精品解析：福建省福州第八中学2025-2026学年九年级上学期第三次月考数学试卷

九年级（上）第三次月考数学试卷 一．选择题（每题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在下列四个条件：①；②；③；④中，能使的条件有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 体育老师为调查七年级学生的体质健康状况，从全校1000名七年级学生中随机抽取50名进行一分钟跳绳测试，并对数据进行整理，结果如表： 次数x （单位：次） 频数 5 12 28 5 跳绳次数不低于180次为优秀，估计七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有（ ） A. 50 B. 100 C. 500 D. 900 6. 如图，一块含角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 7. 某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为，若长不变，将宽扩大，使得扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加，设原来花圃长为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（ ） A. 可以有一个角是直角 B. 可以有两个角是直角 C. 三个角都是直角 D. 三个角都不是直角 9. 如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻成反比例关系的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，的取值范围是 10. 已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二．填空题（每题4分，满分24分） 11. 抛物线的顶点坐标为____________． 12. 如图，、分别是的边、上的点，且，若，则______． 13. 方程的两根分别为，则___________． 14. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 15. 长方形中，以点为圆心的长为半径画弧交于点，以为直径的半圆与相切，切点为，已知，则图中阴影部分的面积为 ______ ．（结果保留） 16. 如图，在中，，，，是线段上一点（不与端点，重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点，则线段长度的最大值为______． 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得，边与相交于点P，与相交于点Q．求证∶． 19. 已知二次函数． （1）当时，二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； （2）若二次函数的部分图象如图所示， 求二次函数图象的对称轴； 求关于的一元二次方程的解． 20. 如图所示，在中，，以为直径的交于点． （1）尺规作图：过点作的切线，并交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的值． 21. 一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． （2）先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率． 22. 阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． （1）函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； （2）如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； （3）在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 23. 已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； （3）在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 24. 实践课上，同学们利用量角器、三角尺进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 25. 如图，在等腰直角中，，P是射线上一个动点，连接，以为斜边构造等腰直角(点C，D，P按逆时针方向)，M为的中点，连接． （1）当点P在线段上运动时，求证∶． （2）设，的面积为y． ①当时，求y关于x的函数表达式． ②记D关于直线的对称点为，若在的外接圆内部，求y的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）第三次月考数学试卷 一．选择题（每题4分，满分40分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图中的主视图定义，从前往后看，得到的平面图形即为主视图． 【详解】解：从正面看到的平面图形是3列小正方形，从左至右第1列有1个，第2列有2个，第3列有2个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了组合体的三视图，解题的关键是根据主视图的概念由立体图形得到相应的平面图形． 3. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质计算即可． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为（0，0） 又∵向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度 ∴此时顶点坐标为（5，-3） ∴移动后抛物线方程为 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的移动，抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．抛物线的移动主要看顶点的移动，的顶点是（0，0），抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移 4. 如图，在下列四个条件：①；②；③；④中，能使的条件有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，逐项判断即可． 【详解】①∵， 又， ∴． 条件①符合题意． ②∵， 又， ∴． 又， ∴． 条件②符合题意． ③根据不能判断． 条件③不符合题意． ④∵， 又， ∴． 条件④符合题意． 综上所述 条件①②④能使． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键． 5. 体育老师为调查七年级学生的体质健康状况，从全校1000名七年级学生中随机抽取50名进行一分钟跳绳测试，并对数据进行整理，结果如表： 次数x （单位：次） 频数 5 12 28 5 跳绳次数不低于180次为优秀，估计七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有（ ） A. 50 B. 100 C. 500 D. 900 【答案】B 【解析】 【分析】用总人数乘以优秀率即可． 【详解】解：， ∴七年级学生跳绳测试达到优秀的人数有100名． 故选：B． 【点睛】本题考查了频数分布表，正确从频数分布表中获取信息是解题的关键． 6. 如图，一块含角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C， ∴BC与B'C是对应边， ∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键． 7. 某小区中央花园有一块长方形花圃，它的宽为，若长不变，将宽扩大，使得扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加，设原来花圃长为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设原来花圃长为，根据“扩大后的花圃变成正方形，且面积比原来增加”列出一元二次方程即可，解题的关键是弄清题意，找到等量关系． 【详解】解：设原来花圃长为， 由题意得：， 故选：B． 8. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应假设这个三角形的三个内角中（ ） A. 可以有一个角是直角 B. 可以有两个角是直角 C. 三个角都是直角 D. 三个角都不是直角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用反证法证明命题的方法．熟记反证法的步骤，然后进行判断． 【详解】解：用反证法证明“三角形的三个内角中，不能有两个直角”时，应先假设这个三角形中可以有两个角是直角． 故选：B． 9. 如图是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电流与电阻成反比例关系的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时， D. 当时，的取值范围是 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实际问题与反比例函数，利用反比例函数图像得出函数解析式，进而利用反比例函数的性质逐一分析即可，正确得出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：、由图像可知：当时，，该选项错误，不符合题意； 、设与的函数关系式是， 把代入得：，解得：， ∴与的函数关系式是，该选项错误，不符合题意； 、由图像可知：当时，， ∴当时，，该选项错误，不符合题意； 、由上得与的函数关系式是， 当时，；当时，， ∴当时，的取值范围是，该选项正确，符合题意； 故选：． 10. 已知点，是二次函数的图象上任意两点，设，若当且时，都有，则的取值范围（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】把点，代入可得，，则，即，故有，又，则，然后分当时，当时两种情况分析求解即可． 【详解】解：∵点，是二次函数的图象上任意两点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∴当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上可得的取值范围是或． 二．填空题（每题4分，满分24分） 11. 抛物线的顶点坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】用配方法将抛物线的一般式化为顶点式，可求得顶点坐标． 【详解】∵ ∴抛物线的顶点坐标为： 故答案为： 【点睛】此题考查了抛物线的顶点式，将抛物线的解析式化为顶点式，则顶点坐标是，熟练掌握配方法是解决问题的关键． 12. 如图，、分别是的边、上的点，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，得出；证明，，得到，由相似三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：， ； ； ， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 13. 方程的两根分别为，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，，． 14. 如图是反比例函数的图象．整数的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的性质得，由图得，即可求解；理解反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 图象在第一象限， ， 是整数， ， 故答案为：． 15. 长方形中，以点为圆心的长为半径画弧交于点，以为直径的半圆与相切，切点为，已知，则图中阴影部分的面积为 ______ ．（结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，矩形的性质，正方形的判定与性质，扇形面积的计算，取中点，连接，由切线的性质得到，由矩形的性质推出，又，推出四边形是正方形，得到阴影的面积扇形的面积扇形的面积正方形的面积，即可求出阴影的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∵以为直径的半圆与相切，切点为， ∴， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴阴影的面积扇形的面积扇形的面积正方形的面积， ∵， ∴正方形的边长是， ∴阴影的面积， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，是线段上一点（不与端点，重合），连接，以为边，在的右侧作等边三角形，线段与线段交于点，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作于点，则，求得，由角所对的直角边等于斜边的一半，求得的值，再由勾股定理求出的值．证明，由相似三角形的性质得到，可知当最小时，则最大，由，求得的最小值为，即可求解． 【详解】解：作于点，则， ，， ， ， ． 是等边三角形，与交于点， ． ， ， ， ， ， ． ， ， 当最小时，则最大， ，即， 的最小值为， 当时，， 线段长度的最大值为， 故答案为： 三．解答题（共9小题，满分86分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法是解题的关键． （）利用因式分解法解一元二次方程即可； （）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： 或， ∴，； 【小问2详解】 解： ， ， 或， ∴，． 18. 如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得，边与相交于点P，与相交于点Q．求证∶． 【答案】 证明∶∵将绕点C逆时针旋转得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，根据旋转的性质，得到，证明，即可得出结论． 【详解】略 19. 已知二次函数． （1）当时，二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围； （2）若二次函数的部分图象如图所示， 求二次函数图象的对称轴； 求关于的一元二次方程的解． 【答案】（1） （2）直线；， 【解析】 【分析】（）将代入二次函数中，然后根据当时，二次函数 的图象与轴有两个交点，可知 ，然后即可求得的取值范围； （）将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴； 根据图象与轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与轴的另一个交点，然后即可写出关于的一元二次方程的解； 本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用． 【小问1详解】 当 时，， ∵当时，二次函数的图象与轴有两个交点， ∴， 解得； 【小问2详解】 ∵， ∴二次函数的图象的对称轴是直线； 由图象可知：二次函数的图象与轴交于点(1,0), 由知，该函数的对称轴为直线， ∴该函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的解是，． 20. 如图所示，在中，，以为直径的交于点． （1）尺规作图：过点作的切线，并交于点．（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的值． 【答案】（1） 如图，连接，过点作直线，交于点，则直线即为所求； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，过点作直线，交于点，则直线即为所求； （）连接，由为的直径，则，又直线为的切线，所以，则，所以，因为，所以，则，然后通过等腰三角形性质可得，再证明，所以，即，从而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵直线为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图——作垂线，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质，同角的余角相等，等腰三角形的性质，掌握这些知识点的应用是解题的关键． 21. 一个不透明的口袋中装有2个红球（记为红球1、红球2）、1个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀． （1）从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． （2）先从中任意摸出1个球，再从余下的2个球中任意摸出1个球，请用列举法（画树状图或列表），求两次都摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式计算概率，用列表法或树状图法求概率，熟记概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）用树状图求解即可． 【小问1详解】 解：口袋中共有 3 个球，其中红球有 2 个， 所以，从中任意摸出1个球，恰好摸到红球的概率． 【小问2详解】 画树状图： 所有可能的结果共有6种：(红球 1，红球 2)、(红球1，白球)、(红球 2，红球 1)、(红球 2，白球)、(白球，红球 1)、(球，红球 2) ，其中“两次都摸到红球“的结果有 2 种:(红球 1，红球 2)、(红球 2，红球 1)， 所以，（两次都摸到红球）． 22. 阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． （1）函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； （2）如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； （3）在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 【答案】（1）左，下 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数图像的平移； （1）根据函数图象平移的规律可得答案； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：先向左平移3个长度单位，再向下平移2个长度单位得到，得到了， 故答案为：左，下． 【小问2详解】 解：将，代入， 得， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示， 过，两点， 根据函数图象像可得，当时，或． 23. 已知二次函数与轴交于，与轴交于点两点，作直线． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图，点是直线上方抛物线上的一动点，过D作轴交于点交于点，是否存在一点，使的周长取得最大值，若存在，求出点坐标．若不存在，请说明理由； （3）在（2）中的周长取得最大值的条件下，点是抛物线对称轴上一动点，点是抛物线上一动点，当以为顶点的四边形是平行四边形时，请求出点的横坐标． 【答案】（1） （2）当时，取最大值，此时 （3）N点横坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据交点式求函数的解析式即可； （2）延长交x轴于点F，可推导出是等腰直角三角形，则的周长，当最大时，的周长取最大值，设，则，，当时，取最大值，此时D点坐标为； （3）设，，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为；当为平行四边形的对角线时，N点横坐标为． 【小问1详解】 解：∵与x轴交于点两点， ∴； 【小问2详解】 解：延长交x轴于点F， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最大时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时； 【小问3详解】 解：∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得， ∴N点横坐标为； 当为平行四边形的对角线时，， 解得-， ∴N点横坐标为； 综上所述：N点横坐标为或或． 24. 实践课上，同学们利用量角器、三角尺进行实践操作，其中，，小明和小华的操作如下． 小明： 做法：如图①，小明将三角尺放置在量角器上，点与圆心重合，已知这把三角尺的直角边和量角器外弧所在圆的半径相等，点是斜边与量角器外弧所在圆的交点，点的对应刻度为． 问题1：求点对应的刻度． 问题2；将三角尺绕点顺时针旋转，能否使得与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由． 小华： 做法：如图②，小华把斜边的三角尺叠放在量角器上，且，点，恰好落在量角器的外弧所在圆上，点的对应刻度为，与外弧交于点． 问题3：求的长． 请你根据上述内容，回答小明和小华的问题． 【答案】问题1：； 问题2：将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切，理由如下： 过点O作于点E，如图所示： ∵， ∴， ∴O到的距离小于圆的半径， ∴将三角尺绕点O顺时针旋转，不能使得与量角器外弧所在圆相切； 问题3：． 【解析】 【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，求扇形弧长等．作出辅助线，结合图形求解是解题关键． 问题1：连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度． 问题2：过点O作于点E，然后由正弦函数得出，即可判断； 问题3：连接，设与交于点F，根据平行线的性质得出，再由等边三角形的判定和性质得出，然后利用解三角形求解即可 【详解】解：问题1：连接，如图， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵B点的对应刻度为， ∴D点的对应刻度是． 问题2：略； 问题3：连接，设与交于点F，如图所示： ∵点A的对应刻度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：． 25. 如图，在等腰直角中，，P是射线上一个动点，连接，以为斜边构造等腰直角(点C，D，P按逆时针方向)，M为的中点，连接． （1）当点P在线段上运动时，求证∶． （2）设，的面积为y． ①当时，求y关于x的函数表达式． ②记D关于直线的对称点为，若在的外接圆内部，求y的取值范围． 【答案】（1） 证明∶∵为等腰直角三角形， ， ∴， ∴． ∵为等腰直角三角形， ， ∴． ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． ∴， ∴； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得出结论； （2）过点D作于点E，过点C作，交的延长线于点F，证明四边形为矩形，利用，列出函数关系式即可；②求出的取值范围，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶①∵，M为的中点， ∴． ∴． 由(1)知∶， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 当在的左侧时， 过点D作于点E，过点C作，交的延长线于点F，如图， 则． ∵， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． ∴； 同理，当在的右侧时， 综上，当时，y关于x的函数表达式为y； ②由①知∶， ∴点D为的外接圆的圆心， 当点D关于直线的对称点为在的外接圆上时，如图，当在的左侧时， 连接交于点H，则垂直平分，即， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴； 当在的右侧时， 同理可求． ∴或． ∵在的外接圆内部， ∴． ∵， ∴当时，y取得最大值为，当或时，． ∴y的取值范围为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的实际应用，三角形的外接圆，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $