精品解析：内蒙古通辽市库伦旗水泉中学2025--2026学年八年级上学期数学月考试试卷(1)

2025－2026学年八年级上学期第二次综合训练 一、单选题 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系． 设第三边长为x，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出第三边的范围，然后判断选项． 【详解】解：设第三边长为x， ∵三角形的两边长分别为3和5， ∴， 即， 选项中只有C在范围内， ∴第三边长可能为3． 故选：C． 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，是的角平分线．如果，那么点到的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理． 过点D作于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等得到，则点D到的距离为． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵为的平分线，，， ∴， ∴点D到的距离为． 故选：B． 5. 如图，，，，，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由全等三角形性质推出，由三角形内角和定理求出，即可求出的度数． 本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握掌握全等三角形的对应角相等． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 6. 下列是因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，根据题目特点选择合适的方法是解题的关键． 对各选项进行因式分解，判断其结果是否正确即可． 【详解】解：选项A：，该步骤为因式分解，且结果正确，符合题意； 选项B：，该步骤并非因式分解，不符合题意； 选项C：，其中还可以进行因式分解为，故因式分解不彻底，不符合题意； 选项D：，故因式分解错误，不符合题意； 故选A． 7. 如果等腰三角形的一个内角为，那么等腰三角形底角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和． 等腰三角形的一个内角为，只能为顶角，根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，且内角和为，一个内角为， ∴只能为顶角， 此时底角为． 故选：C． 8. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 9. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A. 6 B. 64 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意得到规律是解题的关键． 根据，，，等的规律，可判断出的展开式，由此得出答案． 【详解】解：通过观察已给出的表达式， 可推出每下一阶的系数为它上方两个数之和， 故时，其系数为1，5，10，10，5，1， 时，其系数为1，6，15，20，15，6，1， 故， 故的系数为， 故选D． 10. 如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（ ） 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，分式的值． 通过分式无意义的条件确定的符号，再根据时分式值为负确定m和异号，结合的符号得出的符号． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 即， ∵， ∴， ∵当时，分式值， ∴， ∴和异号， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根分根式有意义的条件是分母不为0即可解答． 【详解】解：根据题意得：， 则 故答案为：． 12. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟知分解因式的方法是解题的关键； 根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解：； 故答案为：． 13. 已知点与点关于轴对称，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标系中的点的变换，掌握点的变化过程中的变量和不变量是解题的关键． 根据关于轴对称的点的坐标特征，横坐标互为相反数，纵坐标相等，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 若，则常数等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 利用完全平方公式展开左边多项式，再通过比较等式两边对应项系数求解． 【详解】解：左边展开， 与右边对比， 项系数对应相等， 即，得， 故答案为：． 15. 某“数学乐园”展厅的密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络，他输入的密码是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式定义及相关运算，熟记单项式定义及乘除运算法则是解决问题的关键． 由前面、找出密码规律求解即可得到答案． 【详解】解：由中的指数为即，得到密码是单项式各项字母的次数； 由中的指数为即，得到密码是单项式各项字母的次数； ， 则的指数为即，得到密码是， 则他输入的密码是． 故答案为：． 16. 城建局计划在市民公园的人工湖上修建一个湖心亭，并铺设四条木栈道分别连接湖边的，，，四个水栈道入口，供市民散步，欣赏湖上风景．如图是人工湖的平面示意图，湖上有四个位置可用于建设湖心亭．为测算建设成本，工作人员利用测量工具测得，，，，，要使铺设木栈道所需要的材料最少，湖心亭应选择建在某一点，此时需要铺设的木栈道总长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，准确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长到，使 ，则有，即可得到为等边三角形，然后得到铺设的木栈道总长度即可． 【详解】解：连接 、 正好交于点 ，故点作湖心亭使铺设木栈道所需要的材料最少，延长到，使， 连接，如下图所示： ∵，， ∴为正三角形， ∴， ∵，, ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 所求木栈道总长度为， 故答案为：． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂． （1）先计算积的乘方，再计算乘除即可； （2）先计算负整数指数幂，零指数幂，再计算加法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在点C，F，B，E在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 根据证明即可得到． 详解】证明：∵， ∴和为直角三角形. ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴, ∴． 19. 先化简（1﹣）÷，然后从﹣1，0，1，2中选一个自己喜欢的x值代入求值． 【答案】，﹣ 【解析】 【分析】先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法，约分后，代入使原分式有意义的字母的值，从而可得答案． 【详解】解：原式＝ ＝， 当x＝0时，原式＝ 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的运算，代入使原分式有意义的字母的值是解题的关键． 20. 如图所示的点、、、、． （1）点和点关于直线成轴对称，请画出直线（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）在轴上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，作已知线段的垂直平分线等知识． （1）利用线段垂直平分线的作法作出线段的垂直平分线即可； （2）找到点关于轴对称的点，连接交轴与点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示：直线l即为所求： 【小问2详解】 解：如下图点P即为所求： 21. 京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的20倍，若用一台机器人分栋8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少小时．求一台机器人一小时可分拣多少件货物？ 【答案】3000 【解析】 【分析】设一台机器人一小时可分拣x件货物，根据题意列出分式方程，即可求解． 【详解】设一台机器人一小时可分拣x件货物， 则一名人工一小时分拣的货物件数为， 根据题意有分式方程：， 解得x=3000， 经检验符合题意， 则一台机器人一小时可分拣3000件货物． 【点睛】本题考查了分式方程应用．明确等量关系进行列式是解答本题的关键． 22. 阅读下列材料： 我们把和这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式（b，c为常数）写成（h，k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法．不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题． 例1：分解因式：． 解：原式． 例2：求代数式的最小值． 解：原式， ， 当时，代数式取得最小值，最小值是1． 请根据上述材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_____． （2）多项式：的最小值是_____． （3）已知多项式，问与之间是否存在某种数量关系，使得多项式有最小值，若存在，请求出和的数量关系及多项式的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，多项式取得最小值，最小值是． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式和平方差公式即可得到结论； （2）仿照题干作答即可； （3）将看作整体，仿照题干作答即可． 【小问1详解】 解： ； 故答案为：； 【小问2详解】 解： ， 当时，多项式取得最小值，最小值是； 故答案为：； 【小问3详解】 解： ， ， 当时，多项式取得最小值，最小值是． 23. 如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ （2）利用（1）结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求值； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别为，若、，求图中阴影部分面积和． 【答案】（1） （2），13 （3）8 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，完全平方公式在几何图形中的应用，利用数形结合的思想是解题关键． （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积，即可作答． （2）①直接把数值代入进行计算，即可作答． ②根据，然后代入数值化简计算，即可作答． （3）由题意可知，，，即可求出．结合，可求出，最后根据求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个小长方形的面积 则； 故答案为：； 【小问2详解】 解：①与（1）同理得， ∵， ∴， ∴ ∴； ②∵ ∴ ， 故答案为：，13； 【小问3详解】 解：∵， ∴． 由图可知的底为x，高为2， ∴． 的底为2，高为， ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴阴影部分面积和为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年八年级上学期第二次综合训练 一、单选题 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的两边长分别为3和5，则第三边长可能为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 8 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是的角平分线．如果，那么点到的距离为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 5. 如图，，，，，则的度数是（    ） A B. C. D. 6. 下列是因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果等腰三角形的一个内角为，那么等腰三角形底角的度数为（ ） A. B. C. D. 或 8. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 9. 我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即展开式系数的规律： 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式中的系数是（ ） A. 6 B. 64 C. 15 D. 20 10. 如表描述了分式的部分信息：其中，则下列说法正确的是（ ） 的值 … 0 … 的值 … 无意义 … A. B. C. D. 二、填空题 11. 若式子在实数范围内有意义，则取值范围是_____． 12. 因式分解：_______． 13. 已知点与点关于轴对称，则_____． 14. 若，则常数等于_____． 15. 某“数学乐园”展厅密码被设计成如图所示的数学问题．小明在参观时认真思索，输入密码后成功地连接到网络，他输入的密码是_____． 16. 城建局计划在市民公园的人工湖上修建一个湖心亭，并铺设四条木栈道分别连接湖边的，，，四个水栈道入口，供市民散步，欣赏湖上风景．如图是人工湖的平面示意图，湖上有四个位置可用于建设湖心亭．为测算建设成本，工作人员利用测量工具测得，，，，，要使铺设木栈道所需要的材料最少，湖心亭应选择建在某一点，此时需要铺设的木栈道总长度为_____． 三、解答题 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，在点C，F，B，E在同一直线上，．求证：． 19. 先化简（1﹣）÷，然后从﹣1，0，1，2中选一个自己喜欢的x值代入求值． 20. 如图所示的点、、、、． （1）点和点关于直线成轴对称，请画出直线（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）在轴上画出点，使得的值最小（保留作图痕迹）． 21. 京东快递仓库使用机器人分拣货物，已知一台机器人的工作效率相当于一名分拣工人工作效率的20倍，若用一台机器人分栋8000件货物，比原先16名工人分拣这些货物要少小时．求一台机器人一小时可分拣多少件货物？ 22. 阅读下列材料： 我们把和这样的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，即将多项式（b，c为常数）写成（h，k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法．不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式的最大、最小值的问题． 例1：分解因式：． 解：原式． 例2：求代数式的最小值． 解：原式， ， 当时，代数式取得最小值，最小值是1． 请根据上述材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：_____． （2）多项式：的最小值是_____． （3）已知多项式，问与之间是否存在某种数量关系，使得多项式有最小值，若存在，请求出和的数量关系及多项式的最小值；若不存在，请说明理由． 23. 如图1是一个长为、宽为的长方形．附图中虚线用剪刀均匀分成四块全等小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． （1）观察图2，直接写出代数式之间的关系：___________ （2）利用（1）结论和公式变形，尝试解决以下问题： ①已知，则的值为___________； ②已知，求的值； （3）两个正方形、如图3摆放．边长分别，若、，求图中阴影部分面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $