精品解析：上海市闵行区七宝第二中学2025-2026学年上学期 八年级数学12月月考卷

2025学年第一学期阶段性作业评价（二） 八年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分100分） 注意： 1．本练习含五个大题，共27题．答题时，学生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式；根据此定义进行判断即可． 【详解】解：中被开方数含有弄得尽方的因数9，中被开方数含有开得尽方的因式，它们不是最简二次根式；中被开方数含有分母，故不是最简二次根式；而满足最简二次根式的条件； 故选：C． 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，同类二次根式是解题的关键．利用二次根式的性质对各数进行化简，然后根据同类二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， A．，不是的同类二次根式，故不符合要求； B．，不是的同类二次根式，故不符合要求； C．，是的同类二次根式，故符合要求； D．，不是的同类二次根式，故不符合要求； 故选：C． 3. 下列关于的方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，通过计算每个一元二次方程的判别式，利用，则方程没有实数根即可得到答案. 【详解】解：A：方程化为， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B：方程， ∵， ∴， ∴方程无实数根，故此选项符合题意； C：方程， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； D：方程， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； 故选：B. 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，因此到三角形三边距离相等的点是三个内角平分线的交点． 【详解】解：∵ 角平分线上的点到角的两边距离相等， ∴ 三个内角平分线的交点到三角形的三边距离相等， ∴ 该点是三条内角平分线的交点． 故选：B． 5. 下列三角形中，非直角三角形的是（ ） A. 三边分别为11，， B. 有一边的中线等于这边的一半 C. 三个内角之比为 D. 三边之比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，三角形内角和定理，等边对等角，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可即可判断A、D；根据三角形内角和定理即可判断C；如图，中，是中线且，则，根据等边对等角得到，则由三角形内角和定理可得，即，即可判断B． 【详解】解：A、∵， ∴三边长为11，，，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、如图，中，是中线且， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴有一边的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C、由题意得，最大的内角度数为，则三个内角之比为的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； D、设三边长分别为 ∵， ∴三边之比为，不可以组成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点，由角平分线的性质，结合三角形的面积公式，可判断，由角平分线的定义，结合等角的余角相等，可得，由平行线的判定和性质，可得，等量代换，可判断，由同角的余角相等，结合角平分线的定义，可判断，由等腰三角形的判定方法，可判断． 【详解】解：∵， ∴， 作于点， ∵平分， ∴， ∴， ∴正确， ∵在中，是高， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴正确， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴正确， 根据已知条件不能推出，即不能推出， ∴④不正确， ∴正确的是． 故选：A ． 【点睛】本题考查角平分线的定义，同角（等角）的余角相等，角平分线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若有意义，那么满足的条件是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得满足的条件． 【详解】解：∵有意义， ∴． 故答案为：． 8. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 9. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是___________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得且． 故答案为：且． 10. 在实数范围内分解因式：_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：令2x2-4x﹣1=0，则：x1=，x2=，∴2x2-4x﹣1=2（x﹣）（x﹣）． 故答案为2（x﹣）（x﹣）． 点睛：本题考查对一个多项式进行因式分解的能力，当要求在实数范围内进行分解时，分解的结果一般要分到出现无理数为止． 11. 已知关于的方程的两根分别是和，那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算，即可求解． 【详解】解：对于方程，有，，． 根据根与系数的关系，得，． 所以． 故答案为：． 12. 某理财产品年利率，逐年计息，小华将10万元购买此理财产品，2年后按复利法比按单利法可多取回___________万元． 【答案】0.1## 【解析】 【分析】本题考查了单利和复利，熟知它们的计算方式是解题的关键．计算单利和复利下的总金额差值即可． 【详解】解：按单利法，总金额为万元； 按复利法，总金额为万元；差值为万元． 故答案为：． 13. 在中，，如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．在直角三角形中，根据勾股定理，斜边的平方等于两直角边的平方和．根据，因此为斜边，和为直角边．代入已知值计算即可． 【详解】解：在中，，如果， 由勾股定理得：． 故答案为：． 14. 如图，是的角平分线，已知，，那么___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积．作于点E，于点F，利用角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式进行证明． 【详解】解：证明：作于点E，于点F． 因为是的角平分线，所以, 所以， 故答案为：． 15. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 16. 已知的面积为，那么___________ 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，含角的直角三角形的性质，正确计算是解题的关键．利用平行四边形面积公式求出高，再通过直角三角形中的正弦关系求出，从而得到． 【详解】解：如图，设为底，底边，面积，则高， 过点作于点H，则， 在中，， ， ∵四边形是平行四边形， ． 故答案为：3． 17. 定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“超厉害三角形”．若是“超厉害三角形”，且一条直角边长为1，则斜边长是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查新定义和勾股定理，求一个数的平方根，熟练掌握勾股定理和求一个数的平方根是解题的关键． 根据“超厉害三角形”的定义，三角形中两边的平方和等于第三边平方的2倍．设的两条直角边分别为和，斜边为，且满足勾股定理．给定一条直角边长为1，若，则，故（不符合题意，舍去）．分两种情况讨论：一是直角边时，满足；二是直角边时，满足．分别代入勾股定理求解斜边． 【详解】解：设，直角边，斜边为，另一条直角边为．根据勾股定理，有． 若，则，（不符合题意，舍去）． 情况一：若满足，即．代入，得，简化得，解得，（舍负），则，（舍负），． 情况二：若满足，即．代入，得，简化得，解得，（舍负），则，（舍负），． 斜边长为或． 故填：或． 18. 如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先由折叠的性质得出， ， ， ，推出，再由勾股定理求出，设， 则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 设， 则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： 故答案为：． 三、筒答题（本大题共5题，每题6分，满分30分） 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除的运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质化简，然后根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴，， ∴ ． 21. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 22. 作图：在的内部求作一点，使得点到射线的距离相等，且到点、点的距离相等（保留作图痕迹）． 【答案】 如图，点P即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．作线段的垂直平分线，作的角平分线，两线的交点即为点P． 【详解】略 23. 如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理逆定理是解题的关键．先利用勾股定理求出，再利用勾股定理逆定理判断为直角三角形，且，再分别求和的面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ， ∴四边形的面积． 四、解答题（本大题共4题，第24、25、26题每题8分，第27题10分，满分34分） 24. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB＝CD ∴∠DAE＝∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴BE=CD （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE ∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 ∴△ADF≌△ECF ∴DF＝CF 又∵AF＝EF ∴四边形ACED是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论； （2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 25. 如图，已知：在中，，垂足为点，且，垂足为点，相交于点，点为的中点． 求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，，， ∵， 在和中， ， ∵为的中点， ∵，， ∴为的中点， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解决本题的关键是熟知这些知识内容．根据直角三角形内角互余和同角的余角相等得到，进而证得，得到，再根据等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得证． 【详解】略 26. 如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． （1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． （2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】（1）见解析，新路长度是80米 （2） 解：该车没有超速． 理由：在中，， 由勾股定理得， ∴，， ∴， ∴， 该车经过区间用时， ∴该车的速度为， ∵． ∴该车没有超速． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据垂线段最短，过点A作，交l于点D，则即为所求；根据等腰三角形和勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得出，求出该车的速度为，然后再进行比较即可． 【小问1详解】 解：过点A作，交l于点D，则即为所求，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴在中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴新路长度是80米． 【小问2详解】 略 27. 某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． （1）当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ （2）当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ （3）在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 不存在这样的位置，使得 理由如下∶ 假设（如上图2） ∵ 作的平分线，交于点P， 则，， ∴， ∴ ∴， 又∵ ∴， ∴ ∴不存在这样的位置，使得． 【解析】 【分析】本题主要考查平移的性质以及勾股定理的应用，结合已知条件应用相关性质解题即可． （1）因为，，所以，又因为，，，所以，连接，设，则可求证，故的长可求； （2）设，则，再分情况讨论∶为斜边；为斜边；为斜边，综合分析即可求得的长； （3）假设，因为，作的平分线，交于点P，则，所以，，则的值大于边长12，故不存在． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵中，，， ∴， 如图1，连接， 当时， ， ∴ ∴ ∴ ∴当时，． 【小问2详解】 设，在中， 当为斜边时， 由得， 解得：， 当为斜边时，由 得， 解得： ∵ ∴， ∴（不合题意舍去） 当为斜边时，由 得， ， 整理得出∶ ∵ ∴此方程无解， 综上所述：当时，以线段、、的长度为三边长的三角形是直角三角形． 【小问3详解】 略． 【点睛】本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用，以及角平分线的性质，平行的性质等等知识点，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期阶段性作业评价（二） 八年级数学试卷 （考试时间：90分钟，满分100分） 注意： 1．本练习含五个大题，共27题．答题时，学生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 3. 下列关于的方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形三边距离相等的点是这个三角形的（ ） A. 三条高的交点 B. 三条内角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 5. 下列三角形中，非直角三角形的是（ ） A. 三边分别为11，， B. 有一边的中线等于这边的一半 C. 三个内角之比为 D. 三边之比为 6. 如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于，交于，下面说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 若有意义，那么满足的条件是___________． 8. 方程的实数解是___________． 9. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是___________ 10. 在实数范围内分解因式：_____________． 11. 已知关于的方程的两根分别是和，那么___________ 12. 某理财产品年利率，逐年计息，小华将10万元购买此理财产品，2年后按复利法比按单利法可多取回___________万元． 13. 在中，，如果，那么___________． 14. 如图，是的角平分线，已知，，那么___________ 15. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 16. 已知的面积为，那么___________ 17. 定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“超厉害三角形”．若是“超厉害三角形”，且一条直角边长为1，则斜边长是__________． 18. 如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是___________． 三、筒答题（本大题共5题，每题6分，满分30分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 解方程：． 22. 作图：在的内部求作一点，使得点到射线的距离相等，且到点、点的距离相等（保留作图痕迹）． 23. 如图：已知，在四边形中，于点，，，，，求四边形的面积． 四、解答题（本大题共4题，第24、25、26题每题8分，第27题10分，满分34分） 24. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 25. 如图，已知：在中，，垂足为点，且，垂足为点，相交于点，点为的中点． 求证：． 26. 如下图，实验中学位于一条南北向公路l的一侧A处，门前有两条长度均为100米的小路、通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C两点相距120米． （1）为方便学生出入，现在打算修一条从实验中学到公路l的新路（点D在l上），使得学生从学校走到公路路程最短，应该如何修路（请在图中画出）?并计算新路的长度． （2）为保证学生的安全，在公路l上的点E和点C处设置了一组区间测速装置，点E在点B的北侧，且距实验中学A处170米．一辆汽车经过区间共用时21秒，若此段公路限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 27. 某同学在一次课外活动中用硬纸片做了两个直角三角形，中，，，．中，，，．该同学将的直角边与的斜边重合在一起，并将沿方向移动，在移动过程中，D、E两点始终在边上． （1）当移动至什么位置，即的长为多少时，F、C的连线与平行？ （2）当移动至什么位置，即的长为多少时，以线段、、的长为三边长的三角形是直角三角形？ （3）在的移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，求出的长；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $