精品解析：北京市朝阳区2025--2026学年八年级上学期数学期末试卷

北京市朝阳区2025~2026学年度第一学期期末检测 八年级数学试卷（选用） （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知 1．本试卷共6页．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意； C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了较小数的科学记数法．根据较小数的科学记数法方法解答即可． 【详解】解：， 故选：C 3. 在平面直角坐标系中，若点C的坐标为，则点C关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：∵点C的坐标为， ∴点C关于x轴的对称点的坐标为． 故选：B 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算法则，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方等．根据同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，逐项判断，即可求解． 【详解】解：选项A∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项B∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项C∶ ， 故本选项错误，不符合题意； 选项D∶ ， 故本选项正确，符合题意． 故选：D 5. 下面四个图中，线段是的高线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形高的定义，正确理解三角形高的定义是解题的关键． 根据三角形高的定义回答即可． 【详解】解：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 根据三角形高的定义可知，选项A中线段是的高线． 故选：A． 6. 下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义及方法是解题关键． 根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意； B．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意； C．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意； D．该变形是整式乘法，是因式分解的逆运算，故本选项不符合题意； 故选：C． 7. 如图，在中，，，，直线，分别是，的垂直平分线，D，E分别是，上的动点（点D与点E不重合，且点A，D，E不在同一直线上），以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段公理等知识，连接，，线段垂直平分线的性质得出，，则以点A，D，E为顶点的三角形的周长为，由线段公理知，故当B、D、E、C四点共线，即D、E在时，取最小值为，即可求解． 【详解】解：连接，， ∵直线，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴以点A，D，E为顶点的三角形的周长为 ， ∵， ∴当B、D、E、C四点共线，即D、E在时，取最小值为， ∴以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为7， 故选：B． 8. 已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①③ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法运算，平方差公式．根据同底数幂乘除法法则，平方差公式，逐项判断，即可求解． 详解】解：∵，， ∴， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴， ∴，即， ∴，故②错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴， ∵，，即，， ∴，故④正确； ∴正确结论的序号是①③④． 故选：A 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件是分母不为零，即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得：． 故答案为 ． 10. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____． 【答案】两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题：“同位角相等，两直线平行．”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”． 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等．” 故答案为“两直线平行，同位角相等”． 【点睛】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 11. 三角形三边的长分别为3,5，a，则a的取值范围是__________ 【答案】2＜a＜8 【解析】 【详解】根据三角形的三边关系，得 5-3＜a＜5+3， 2＜a＜8． 12. 如图，点，，，在一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 【答案】（或，或，或，写出一个即可） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理、平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（、、）并结合已知条件推导所需条件是解题的关键． 先由推出，再结合已知，分别添加一组对应边相等或一组对应角相等，即可用、、判定，从而梳理出所有可能的添加条件． 【详解】解：， ， 添加条件： ，， ； 添加条件： ， ， ， ，，， ； 添加条件： ，，， ； 添加条件： ，，， ； 故答案为：（或，或，或，写出一个即可）． 13. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查综合运用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再用完全平方公式对括号内的表达式进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为 14. 如图，在中，，过点作的垂线，交于点，则________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、垂直的性质以及邻补角的定义，熟练掌握三角形内角和定理构造 是解题的关键．先根据角度比例设未知数，利用三角形内角和为求出各角的度数，再结合垂直的性质得到，进而求出的度数，最后利用邻补角的关系求出的度数． 【详解】解：设，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故答案为：1． 16. 如图，在中，，，，分别是，上两个动点，且，当与的和最小时，点到边的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过构造平行线，取中点，利用全等三角形将转化为，从而把的最小值问题转化为的最小值问题；根据两点之间线段最短，当共线时和最小，此时点与重合；最后计算到的距离即为所求． 【详解】解：如图，过点作平行于，取的中点，连接并延长交于，连接，过作垂直于， ∵，，中点， ， 在中，， ∴， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， 当，，共线时，最小，此时与重合， 故点到的距离即为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段中点的性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握构造全等三角形转化线段和的方法是解题的关键． 三、解答题（共52分，第17题4分，第18-23题，每题5分，第24-26题，每题6分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式以及合并同类项的运算，熟练掌握多项式乘多项式法则、单项式乘多项式法则以及合并同类项的方法是解题的关键．先运用多项式乘多项式法则展开，再运用单项式乘多项式法则展开，最后合并同类项得到最简结果． 【详解】解：原式 ． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了异分母分式减法．根据异分母分式减法法则“异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再加减”计算即可． 【详解】解：原式 ． 19. 如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． （1）求证：； （2）若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，则可求，，然后根据等边三角形的判定即可得证． 【小问1详解】 证明：∵，， ． 在和中， ． 【小问2详解】 证明：， ， ， ． ． ． 是等边三角形． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解、分式的乘除运算法则是解题的关键．先对各分式的分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法，约去公因式完成化简，最后代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点． （1）建立平面直角坐标系，使点A，B坐标分别为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系中， ①点与点C关于y轴对称，写出点的坐标； ②若A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，直接写出满足条件的点D的个数． 【答案】（1）见解析 （2）①；②6 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称性质等知识，解题的关键是： （1）根据A、B的坐标即可得到坐标轴的位置建立平面直角坐标系； （2）①找到点C关于y轴对称的点，然后根据点的位置写出坐标即可； ②根据轴对称图形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 【小问2详解】 解：①如图， ， ； ②如图，以y轴为对称轴， 四边形是轴对称图形， 以x轴对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以所在直线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以所在直线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以的垂直平分线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； 以的垂直平分线为对称轴，如图， 四边形是轴对称图形； ∴满足条件的点D的个数为6． 22. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q（不与点A重合），作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 在和中， ． ． ， ________（________）（填推理的依据）． ________． ． 【答案】（1）见解析 （2），，等边对等角， 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据题意，补全图形即可； （2）连接，证明，可得，再结合等腰三角形的性质可得，即可解答． 【小问1详解】 解：补全图形，如图所示． 【小问2详解】 解：证明：连接． 在和中， ． ． ， （等边对等角）． ． ． 故答案为：，，等边对等角， 23. 某校计划租车前往博物馆开展研学活动．某租车公司有，两种型号的客车可供租用，每辆车满员的情况下，每辆型客车的载客量比每辆型客车的载客量多人，用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同．求每辆型客车的载客量． 【答案】人 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的等量关系列出分式方程并检验解的合理性是解题的关键．设每辆型客车的载客量为人，根据题意表示出型客车的载客量为人；利用“载客人数每辆车的载客量车辆数”这一关系，结合“用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同”这一等量关系，列出分式方程；最后解方程并检验，得出型客车的载客量． 【详解】解：设每辆B型客车的载客量为x人，则每辆A型客车的载客量为人． 由题意，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：每辆B型客车的载客量为45人． 24. 下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： （1）表中____，____，____； （2）（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； （3）（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）2，2， （2）（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 （3）有最小值，最小值为2 【解析】 【分析】本题考查了求分式的值，完全平方公式等知识，解题的关键是： （1）把，，分别代入计算即可； （2）利用完全平方公式求出，然后根据非负数的性质可得出，故当，即时，，即可求解； （3）类似（2）判断即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：2，2，； 【小问2详解】 解：（ⅱ）中的猜想正确，最小值为2 证明：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2； 【小问3详解】 解：（为正整数）有最小值为2， 理由：∵， ，， ∴， ∴， ∴， ∴当，即时，， 即有最小值为2． 25. 在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； （2）如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定： （1）证明，可得，即可解答； （2）①根据题意，补全图形即可；②过点C作交的延长线于点G，证明，可得，，从而得到，再结合，可得，，从而得到，可证明，即可解答． 【小问1详解】 解：如图， ∵点D关于直线的对称点为F． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①依据题意，补全图2，如下： ②如图，过点C作交的延长线于点G， ∵点D关于直线的对称点为F． ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，． 对于点给出如下定义：将点向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于直线（直线上的各点的横坐标都为）的对称点为，则称点为点的“平称点”． （1）当时， ①点的“平称点”的坐标为________； ②若点的“平称点”在线段上，直接写出的取值范围以及的值； （2）点，点，若线段上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；②， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——平移、轴对称，一次函数图象与几何图形的交点问题，以及分类讨论思想的应用，熟练掌握平移和轴对称的坐标变化规律，结合图形的坐标范围进行分类讨论是解题的关键．（1）① 代入得点坐标，按“平移→对称”的顺序：先向上平移个单位，再求平移后点关于直线的对称点，得到“平称点”．②写出点的“平称点”坐标表达式，结合线段纵坐标固定、横坐标范围已知的特征，列方程和不等式求解的取值范围和的值． （2） 分别求出点、的“平称点”坐标，分和两种情况，得到线段上所有点的“平称点”组成的线段；再结合长方形的顶点坐标，判断该线段与长方形有两个交点时的取值范围． 【小问1详解】 解：①当时，即为， ∵， ∴将点向上（）平移个单位长度，得到点， ∴点关于直线的对称点为， 故答案为：； ②∵， ∴将点向上（）平移个单位长度，得到点，，． ∴点关于直线的对称点为，即点的“平称点”为， ∵点的“平称点”在线段上，，． ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：当时，平移为向上个单位，对称直线为， ∵， ∴点向上平移个单位得，点向上平移个单位得， ∴点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴线段上的所有点的“平称点”组成的图形为线段， ∵，，， ∴线段与长方形不相交，故舍去； 当时，平移为向下平移个单位，对称直线为， ∵， ∴点向下平移个单位得，点向下平移个单位得， ∴点关于的对称点为，点关于的对称点为， ∴线段上的所有点的“平称点”组成的图形为线段， ∵线段与长方形的边有两个交点， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市朝阳区2025~2026学年度第一学期期末检测 八年级数学试卷（选用） （考试时间90分钟 满分100分） 考生须知 1．本试卷共6页．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和考号． 2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 3．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共24分，每题3分） 第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 子是一种基本粒子，它的平均寿命约为0．0000022秒．它具有穿透力强的特性，可应用于文物古迹无损成像、地质勘探及隧道结构检测．中国已经研发出基于子成像技术的高精度设备，并且在地铁隧道工程中实现全球首例应用．将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，若点C的坐标为，则点C关于x轴的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是 A. B. C. D. 5. 下面四个图中，线段是的高线的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，，直线，分别是，的垂直平分线，D，E分别是，上的动点（点D与点E不重合，且点A，D，E不在同一直线上），以点A，D，E为顶点的三角形的周长的最小值为（ ） A 5 B. 7 C. 8 D. 12 8. 已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ②③④ C. ①③ D. ②④ 二、填空题（共24分，每题3分） 9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是________． 10. 命题“同位角相等，两直线平行”的逆命题是：_____． 11. 三角形三边长分别为3,5，a，则a的取值范围是__________ 12. 如图，点，，，在一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是________（写出一个即可）． 13. 分解因式：________． 14. 如图，在中，，过点作的垂线，交于点，则________°． 15. 如图，在中，，平分，E是中点，若，，则________． 16. 如图，在中，，，，分别是，上两个动点，且，当与和最小时，点到边的距离为________． 三、解答题（共52分，第17题4分，第18-23题，每题5分，第24-26题，每题6分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 计算：． 19. 如图，，，垂足分别为A，B，，相交于点O，． （1）求证：； （2）若，求证：是等边三角形． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线交点． （1）建立平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别为，； （2）在（1）建立的平面直角坐标系中， ①点与点C关于y轴对称，写出点的坐标； ②若A，B，C，D四点构成一个轴对称图形，直接写出满足条件的点D的个数． 22. 下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：直线l及直线l外一点P． 求作：直线，使得． 作法：如图， ①过点P作直线m与直线l交于点A，在l上取一点B，使得点B在点A的右侧； ②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C，交射线于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线； ③以点P为圆心，为半径作弧，交射线于点Q（不与点A重合），作直线．所以直线就是所求作的直线． 根据小明设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． 在和中， ． ． ， ________（________）（填推理的依据）． ________． ． 23. 某校计划租车前往博物馆开展研学活动．某租车公司有，两种型号客车可供租用，每辆车满员的情况下，每辆型客车的载客量比每辆型客车的载客量多人，用型客车载客人与用型客车载客人的车辆数相同．求每辆型客车的载客量． 24. 下面是小明探究取值的规律的过程． （ⅰ）分别求出当，，，，，，1，2，3时的值，部分数值如下表所示： 1 2 3 （ⅱ）根据（ⅰ）中的表格，猜想有最小值． 结合上述探究过程，回答下列问题： （1）表中____，____，____； （2）（ⅱ）中的猜想是否正确？如果正确，请证明；如果错误，说明理由； （3）（为正整数）是否有最小值？如果有，直接写出这个最小值；如果没有，说明理由． 25. 在中，，．D是一个动点，且，过点A在的外侧作直线，使，点D关于直线的对称点为F． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，直接写出的度数； （2）如图2，当点D在的外部，且在的内部时，连接，射线交于点M． ①依据题意，补全图2； ②用等式表示与的数量关系并证明． 26. 在平面直角坐标系中，已知点，，，． 对于点给出如下定义：将点向上（）或向下（）平移个单位长度，得到点，点关于直线（直线上的各点的横坐标都为）的对称点为，则称点为点的“平称点”． （1）当时， ①点的“平称点”的坐标为________； ②若点的“平称点”在线段上，直接写出的取值范围以及的值； （2）点，点，若线段上的所有点的“平称点”组成的图形与长方形有两个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $