专题21.3.1矩形题型突破讲义(常考题型精析+强化题型+寒假预习) 2025-2026学年人教版八年级数学下册

专题21.3.1矩形题型突破讲义 核心重点：必须吃透的 “矩形核心密码” 1.定义本质：矩形是 “角特殊化” 的平行四边形，只要满足 “平行四边形 + 一个直角”，就能判定为矩形，这个双重条件缺一不可。 2.性质王牌：四个角全是直角（直角模型直接用）、对角线相等且互相平分（矩形独有的关键特征），同时还继承平行四边形的所有性质。 3.黄金推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是矩形性质延伸的 “解题神器”，常用来快速求线段长度。 4.判定三招：平行四边形背景下，证一个直角或对角线相等；普通四边形背景下，证三个角是直角，精准选对方法就能少走弯路。 易错难点：突破这些 “拦路虎” 1.概念混淆坑：容易忽略 “矩形是特殊平行四边形” 的前提，把矩形性质和普通平行四边形性质混为一谈，比如误认 “平行四边形对角线都相等”。 2.判定选择难：面对题目不知道该用哪种判定方法，尤其在复杂图形中，不会先判断是否为平行四边形，再找特殊条件。 3.综合应用障：不会将矩形性质与直角三角形、等腰三角形知识结合，遇到折叠、对角线夹角等题型就卡壳，比如不会利用 60° 夹角推导等边三角形求边长 4.逆向思维弱：从矩形性质反向推导判定条件时逻辑混乱，书写推理过程不规范，关键条件遗漏导致扣分。 基础过关题 1.矩形性质概念理解 2.由矩形性质求角度 3.由矩形性质求线段长 4.由矩形性质求面积 5.矩形的判定定理理解 6.由矩形性质证明结论 7.添条件判定四边形为矩形 能力提升题 8.证明四边形为矩形 9.由矩形性质与判定求角度 . 10.由矩形性质与判定求线段长 11.由矩形性质与判定求面积 拓展拔高题 12.矩形与折叠的综合问题 13.直角三角形斜边中线性质 【题型1.矩形性质概念理解】 1．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 2．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相 补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．  如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是 【答案】5 【分析】本题主要考查割补法求面积，理解题目意思是解题的关键．连接，由“出入相补”原理得到，即可得到答案． 【详解】解：连接，由“出入相补”原理得到，， ， ， ， 图中阴影部分的面积．    故答案为：5． 3．荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为 米． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 假设未知数，利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：由图可知，四边形是矩形， ， ， 假设的长度为，则，， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得，， 故答案为：5． 4．如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键． 根据反射角与入射角的定义，可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解． 【详解】解：如图： 根据图形可得，从点P开始，发光电子与长方形的边，每碰撞6次为一个循环组，且每次循环发光电子与边碰撞2次， ∵， ∴发光电子与边的碰撞次数是． 故答案为． 解答题 5．如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和勾股定理以及平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形． （2）解：四边形是矩形， ，， ， ， 的面积． 【题型2.由矩形性质求角度】 6．将两个矩形按如图放置，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形两个锐角互余，因为两个矩形叠合放置，所以，因为，则，即可作答． 【详解】解：如图： ∵两个矩形叠合放置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点，   四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴． 故选：C． 8．如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 【答案】124° 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是利用矩形的直角性质求出相关角，再结合平行四边形对边平行、对角相等的性质推导角度． 结合矩形的直角性质、三角形外角定理，先求出的度数，再利用平行四边形对角相等得到的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ． ， ． 又， ． 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 9．如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形与三角形．熟练掌握矩形性质，三角形周长，勾股定理，是解题关键． 矩形性质可知，根据，，，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：5． 【题型3.由矩形性质求线段长】 10．如图，在矩形中，对角线与相交于点．已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 11．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点．若，则的长为 ． 【答案】8 【分析】根据矩形和线段垂直平分线的性质得到，则是等边三角形，然后求出，再由角直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，角直角三角形的性质，求出是解题的关键． 12．如图，平面直角坐标系中，点，点，四边形是矩形，与交于M，以点O为圆心，的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，中点坐标公式等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到点M是的中点，然后求出点M的坐标为，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】解：∵点，点，四边形是矩形，与交于M， ∴点M是的中点， ∴点M的坐标为，即 ∴， ∴点N的横坐标为． 故选：C． 13．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 解答题 14．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． （1）先根据条件利用两组对边平行或一组对边平行且相等证明是平行四边形，然后根据矩形的定义得到结论即可； （2）根据含的直角三角形的性质，求出，然后利用矩形的性质求出结果即可． 【详解】（1）选择①， 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； 选择②， 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴． 【题型4.由矩形性质求面积】 15．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的性质与全等三角形的判定与性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键．首先根据题意得出，，然后进一步证明和全等，利用全等三角形性质得出，从而进一步求解即可 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 等底同高的三角形面积相等， ， 阴影部分的面积是． 故选A． 16．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理．先由勾股定理得到，从而求得，根据矩形的性质得到，从而根据的面积即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，， ∴， ∴在矩形中，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：6 17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、点的坐标、熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．过点作的平行线，分别交轴于点，交于点，先求出，再证出四边形是矩形，则可得，然后根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，过点作的平行线，分别交轴于点，交于点， ∵四边形是矩形，且点的坐标为， ∴，，， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴与的面积的和为 ， 故选：C． 18．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，，则的面积是 ．     【答案】45 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积，将几何问题转化为代数问题是解题的关键． 设长方形的长为，宽为，则，，，利用代入数据计算即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，则，，， ∴ ． 故答案为： ． 解答题 19．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 【题型5.矩形的判定定理理解】 20．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴现要判断这个四边形是否为矩形，可以测量是否有三个角是直角， 故选：C． 21．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：D． 22．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    【答案】对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角 【分析】本题考查矩形的判定和矩形的性质．判断平行四边形为矩形是解题的关键． 根据矩形的判定方法和性质即可得出答案． 【详解】解：∵书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等， ∴书架是平行四边形， ∵书架得对角线相等， ∴书架是矩形， ∴书架是四个角都是直角， 故答案为：对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角． 23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 24．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】13 【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果． 【详解】解：如图，连接，， 在矩形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∴， 则，则的最小值转化为的最小值， 在的延长线上截取，连接， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， 连接，则， ∵，， ∴． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 【题型6.由矩形性质证明结论】 25．如图，在矩形中，对角线交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．由题意易得，然后可得为等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴； 故选B． 26．如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质，根据矩形的性质可知，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点是的中点， ． 故答案为：． 27．如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，含30度角直角三角形的性质，熟练矩形的性质是解决本题的关键． 根据矩形的性质以及直角三角形的性质，得到，进而得到，即可解题． 【详解】解：矩形， ， ， ， ， ； 故选：D． 28．墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点，，与点，，分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（   ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据矩形的性质得到，，即可由证明全等． 【详解】解：∵矩形瓷砖与矩形瓷砖，且规格相同， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 29．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】设与EF的交点为O，过点A作于H，由平行四边形的性质可得，即当时，有最小值，即有最小值，由面积法可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：设与EF的交点为O，过点A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 30．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】当在的上方时，连接，则过的中点，交于点，由矩形的性质及勾股定理得，，，又由折叠的性质得，，再在中，利用勾股定理构造方程即可求解，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点，同理可得的长． 【详解】解：如下图，当在的上方时，连接，则过的中点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴即， 解得， 如下图，当在的下方时，连接，则过的中点，射线交于点， 同理可得：，，，， ，， ∴即， 解得， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的三线合一，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 【题型7.添条件判定四边形为矩形】 31．如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形． 根据矩形的判定方法逐一判断即可． 【详解】A． ∵，∴，即，平行四边形不是矩形 B． ，无法判定平行四边形是矩形 C． ，无法判定平行四边形是矩形 D． ∵，∴，平行四边形是矩形 故选：D． 32．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：矩形的判定定理，有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以当时，平行四边形是矩形， 故D符合题意， 其他选项的条件均不能使平行四边形成为矩形. 故选D． 33．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 【题型8.证明四边形为矩形】 34．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】设与EF的交点为O，过点A作于H，由平行四边形的性质可得，即当时，有最小值，即有最小值，由面积法可求，通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：设与EF的交点为O，过点A作于H， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 35．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案． 【详解】解：∵点O是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意； ．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； ．若，∴， ∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意； 故选：A． 36．如图，，，于点E．则下列条件中，不能使四边形成为矩形的条件是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，先证明，得出，然后根据矩形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； A．∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故A不符合题意； B．∵，， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故B不符合题意； C．根据不能判定四边形为矩形，故C不符合题意； D．∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形，故D不符合题意． 故选：C． 37．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列三组条件：①，；②；③，；其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 ．（填写所有正确条件的序号） 【答案】②③/③② 【分析】此题主要考查了矩形的判定方法直角三角形的性质．根据题意画出示意图，根据矩形的判定方法分别判断得出即可． 【详解】解：①如图， ，，四边形可能是等腰梯形，故①不能判定这个四边形是矩形； ②如图， ， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形；故②能判定这个四边形是矩形； ③如图，取中点M，连接，则 ∵， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∵， ∴重合， ∴四边形是矩形（对角线相等且平分）；故③能判定这个四边形是矩形； 故答案为：②③． 解答题 38．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）根据勾股定理，矩形的性质，三角形面积不变性，解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形面积性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 【题型9.由矩形性质与判定求角度】 39．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，由角的和差关系求出，再根据等边对等角求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：A． 40．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 41．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判定书架是矩形，由矩形的性质可得结论． 【详解】解：用绳子分别测量两条对角线，如果相等，则是矩形，依据是对角线相等的平行四边形为矩形，然后由矩形的四个角都是直角可得侧边和上、下底都垂直， 故选C． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的判定定理解决实际问题是解此题的关键． 解答题 42．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识. 首先证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【题型10.由矩形性质与判定求线段长】 43．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交延长线于点E，证明出四边形是矩形，得到，，，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作交延长线于点E ∵，， ∴四边形是矩形 ∴，， ∴ ∴． 故选：A． 44．如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，垂线段最短，连接，根据矩形的性质得到，当最小时，最小，当时，的值最小，根据矩形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当最小时，最小， 当时，的值最小， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴的最小值为2， 故选：B． 45．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B．10 C．15 D．17 【答案】D 【分析】此题重点考查平面展开-最短路径问题，画出圆柱形玻璃杯的侧面展开图并且正确地作出辅助线是解题的关键．将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点E，使，连接交于点F，连接，由垂直平分，得，则，可知蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段的长，作于点G，则，求出，，求得，根据勾股定理求出，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将圆柱形玻璃杯的侧面展开，延长到点E，使，连接交于点F，连接， ∵垂直平分， ， ∴， ∴， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为线段的长， 作于点G，则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短路程为， 故选：D． 46．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 解答题 47．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【答案】当时，四边形是矩形 【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 当时，四边形是矩形， 即， 解得：． 所以当时，四边形是矩形． 【题型11.由矩形性质与判定求面积】 48．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 49．如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的性质，过点 D 作于点G，则四边形是矩形．可得，再根据矩形和平行四边形的性质可得． 【详解】解：如图，过点 D 作于点G， ∵ 四边形 是矩形， ∴， ． ∴ 四边形是矩形． ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 50．如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 先证明四边形是矩形，得到，再运用勾股定理即可求解，继而得到矩形的面积． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：C． 51．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． 【答案】 21 【分析】本题考查矩形的判定和性质、三角形的面积.由矩形的判定和性质得到，，，，，即可得到，计算即可. 【详解】解：作于M，交于N，如图，    则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：；21． 【题型12.矩形折叠综合问题】 52．如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则的度数为 °． 【答案】75 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应角相等是解题的关键．利用矩形的性质和折叠的性质，先求出的度数，再根据折叠得出，进而求出的度数． 【详解】解：∵ 四边形是矩形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 矩形沿折叠，点落在边上的点处， ∴ ， ∴ ，． 在中，． 故答案为：． 53．如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据勾股定理求出，根据折叠得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴ ． 故选：C． 54．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称，勾股定理，等腰三角形的判定及性质．过点E作轴于点F，由可得，，由长方形与折叠的性质可得，从而，设，则，，在中，根据勾股定理得，代入即可解得，根据的面积可求得，进而在中，根据勾股定理可求得，结合点E的位置可得点E的坐标． 【详解】解：过点E作轴于点F， ∵， ∴，， ∵在长方形中，， ∴， ∵由折叠有， ∴， ∴， 设，则，， ∵在长方形中，， ∴在中，， 即， 解得， ∴， 由折叠可得， ∴， ∵或， ∴， 即， ∴， ∵轴， ∴在中，， ∴点E的坐标为． 故答案为：． 55．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，根据证明可得，设，利用勾股定理求根据方程求出即可解决问题； 【详解】解：在和中， ∴（）， ∴，， ∴， 设， 则，，， 在中，， ∴， 解得， ∴； 故选C． 解答题 56．已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理在翻折中的应用，解题的关键是灵活运用勾股定理等几何知识来分析、判断、推理或解答． 首先根据勾股定理求出的长，借助翻转变换的性质及勾股定理列式求出的长，即可解决问题； 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ； 【题型13.直角三角形斜边中线性质】 57．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；解题的关键是熟练掌握该性质． 由图求得的长度，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：由图可知，点D为边的中点， ∵在中，， , 故选：B． 58．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了尺规作图-角平分线，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键．由作图可得平分，由得，再由点为的中点得，进而即可得解． 【详解】解：由作图知，平分， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：A． 59．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求出，根据三角形的周长公式即可求出的周长． 【详解】解：、分别是的高， 又点为的中点， ， ， ， 又， 的周长是． 故答案为： ． 60．如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，根据直角三角形斜边中线的性质，，则有，，再通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为： 61．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及直角三角形斜边上的中线性质，用勾股定理解三角形等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和三角形面积求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ，，， ， ，，. ， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 根据垂线段最短可知，当时，最短，则也最短， 此时，， ， 即最短时，， 的最小值， 故选：C． 解答题 62．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为4． 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和等边三角形的判定和性质； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3.1矩形题型突破讲义 核心重点：必须吃透的 “矩形核心密码” 1.定义本质：矩形是 “角特殊化” 的平行四边形，只要满足 “平行四边形 + 一个直角”，就能判定为矩形，这个双重条件缺一不可。 2.性质王牌：四个角全是直角（直角模型直接用）、对角线相等且互相平分（矩形独有的关键特征），同时还继承平行四边形的所有性质。 3.黄金推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这是矩形性质延伸的 “解题神器”，常用来快速求线段长度。 4.判定三招：平行四边形背景下，证一个直角或对角线相等；普通四边形背景下，证三个角是直角，精准选对方法就能少走弯路。 易错难点：突破这些 “拦路虎” 1.概念混淆坑：容易忽略 “矩形是特殊平行四边形” 的前提，把矩形性质和普通平行四边形性质混为一谈，比如误认 “平行四边形对角线都相等”。 2.判定选择难：面对题目不知道该用哪种判定方法，尤其在复杂图形中，不会先判断是否为平行四边形，再找特殊条件。 3.综合应用障：不会将矩形性质与直角三角形、等腰三角形知识结合，遇到折叠、对角线夹角等题型就卡壳，比如不会利用 60° 夹角推导等边三角形求边长 4.逆向思维弱：从矩形性质反向推导判定条件时逻辑混乱，书写推理过程不规范，关键条件遗漏导致扣分。 基础过关题 1.矩形性质概念理解 2.由矩形性质求角度 3.由矩形性质求线段长 4.由矩形性质求面积 5.矩形的判定定理理解 6.由矩形性质证明结论 7.添条件判定四边形为矩形 能力提升题 8.证明四边形为矩形 9.由矩形性质与判定求角度 . 10.由矩形性质与判定求线段长 11.由矩形性质与判定求面积 拓展拔高题 12.矩形与折叠的综合问题 13.直角三角形斜边中线性质 【题型1.矩形性质概念理解】 1．下列关于矩形叙述正确的是（    ） A．对角线相等且互相垂直 B．对角线互相垂直的平行四边形 C．对角线相等且互相平分的四边形 D．矩形的对角线平分一组对角 2．割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》已经能十分灵活地应用“出入相 补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是应用出入相补原理，由长方形面积导出的．  如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积为20，那么图中阴影部分的面积是 3．荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为 米． 4．如图，在长方形ABCD中，，一发光电子开始置于AB边上的点P处，并设定此时为发光电子第一次与长方形的边碰撞，将发光电子沿着PR方向发射，碰撞到长方形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，当发光电子与长方形的边碰撞2025次后，它与AB边的碰撞次数是 ． 解答题 5．如图，在中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接， (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的面积． 【题型2.由矩形性质求角度】 6．将两个矩形按如图放置，若，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 8．如图，的边与矩形的边相交于点．若，，则的大小为 ． 9．如图，在矩形中，点E为边上一点，连接，将沿折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，，则 ． 【题型3.由矩形性质求线段长】 10．如图，在矩形中，对角线与相交于点．已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中，对角线相交于点，于点．若，则的长为 ． 12．如图，平面直角坐标系中，点，点，四边形是矩形，与交于M，以点O为圆心，的长为半径作圆弧交x轴于点N，则点N的横坐标为（    ） A．2 B．3 C． D． 13．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 解答题 14．如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件： ①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【题型4.由矩形性质求面积】 15．如图，直线过矩形对角线的交点O，分别交于点E、F，且，那么图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 16．如图，矩形的对角线，相交于点，于点，，则 ． 17．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为，若点P是矩形内部一点，连结、、、，则与的面积的和为（    ） A．1.5 B．2 C．3 D．无法确定 18．如图，长方形的面积是，为上一点，，为上一点，，则的面积是 ．     解答题 19．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【题型5.矩形的判定定理理解】 20．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（   ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量对角线是否互相垂直 C．测量是否有三个角是直角 D．测量对角线是否相等 21．工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 22．如图，一个书架的两条侧边、上下底边的长度分别相等．为了检查该书架的四个角是否都是直角，小亮先用绳子连接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容： ．    23．如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 24．如图，在矩形中，，点P在上，点Q在上，且，连接，则的最小值为 ． 【题型6.由矩形性质证明结论】 25．如图，在矩形中，对角线交于点，若，则的长为（   ） A． B．6 C． D．12 26．如图，在矩形中，为对角线的中点，若，则 ． 27．如图，在矩形中，对角线，交于点，已知，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．8 28．墙面上贴有规格相同的矩形瓷砖．如图，矩形瓷砖与矩形瓷砖之间用三角形瓷砖与三角形瓷砖拼接，点，，与点，，分别在同一直线上．小雅发现与全等，她的依据是（   ） A．SAS B．ASA C．HL D．SSS 29．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 30．如图，在矩形中，，，点是的中点，点是直线上一点，将沿所在的直线翻折，点落在对称点处，当时，的长为 ． 【题型7.添条件判定四边形为矩形】 31．如图，在下列条件中，能够判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 32．如图，要使平行四边形成为矩形，需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 33．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【题型8.证明四边形为矩形】 34．如图，在矩形中，．点为对角线上异于的一点，以，为邻边作平行四边形，则线段的最小值是 ． 35．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C． D． 36．如图，，，于点E．则下列条件中，不能使四边形成为矩形的条件是（   ）    A． B． C． D． 37．四边形中，对角线，相交于点O，给出下列三组条件：①，；②；③，；其中一定能判定这个四边形是矩形的条件有 ．（填写所有正确条件的序号） 解答题 38．如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于点F，若，求的长． 【题型9.由矩形性质与判定求角度】 39．如图，在中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 40．如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则 ． 41．如图，用一根绳子检测一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量两条对角线就可以判断了．在如下定理中：①两组对边分别相等的四边形是平行四边形，②对角线相等的平行四边形是矩形，③矩形的四个角都是直角，④三个角都是直角的四边形是矩形，这种检测方法用到的数学根据是（    ） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 解答题 42．如图，在平行四边形中，对角线和交于点，且．，求的度数． 【题型10.由矩形性质与判定求线段长】 43．如图，，，若，，，连接，则的长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 44．如图，在矩形中，，点分别是和上的动点，四边形是矩形，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D． 45．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A． B．10 C．15 D．17 46．如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 解答题 47．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？    【题型11.由矩形性质与判定求面积】 48．矩形中，点M在对角线上，过M作的平行线交于E，交于F，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 49．如图，平行四边形和矩形的位置如图所示，点D在上，则平行四边形和矩形的面积的大小关系是 （   ） A． B． C． D． 50．如图，在四边形中，，，连接与交于点O，若，，则四边形的面积为（   ） A．24 B．36 C．48 D．60 51．如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为 ，阴影部分的面积为 ． 【题型12.矩形折叠综合问题】 52．如图，矩形沿折叠，使点落在边上的点处，如果，则的度数为 °． 53．如图，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿折叠，使得点B的对应点恰好落在对角线上，若，，则的周长为（    ） A．3 B．5 C．12 D．16 54．如图，将长方形放置于平面直角坐标系中，点与原点重合，点，分别在轴和轴上，点，连接，并将沿翻折至长方形所在平面，点的对称点为点，则点的坐标为 ． 55．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿折叠，点落在点处，、分别交于点、，已知．则的长为（    ） A． B． C． D． 解答题 56．已知，如图折叠长方形的一边，使点D落在边上的点F处，如，．求的长． 【题型13.直角三角形斜边中线性质】 57．一技术人员用刻度尺（单位：）测量某三角形部件的尺寸，如图所示，已知，点A，D，B对应的刻度数依次为0，4，8，则（   ） A． B． C． D． 58．如图，中，，点为的中点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点，连接，则的长是（   ） A．5 B． C．8 D． 59．如图，分别是的高，为的中点，，，则的周长是 ． 60．如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ． 61．如图，在中，，，，P为边上一动点，于E，于，为的中点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解答题 62．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $