握与幂的运算性质的综合运用。 3.通过几何图形面积解释乘法法则，体会数形结合思想，发展代数推理能力。 教学重难点 1.重点： （1）准确掌握多项式乘多项式的运算法则（特别是二项式相乘），并能展开和化简. （2）熟练运用分配律进行单项式与多项式的乘法运算，确保符号和系数的准确性. 2.难点： （1）多项式乘法中各项的“不漏乘”与正确合并同类项，尤其是涉及多个字母和负号时. （2）理解不同法则之间的内在联系，并能在综合运算中灵活选择和应用. 知识点01 单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式. 　 单项式乘法法则在运用时要注意以下几点： 　 ①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆； 　　 ②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则； 　 ③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式； 　　 ④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用； 　　 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式. 【即学即练】1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查单项式乘单项式，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式法则运算即可； （2）（3）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘单项式，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 2．（25-26八年级上·青海西宁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 ，240 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 知识点02 单项式与多项式相乘 单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b+c)m=am+bm+cm　　 单项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　 ①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同； 　 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号； 　 ③在混合运算时，要注意运算顺序. 【即学即练】3．（25-26八年级上·四川凉山·期末）化简： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可 （3）先计算积的乘方，再根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握整式化简的方法是解题的关键． 先去括号，再合并同类项计算，将代入化简后的整式计算即可． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 知识点03 多项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 　 多项式与多项式相乘时要注意以下几点： 　　 ①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积； 　　 ②多项式相乘的结果应注意合并同类项； 　　 ③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘 ，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab 对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到. 【即学即练】5．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（25-26八年级上·吉林松原·期中）已知多项式． (1)化简多项式A； (2)若，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，代数式求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴． 题型01 计算单项式乘单项式 【典例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的乘法： （1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式； （2）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式． 【详解】（1）原式 （2）原式 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘以单项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算单项式乘以单项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘法． （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （3）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； （4）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【变式3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)；； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式的计算，同底数幂乘法和幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可； （2）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （3）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可； （4）根据单项式乘以单项式的计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型02 计算单项式乘多项式 【典例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据单项式乘多项式法则展开，再合并同类项； （2）直接利用单项式乘多项式法则，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再整理结果． 【详解】（1）解：原式 =． （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减的化简求值问题，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据整式的加减法则化简后，代入a的值计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式、单项式乘以单项式、积的乘方、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （2）先计算积的乘方、单项式乘以单项式、单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （3）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·上海·月考）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘多项式，化简求值，先运用单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，得，再把代入计算，即可作答． 【详解】解： 当时， 原式 题型03 计算多项式乘多项式 【典例3】（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）根据多项式乘多项式法则进行计算； （2）根据多项式乘多项式法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式的混合运算能力，解决本题的关键是能准确确定计算方法和顺序，并能正确地进行计算． （1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减. （2）先计算多项式乘多项式，再计算整式的加减. 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 【变式2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型04 已知多项式乘积不含某项求字母的值 【典例4】（25-26七年级上·上海·期中）已知关于x的整式与的乘积中不含项和x项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘积，熟练掌握合并同类项是解题的关键． 将两整式相乘，展开后合并同类项，根据不含项和项，即对应项系数为零，列方程组求解和，再计算即可． 【详解】解： ， ， 由于乘积中不含项和项， 则, 解得, 因此， 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·天津蓟州·月考）若代数式展开后不含项，求的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查多项式乘多项式，将多项式展开后，合并同类项，令项的系数为零，解方程求． 【详解】解：： ， 展开后不含项， ， 解得， 故答案为：2． 【变式2】（25-26八年级上·四川眉山·期中）已知代数式，． (1)A与B的积中不含x的二次项，且常数项为，求m、n的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查了多项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用多项式乘多项式将原式变形，再根据积中不含x的二次项，且常数项为，进而得出m、n的值； （2）先将原式进行化简，然后将m、n的值代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∵A与B的积中不含x的二次项，且常数项为， ， 解得：； （2）解： ， 把代入，则． 【变式3】（25-26八年级上·四川资阳·期中）若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 题型05 整式乘法混合运算 【典例5】（25-26八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先利用积的乘方、幂的乘方、单项式乘单项式的运算法则求解，再合并同类项即可求解； （2）先利用多项式乘多项式、多项式除以单项式的运算法则求解，再合并同类项求解即可． 【详解】（1）（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，然后合并同类项（本题无同类项合并，但格式上需明确运算步骤）． （2）根据多项式乘多项式法则以及同底数幂的除法法则分别计算乘法与除法部分，再将所得结果相加． 本题主要考查了整式的乘法运算，包括单项式乘多项式、多项式乘多项式以及同底数幂的除法．熟练掌握乘法分配律以及同底数幂的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的运算． （1）先运算积的乘方、幂的乘方，同底数幂相乘，再合并同类项，即可作答． （2）根据多项式式乘以多项式的法则进行计算即可． （3）根据多项式式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． （3）解： ． 【变式3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （2）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （3）先计算乘方，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先计算乘方，再根据单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解： ； （4）解：原式 ． 题型06 多项式乘多项式——化简求值 【典例6】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解； ， 当时，原式． 【变式1】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）先化简，再求值：．其中． 【答案】，6 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先计算多项式乘以多项式和幂的乘方，再计算同底数幂除法，接着合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式2】（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·月考）先化简．再求值：，其中． 【答案】，0 【分析】本题考查的是整式的混合运算，先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式3】（25-26八年级上·山东德州·月考）化简求值：，其中，． 【答案】，． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项，先根据多项式乘以多项式、单项式乘以多项式运算法则分别计算，然后合并同类项进行化简，最后把，代入计算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 题型07 (x+p)(x+q)型多项式乘法 【典例7】（25-26八年级上·江西上饶·期中）观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为6或 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 【变式1】（25-26七年级下·湖南张家界·期末）回答下列问题： (1)计算：①_____； ②______； ③_____． (2)总结公式：_____． (3)由（2）的公式，直接写出下列计算的结果： ①______；②______； (4)已知a，b，m均为整数，且，求m的所有可能值：______． 【答案】(1)①；②； ③； (2)； (3)①；② (4)7或或5或 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）通过多项式乘多项式法则计算三个式子； （2）根据（1）的计算结果总结出的展开公式； （3）利用（2）总结的公式直接计算； （4）根据公式，结合且、为整数，求出的可能值，即的可能值． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ② ， 故答案为：； ③ ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：① ； ② ； （4）解：因为， 所以，． 因为，均为整数，， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． 所以的所有可能值为7或或5或． 【变式2】（25-26八年级上·海南海口·月考）（1）计算下列式子： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． （2）从上面的计算中总结出规律：___________ （3）运用上面的规律，直接写出下列各式的结果： ①___________； ②___________． ③___________； ④___________． 【答案】（1）①；②；③；④；（2）；（3）①；②；③；④ 【分析】此题考查了多项式乘以多项式的规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据多项式乘以多项式的法则求解即可； （2）由（1）中的运算总结出规律即可； （3）由（2）总结出的规律求解即可； 【详解】解：①； ②． ③； ④． （2）从上面的计算中总结出规律：； （3）①； ②． ③； ④． 【变式3】（24-25八年级上·广东湛江·月考）根据以下素材，完成下列任务： 【素材1】我们在得到多项式的乘法法则的时候，我们可以先把其中一个多项式看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到：．再利用单项式与多项式相乘的法则，得：． 【素材2】我们也可以根据几何图形的面积关系进行解释： 【任务1】计算下列各式： （1）___________________； （2）___________________； （3）___________________； （4）___________________． 【任务2】由上面的计算结果找规律，完成填空，并请画出一个相应的几何图形加以解释． 【任务3】如果其中，，均为整数，求的值． 【答案】任务1：（1）；（2）；（3）；（4）；任务2：，，；任务3：或 【分析】本题考查多项式相乘，解题关键在于利用长方形面积进行证明． 任务1∶直接根据多项式乘多项式计算即可，由面积不同的表示方法，可得等式； 任务2∶画一个长为、宽为的长方形即可求解； （3）由（2）的结论可求解． 【详解】解∶任务1∶ （1）； （2）； （3）； （4） 故答案为∶（1）；（2）；（3）；（4）； 任务2：如图所示， ， 故答案为：，，； 任务3：由任务2知：， 又， ∴，， 又，，均为整数， ∴或或或或或或或， 综上，或． 题型08 多项式乘法中的规律性问题 【典例8】（25-26七年级上·河北保定·月考）我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，如图所示的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律可解决如下问题： (1)请在图中括号内的数为________； (2)展开式中共有________项，第19项系数为________； (3)根据上面的规律，写出的展开式：________； (4)利用上面的规律计算：； 【答案】(1)6 (2)， (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式中的规律，数字的变化规律，解题关键是找出规律． （1）根据表中数据特点解题即可； （2）先找出规律，用表示出展开式中共项数，当时，用表示出倒数第项的系数，代入数据计算即可； （3）根据图示顺推即可得到展开式； （4）根据展开式，令，时代入展开式即可得到所求代数式的值； 【详解】（1）解：图中括号内的数为， 故答案为：6； （2）展开式有项， ，展开式有项，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为3，倒数第三项系数为； ，展开式有项，倒数第3项系数为6，倒数第三项系数为； 展开式有项，倒数第3项系数为，倒数第三项系数为； ……； 以此类推，展开式中共有项，倒数第三项的系数， ∴展开式共有项，第项系数为， 故答案为：，； （3）根据图示，， 故答案为：； （4）∵， 当，时，， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·河南信阳·月考）观察下列各式． (1)根据以上规律，则 _______； (2)你能否由此归纳出一般规律_______； (3)根据以上规律求： 的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）解： 根据（2）的结论，有， 因此，原式． 【变式2】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）观察下列等式： ， ， ， …… (1)特例感知：根据上述的运算规律按照上述形式填空： ； (2)规律表示：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律为 ； (3)类比探究：小聪同学计算下列两位数的乘积：，，，，…．他发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数），请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3)运算规律为：，说明见解析 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律列出式子计算即可得解； （2）根据题目给出的等式，结合（2）的题目信息列出式子即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【详解】（1）解：， ， ，…… ， 故答案为：； （2）解：由题目知：设两位数的十位上的数字为m，个位上数字为5，m为整数，且， ， 故答案为：； （3）解：，，，，… 且由题目知：设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b（其中a，b为小于10的正整数）， 可得运算规律为：， 说明如下： ， ． 【变式3】（25-26八年级上·广西南宁·月考）阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3）因为， 所以． 所以实数． 因为， 当时，， 所以，． 所以． 题型09 整式乘法与图形面积 【典例9】（25-26八年级上·陕西榆林·期末）书籍是人类进步的阶梯！为了爱护书籍，人们常用封皮进行包裹．现有一本数学课本（如图1），其长为、宽为、厚为．小军用一张长方形纸（如图2）包好了这本数学书，图中虚线为折痕，阴影部分是裁掉区域，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长（）即为折叠进去的宽度．请解答下列问题：（用含x的代数式表示，并化为最简） (1)图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的长为______，宽为______； (2)求图2中这张长方形包书纸（含裁掉区域）的总面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式，多项式乘以多项式与几何图形，明确题意，准确列出代数式是解题的关键． （1）根据题意，列出代数式，即可求解； （2）利用长方形的面积公式得到，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，长为，宽为， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 【变式1】（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，某小区有一块长，宽的长方形空地，管理部门规划了一块长方形花园（图中阴影部分），花园的北面和东、西两面都留有宽度为的小路（图中空白部分）． (1)用含，的代数式表示花园的面积（化为最简）； (2)小区管理部门打算在花园北面和东、西两面的小路都铺地砖，用含，的代数式表示铺设地砖的面积（化为最简）； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是50元，那么购买所需地砖需要多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了整式混合运算的应用； （1）由图得，化简即可求解； （2）由图得，化简即可求解； （3）将，代入（2）中所求的面积，再求出费用，即可求解． 【详解】（1）解：花园的面积为 （）； （2）解：由题意得 （）； 故铺设地砖的面积为； （3）解：当，时， （）， （元）， 故购买所需地砖需要元． 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔西·期末）如图1，吊脚楼在贵州是一道独特的风景线，它设计巧妙，顺应山势，其部分结构是接地而非全悬空的，通过正屋实地建造与厢房悬空的特殊设计，巧妙地将建筑与自然融为一体．如图2是某吊脚楼的侧面设计示意图，把它抽象为如图3所示的几何图形（单位：m）． (1)请用含字母a，b的代数式表示图3的面积． (2)若，，此时图3的面积是多少平方米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用． （1）根据梯形的面积公式计算即可； （2）将，代入（1）中结果计算即可． 【详解】（1）解：面积为： ； （2）解：当，时，原式=， 故此时图3的面积是． 【变式3】（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 题型10 整式运算中的新定义型问题 【典例10】（25-26八年级上·全国·课后作业）定义：若，则称与是关于1的单位数． (1)3与______是关于1的单位数，与______（填一个含的式子）是关于1的单位数； (2)若，，判断与是否是关于1的单位数，并说明理由． 【答案】(1)4或2；或 (2)A与B是关于1的单位数．理由见解析 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则，正确的计算是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）求出的值，进行判断即可． 【详解】（1）解：∵或， ∴3与4或2是关于1的单位数； ∵，， ∴与或是关于1的单位数， 故答案为：4或2；或； （2）解： ； 故与是关于1的单位数． 【变式1】（24-25七年级下·全国·期中）定义，如．已知（n为常数），． (1)若，则x的值为 ； (2)若A的代数式中不含x的一次项，当，求的值； (3)若A中的n满足，且时，求的值． 【答案】(1)1 (2)9 (3)13 【分析】本题考查了新定义下整式的运算. （1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； 故答案为：1； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ 【变式2】（25-26八年级上·河北邯郸·月考）定义：一个多项式乘一个多项式，运算结果化简后得到多项式，若的项数比的项数多1，则称是的“友好多项式”；若的项数与的项数相同，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断是否为的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于的多项式，且是的“特别友好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义； （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据是的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解：是的“友好多项式” 理由如下： ，， ， ∴满足的项数比的项数多1， 是的“友好多项式”； （2） ， 是的“特别友好多项式”， 且， 解得． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期中）小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点． (1)已知多项式，则此多项式的零点为和______． (2)已知多项式有一个零点为2，求多项式B的另一个零点； (3)小聪继续研究，及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线对称，他把这些多项式称为“系多项式”．若关于x的多项式是“系多项式”，则______． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查了整式乘法的应用； （1）根据题意，令，解方程得出的值，即可得出答案； （2）根据题意，把代入多项式，得，然后解关于的方程即可得出的值，再把的值代入，进而得出答案； （3）根据题意，由“系多项式”定义，进而得出答案． 【详解】（1）解：根据题意，令， 或， 解得：或， 故答案为：3 ； （2）解：根据题意，把代入，得， 解得：， 把代入，得， 令， 解得：， ∴多项式的另一个零点是； （3）解：， ∴的两个零点分别是和7， 根据“系多项式”的定义，有， ， 故答案为：． 一、单选题 1．（25-26八年级上·江西南昌·月考）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了单项式乘以单项式，正确把握单项式乘以单项式法则是解题关键．首先利用积的乘方进行化简，进而利用单项式乘以单项式法则求出即可． 【详解】解： 故选：D． 2．（25-26八年级上·云南昭通·期末）已知，则m的值为（   ） A．-1 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的乘法化简、同类项的判断，整式的乘法化简是解题的关键． 首先利用整式的乘法化简展开左边，与右边比较同类项即可求解m的值． 【详解】解：， ∵， ∴ ， ∴， 故选：A． 3．（2025八年级上·河北·专题练习）若的计算结果中项的系数为，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式混合运算的无关型问题，掌握相关运算法则是解题关键．展开多项式乘积，找出项的系数，并令其等于，解方程求m即可． 【详解】解： ∵计算结果中项的系数为， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·天津河西·月考）若，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．由的取值而定 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式和整式比较大小； 利用作差法比较大小，先化简和，再计算与的差，比较大小即可． 【详解】解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故选：A． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，．若的值与m无关，则a的值为（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘多项式，合并同类项，准确熟练地进行计算是解题的关键． 计算并合并同类项，由于表达式与无关，令的系数为零求解的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴ ∴ ∵的值与无关 ∴ ∴ 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·甘肃张掖·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式乘多项式，根据计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为 ． 7．（25-26八年级上·山东德州·月考）如果关于的多项式与的乘积中不含的一次项， ． 【答案】 【分析】本题考查了已知多项式乘积不含某项求字母的值，先求出多项式的乘积，再根据乘积中不含的一次项得到一次项的系数为，然后解关于的方程即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·全国·课后作业）若一个三角形的底边为，底边上的高为，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式和多项式乘以多项式的应用，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题的关键．根据三角形面积公式列式，再按照多项式乘以多项式运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵一个三角形的底边为，底边上的高为， ∴该三角形的面积为 ． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）图①中有3种卡片，其中两种是边长分别为a和b的正方形，一种是长为a、宽为b的长方形，若要用若干张图①中的卡片拼成一个图②中的大长方形，则需要这3种卡片共 张． 【答案】10 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴要拼出一个长为，宽为 的大长方形需要这3种卡片共张， 故答案为：． 10．（2025九年级·江西·专题练习）观察下列各式： ； ； ； ； …… 则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及多项式乘多项式，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， ； ； ； ； …… 所以用含n的等式可表示为：． 令，得， 所以， ， 故答案为：． 三、解答题 11．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式法则计算即可； （3）根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 12．（25-26八年级上·云南红河·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． 【详解】解：原式； 当，时， 原式． 13．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，利用多项式乘多项式的法则和单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时，原式． 14．（24-25七年级下·全国·课后作业）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 【答案】(1)，5 (2)， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值， （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 15．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 16．（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求下列各式的值． (1)； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义运算以及整体代入思想等知识内容，掌握整体代入思想是解题的关键． （1）根据新定义代入计算求解即可； （2）根据新定义代入化简，然后将代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解： 当时，原式 17．（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米，改造成一个大长方形花园． (1)请用含的代数式表示扩建后的长方形的花园面积（需化简）． (2)扩建后的花园面积比扩建前的花园面积多了多少？并求出当时增加的面积． 【答案】(1)平方米； (2)平方米；平方米． 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用． （1）扩建后的长方形的花园面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此列式求解即可； （2）用扩建后的面积减去原面积，进而将代入计算即可． 【详解】（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形的花园面积为平方米； （2）解： 平方米； 当时，原式（平方米）． 18．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 19．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 20．（25-26七年级下·山西太原·期中）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式(a，b，c，d是常数)，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数p时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，p的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子． (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由． (3)若多项式 (m是常数)是一组平衡多项式，求m的值． 【答案】(1) (2)是，平衡因子为 (3)或7或 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式乘多项式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； （2）根据运算法则计算，并求出平衡因子； （3）分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）解： ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （2）多项式，，，是一组平衡多项式． ， 该组平衡多项式的平衡因子是． （3）需分三种情况讨论： ① ， 这组多项式是一组平衡多项式， ， ． ② ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． ③ ， 这组多项式是一组平衡多项式， ，． 综上所述，m的值为或7或． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $