第02讲 矩形的性质和判定（知识解读+例题精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

本讲义聚焦矩形的性质与判定核心知识点，系统梳理矩形定义、性质（含平行四边形性质、对角线相等、四角直角、轴对称）及判定方法（定义、对角线相等的平行四边形、四角相等的四边形），通过性质应用（求角度、线段长、面积、折叠）与判定证明的题型设计，构建从基础到综合的学习支架。 资料以典例带变式，覆盖动态几何（如折叠问题）和综合证明，培养学生几何直观与推理能力，结合实践基地面积等实际情境题提升应用意识。课中助力教师系统授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第02讲 矩形的性质和判定 考点1：矩形的定义 考点2：矩形的性质 考点3：矩形的判定 重点： （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 难点： （1）矩形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选A． 【变式1】如图，在矩形中，连接 ，若 ，则 的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可．根据矩形的性质可得，，可得，，即可得答案． 【详解】设交于O， ∵矩形， ， ， 故选：A． 【变式2】如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质和矩形的性质．根据矩形的性质得到，根据两直线平行，内错角相等得到，即可求出答案． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 直线， ∴ ∴ 故选：C． 【变式3】如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证明是等边三角形，是等腰直角三角形是解题的关键． 根据矩形的性质可得，再证明是等边三角形，可得，，然后得到是等腰直角三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【典例2】如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（　　） A．6 B．8 C．11 D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，掌握矩形对角线互相平分是解题关键．根据矩形的性质，得到，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，， ，，， ， ， 故选：A． 【变式1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 故选：B． 【变式2】如图，在矩形中，对角线与相交于点．已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题关键．先根据矩形的性质可得，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 【变式3】如图，在矩形中，，，对角线和交于点，过点作垂直于，交于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理等知识，连接，由矩形的性质得出，，，，再由线段垂直平分线得出，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如解图，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，，，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 即， 解得． 故选：C． 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【典例3】如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要根据矩形的性质，得，再由与同底等高，与同底且的高是高的得出结论．本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质． 【详解】解：四边形为矩形， ， ∴ 在与中， ， ， 阴影部分的面积， ∵与同底且的高是高的 ． 故选：B． 【变式1】矩形的对角线长为13，相邻两边长的比为，则它的面积为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理．设矩形的相邻两边长分别为，根据勾股定理可得，从而得到矩形的相邻两边长分别为12，5，即可求解． 【详解】解：设矩形的相邻两边长分别为， ∵矩形的对角线长为13， ∴， 解得：， ∴矩形的相邻两边长分别为12，5， ∴它的面积为． 故选：B 【变式2】如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质以及三角形面积；熟练掌握矩形的性质，证出是解题的关键．由矩形的性质得，推出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：四边形是矩形，、相交于点， ，，， ， ， 矩形的面积为， 故选：B． 【变式3】为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理求得矩形的长为，进而根据矩形性质，即可求解． 【详解】解：根据图中数据可得，矩形的边长为 ∴矩形的面积为， 故选：A． 【题型4 矩形与折叠问题】 【典例4】如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 【变式1】如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上点F处，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先证明，得到，继而求出，，，根据勾股定理，得到，代入求解即可． 【详解】解：由折叠，得 ， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选C． 【变式2】如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质；熟练掌握折叠题目中找出相等的角是解题的关键． 由矩形的性质得，由折叠的性质得到相等的角，再根据图形找到角之间的关系，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， 故选：C． 【变式3】将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题考查了翻折变换，矩形的性质，等边三角形的判定以及性质，由折叠的性质可得，可得是等边三角形，即可求．进一步得出． 【详解】解：如图，连接， ∵对折矩形的纸片，使与重合， ， ， ∵把再对折到， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 故选：C． 知识点2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 【典例5】在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握“有一个角是直角的平行四边形是矩形”是解题的关键． 根据矩形的判定定理，结合平行四边形的性质，逐一分析各选项是否能判定平行四边形为矩形． 【详解】解：选项A： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项B： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 选项C： ∵ ，四边形是平行四边形， ∴ 平行四边形是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），不能判定为矩形； 选项D： ∵ 平行四边形中本身就有（平行四边形对角相等）， ∴ 此条件不能判定为矩形． 故选：B． 【变式1】如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形等）是解题的关键．根据矩形的判定定理，逐一分析每个选项，判断哪个条件能使平行四边形成为矩形． 【详解】解：选项A：∵平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项B：∵ ，平行四边形中邻边相等时是菱形，不是矩形的判定条件， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项C：∵ 平行四边形本身就有的性质， ∴ 此条件不能使平行四边形变为矩形，该选项错误； 选项D：∵ 矩形的判定定理之一是“对角线相等的平行四边形是矩形”，平行四边形中， ∴ 平行四边形是矩形，该选项正确； 故选：D． 【变式2】如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定定理，根据矩形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握矩形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、不能判定平行四边形是矩形，故A选项符合题意； B、∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故B不符合题意； C、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故C不符合题意； D、∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故D不符合题意； 故选：A． 【变式3】如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查矩形的判定；根据矩形的判定条件进行解答即可． 【详解】解：添加条件为：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 故选：A． 【题型6 矩形的判定】 【典例6】点O是菱形的对角线的交点，，，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的性质与矩形的判定，解题的关键是先证四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证其为矩形． 由、证四边形是平行四边形；结合菱形对角线互相垂直得，进而证平行四边形是矩形． 【详解】证明：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形． ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即 ∴平行四边形是矩形． 【变式1】如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形性质，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平行四边形性质，证明，结合全等三角形性质推出，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ， ∴， 点E是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． 【变式2】如图，中，，是边上的中线，点是中点，延长到，使，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，先证明四边形为平行四边形，再根据等腰三角形的性质证明，进而即可得到答案，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】证明：∵点是中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，为中线， ∴， ∴， ∴四边形为矩形． 【变式3】如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、等腰三角形的性质等知识．先利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再利用三线合一证明，即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：是AC中点， ， 又， 四边形是平行四边形； ，是中点， ， ， 四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 【变式1】如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理. （1）根据等腰三角形三线合一得到，，，根据角平分线的定义得到，可知，根据垂线的定义得到，可证四边形是矩形； （2）根据勾股定理得到，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理计算即可. 【详解】（1）证明：∵，是中线， ∴，，， 又∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，为中线． ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 【变式2】如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）由平行四边形性质得到且，即可得到，可得是平行四边形，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到，，进而求得，，由勾股定理可求得和，由平行四边形性质得，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中， ∴且， ∵， ∴， 即． ∴且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴是矩形； （2）解：由（1）知：四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴在中，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 【变式3】如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于点F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质，三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）根据勾股定理，矩形的性质，三角形面积不变性，解答即可． 本题考查了等腰三角形的三线合一性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形面积性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 1．如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 故选：B． 2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质：矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，对选项逐一进行判断即可． 【详解】解：根据矩形的性质可知，矩形的对边相等，对角线相等而且互相平分、四个角等于，但矩形的邻边不一定相等， 故A符合题意，B不符合题意，C不符合题意，D不符合题意， 故选：A． 3．如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否相等 B．测量一组邻角是否互补 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量三个内角是否都是直角 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定．由矩形的判定逐一分析即可得出结论． 【详解】解：对角线相等的四边形不一定是矩形，故选项A不符合题意； 一组邻角互补的四边形不一定是矩形，故选项B不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故选项C不符合题意； 三个角是直角的四边形是矩形，故选项D符合题意； ∴在这四个拟定方案中，正确的方案是D， 故选：D． 4．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，理解矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形的性质，结合角平分线的定义求出，利用等腰三角形的性质求出，即可求出答案． 【详解】解：在矩形中，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，连接，过点作轴于点，根据勾股定理求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点， 点的坐标是， ，， ， 又四边形是矩形， ， 故选：． 6．如图1，在长方形中，，连接，动点从点出发，沿的路线运动．设点运动的路程为，的面积为．若与的对应关系如图2所示，则图中的值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图像、矩形的性质以及勾股定理，根据运动路程和面积的函数图，判断动点的位置即可． 【详解】 的大小取决于边上的高 当动点在上时，高越大，面积越大 当动点在上时，高不变，面积不变，观察图可知此时的面积为 由于到时，面积最大，因此 长方形 当动点在上时，高越小，面积越小 当到时，面积为，此时的路程即为周长 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质和点的坐标，熟练掌握矩形的性质是解题关键． 先由矩形的性质得出线段的长，再结合点的坐标即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ∴点的坐标为， 故答案为：． 8．如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 9.如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理等知识，垂线段最短；利用矩形的性质转化为求的最小值是解题的关键．连接，证明四边形是矩形，则，当取得最小值时，取得最小值，此时，利用面积相等即可求得的最小值，从而求解． 【详解】解：连接，如图所示； ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 当取得最小值时，取得最小值，此时； ∵，，， ∴由勾股定理得：； ∵， ∴， 即的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 10．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，从而可得，然后根据矩形的判定即可得证； （2）先根据等边三角形的性质可得，从而可得，再根据矩形的性质可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， 是等边三角形， ， ， 是矩形； （2）是等边三角形，， ， ， 由（1）已证：是矩形， ， 则在中，． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． 11．如图，已知，延长到E，使，连接，若．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，根据题意得到，根据矩形的判定定理证明； （2）根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，    ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，证得四边形是矩形是本题的关键． 12．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只要证明四边形是平行四边形，且即可； （2）利用等腰三角形的性质与矩形的性质求出，，进而即可求出面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴，即， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，是边上的中线， ∴． 由（1）知，四边形是矩形，， ∴， 在中，． ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质、等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 矩形的性质和判定 考点1：矩形的定义 考点2：矩形的性质 考点3：矩形的判定 重点： （1）矩形性质的应用 （2）矩形的判定 难点： （1）矩形性质与判定的综合证明 （2）动态几何中的平行四边形存在性问题 知识点1：矩形的性质 ※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 ※矩形的性质：（1）具有平行四边形的性质 （2）对角线相等 （3）四个角都是直角。 注意：（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 【题型1 利用矩形的性质求角度】 【典例1】如图，在矩形中，对角线相交于点，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在矩形中，连接 ，若 ，则 的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式2】如图，直线，矩形的顶点A、D分别在直线b、a上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中，相交于点O，平分交于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型2 根据矩形的性质求线段长】 【典例2】如图，在矩形中，两条对角线与相交于点，则的长为（　　） A．6 B．8 C．11 D． 【变式1】如图，在矩形中，对角线与相交于点，则的长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【变式2】如图，在矩形中，对角线与相交于点．已知，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在矩形中，，，对角线和交于点，过点作垂直于，交于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．2 【题型3 根据矩形的性质求面积】 【典例3】如图，过矩形 对角线的交点 O，且分别交于 E 、F，那么阴影部分的面积是矩形 的面积的（      ） A． B． C． D． 【变式1】矩形的对角线长为13，相邻两边长的比为，则它的面积为（   ） A．30 B．60 C．120 D．240 【变式2】如图，矩形中，、相交于点O，若的面积是3，则矩形的面积是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【变式3】为了提高学生动手能力，学校借助直角三角形花坛的一条直角边开辟出一个矩形实践基地，根据图中数据，可知该矩形实践基地的面积为（    ） A． B． C． D． 【题型4 矩形与折叠问题】 【典例4】如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】如图，将矩形沿直线折叠，顶点A落在边上点F处，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】如图，将矩形纸片沿折叠（点E在上），使点A落在对角线上的处．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式3】将矩形纸片对折，使边与重合，折痕为，展开后在上取点P折叠，使点B的对应点恰好落在上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 知识点2：矩形的判定 ※矩形的判定：（1）有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 （2）对角线相等的平行四边形是矩形。 （3）四个角都相等的四边形是矩形。 【题型5 添一条件使四边形是矩形】 【典例5】在中，连接，再添加一个条件，可以判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，要使平行四边形成为矩形，需要增加的一个条件可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点．小明准备用绳子和三角尺检查这个书架是否为矩形，下列验证方法错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示，线段的端点B在直线上，过线段上的一点O作的平行线，分别交和的平分线于点C，D，连接，要使四边形为矩形，则可添加下列条件中的（    ） A． B． C． D． 【题型6 矩形的判定】 【典例6】点O是菱形的对角线的交点，，，连接．求证：四边形是矩形． 【变式1】如图，在平行四边形中，点E是的中点，且，求证：四边形是矩形． 【变式2】如图，中，，是边上的中线，点是中点，延长到，使，连接．求证：四边形是矩形． 【变式3】如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长到，使得．求证：四边形是矩形． 【题型7 矩形的性质与判定综合】 【典例7】如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【变式1】如图所示，在中，，是中线，是的外角的平分线，，垂足为E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式2】如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长度． 【变式3】如图，中，，平分，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)作于点F，若，求的长． 1．如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 2．下列性质中，矩形不一定具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．对角相等 3．如图，为判断这个四边形门框是否为矩形，提出下列四个测量方案，其中正确的是（    ） A．测量对角线是否相等 B．测量一组邻角是否互补 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量三个内角是否都是直角 4．在矩形中，对角线、相交于点，的角平分线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（    ） A． B． C． D． 6．如图1，在长方形中，，连接，动点从点出发，沿的路线运动．设点运动的路程为，的面积为．若与的对应关系如图2所示，则图中的值为（   ） A．11 B．12 C．13 D．15 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，已知点，则点的坐标是 ． 8．如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    9.如图，在中，，，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点，于点，连接，则线段长的最小值为 ． 10．如图，的对角线，相交于点，是等边三角形，． （1）求证：是矩形； （2）求的长． 11．如图，已知，延长到E，使，连接，若．    (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，求的长． 12．如图，在中，，是边上的中线，过点A作的平行线，过点B作的平行线，两直线交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，交于点O，若，，求四边形的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $