寒假专项提升 专题3倍数与因数(专项训练)-2025-2026学年五年级上册数学北师大版

2025-2026学年五年级数学上册寒假专项提升（北师大版） 专题三：倍数与因数 一、本单元知识考点 1. 理解倍数和因数的意义，掌握倍数与因数的相互依存关系，能准确判断两个非零自然数之间的倍数、因数关系。 1. 掌握2、3、5的倍数的特征，能快速判断一个数是否为2、3、5的倍数；理解奇数、偶数的定义，能区分奇数和偶数。 1. 理解质数（素数）、合数的概念，能正确判断一个数是质数还是合数，熟记100以内的质数。 1. 掌握找一个数的因数和倍数的方法，能有序、不重复、不遗漏地找出一个非零自然数的所有因数和指定范围内的倍数。 1. 了解公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数的意义，能找出两个数的最大公因数和最小公倍数，能运用相关知识解决实际问题。 二、本单元知识重难点的突破方法 1. 倍数与因数概念突破：借助整数乘法算式（如 ， 、 、 均为非零自然数），明确“ 是 和 的倍数， 和 是 的因数”，通过“谁是谁的倍数，谁是谁的因数”的句式练习，强化相互依存关系，避免孤立理解概念。 1. 2、3、5的倍数特征突破：通过列举多个符合条件的数（如2的倍数：2、4、6、8…；3的倍数：3、6、9、12…），引导观察数的个位数字（2、5的倍数）或各位数字之和（3的倍数），总结规律；结合计数器拨数、数字卡片组数等实操方式，加深对特征的理解和应用。 1. 质数与合数判断突破：先明确“1既不是质数也不是合数”的特殊规定，再通过“找因数的个数”作为判断核心（质数只有1和它本身两个因数，合数有三个及以上因数），结合100以内质数表的背诵和默写，提升判断速度；通过对比“质数—合数—1”的分类标准，避免混淆。 1. 最大公因数与最小公倍数求解突破：掌握“列举法”（分别列出两个数的因数/倍数，找出公共部分）和“短除法”（用两个数的公因数连续去除，除到互质为止），明确“最大公因数是所有除数的乘积，最小公倍数是所有除数和商的乘积”；结合实际问题（如铺地砖、分组），理解“最大公因数”对应“最大规格”“最多组数”，“最小公倍数”对应“最少数量”“最近时间”，强化知识应用能力。 三、专项提升训练题 （一）填空题（每题2分，共20分） 1. 在 中，（ ）是（ ）和（ ）的倍数，（ ）和（ ）是（ ）的因数。 1. 一个数既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）。 1. 10以内所有质数的和是（ ），所有合数的和是（ ）。 1. 一个三位数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的合数，个位上是最小的偶数，这个三位数是（ ）。 1. 若 是非零自然数，那么 一定是（ ）数， 一定是（ ）数。 1. 一个数的最大因数是18，这个数的最小倍数是（ ），它的所有因数有（ ）。 1. 同时是2、3、5的倍数的最小两位数是（ ），最大三位数是（ ）。 1. 两个质数的和是15，这两个质数分别是（ ）和（ ）；两个质数的积是21，这两个质数分别是（ ）和（ ）。 1. 已知 ， ，则 和 的最大公因数是（ ），最小公倍数是（ ）。 1. 把48分解质因数是（ ）。 （二）判断题（每题1分，共10分） 1. 因为 ，所以7是2的倍数，2是7的因数。（ ） 1. 所有的偶数都是合数。（ ） 1. 一个数的倍数一定比它的因数大。（ ） 1. 3的倍数一定是奇数。（ ） 1. 两个质数的积一定是合数。（ ） 1. 1是所有非零自然数的因数。（ ） 1. 一个数的因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。（ ） 1. 同时是2和3的倍数的数，一定是6的倍数。（ ） 1. 最小的质数是2，最小的合数是4。（ ） 1. 两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（ ） （三）选择题（每题2分，共20分） 1. 下列各组数中，因数个数最多的是（ ） A. 16 B. 12 C. 19 2. 一个数既是3的倍数，又是5的倍数，这个数最小是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 3. 下面哪个数是质数（ ） A. 21 B. 31 C. 51 4. 已知 是奇数， 是偶数，那么下列算式的结果是奇数的是（ ） 1. B. C. 5. 要使三位数 是3的倍数， 里可以填的数字有（ ） A. 1、4、7 B. 2、5、8 C. 3、6、9 6. 两个数的最大公因数是6，最小公倍数是36，这两个数可能是（ ） A. 6和12 B. 6和36 C. 18和24 7. 把18写成两个质数相加的形式，正确的是（ ） 1. B. C. 8. 一个数的因数是有限的，其中最小的因数是（ ），最大的因数是（ ） A. 1，它本身 B. 0，它本身 C. 1，1 9. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的质数都是奇数 B. 合数至少有3个因数 C. 奇数都是质数 10. 用0、1、2、3组成一个同时是2、3、5的倍数的最小四位数是（ ） A. 1230 B. 1023 C. 1320 （四）计算题（共20分） 1. 找出下列各数的所有因数（每题2分，共8分） （1）16 （2）28 （3）35 （4）42 2.找出下列各组数的最大公因数（每题2分，共6分） （1）18和24 （2）15和25 （3）8和15 3.找出下列各组数的最小公倍数（每题2分，共6分） （1）12和18 （2）9和15 （3）7和21 （五）解决问题（每题5分，共30分） 1. 有一批苹果，数量在40~50个之间，平均分给6个小朋友或8个小朋友都正好分完，这批苹果有多少个？ 1. 希望小学四年级组织植树活动，参加活动的学生人数在40人至50人之间。如果将这些学生分成每组6人，正好分完；如果分成每组8人，也正好分完。请问参加植树活动的学生一共有多少人？ 1. 把36块巧克力和48块饼干分别平均分给若干个小朋友，且没有剩余。最多能分给多少个小朋友？每个小朋友分得多少块巧克力和多少块饼干？ 1. 学校组织学生参加植树活动，五年级有120人，六年级有150人。要把两个年级的学生分别分成若干个小组，且每个小组的人数相同，每组最多有多少人？两个年级一共可以分成多少个小组？ 1. 一个长方形的长和宽都是质数，且周长是36厘米。这个长方形的面积最大是多少平方厘米？ 1. 有三根铁丝，长度分别是12分米、18分米和24分米。现在要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少分米？一共可以截成多少段？ 参考答案 （一）填空题（每题2分，共20分） 1. 答案：60；15；4；15；4；60 解析：根据倍数与因数的定义，在整数乘法算式中，积是两个乘数的倍数，两个乘数是积的因数，因此在 中，60是15和4的倍数，15和4是60的因数。 1. 答案：12 解析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此既是12的倍数又是12的因数的数是12。 1. 答案：17；27 解析：10以内的质数有2、3、5、7，和为 ；10以内的合数有4、6、8、9，和为 （注意1既不是质数也不是合数）。 1. 答案：140 解析：最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的偶数是0，因此这个三位数的百位是1、十位是4、个位是0，即140。 1. 答案：偶；奇 解析：非零自然数 乘2的结果一定能被2整除，因此 是偶数； 是偶数，偶数加1的结果不能被2整除，因此 是奇数。 1. 答案：18；1、2、3、6、9、18 解析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，因此最大因数是18的数，最小倍数是18；18的因数通过列举可得：1、2、3、6、9、18。 1. 答案：30；990 解析：同时是2、3、5的倍数的数，个位必须是0且各位数字之和是3的倍数。最小两位数：个位是0，十位最小是3（ 是3的倍数），即30；最大三位数：个位是0，百位和十位最大是9， 是3的倍数，即990。 1. 答案：2；13；3；7 解析：质数中除了2都是奇数，两个奇数的和是偶数，15是奇数，因此其中一个质数一定是2，另一个是 ；21分解因数： ，且3和7都是质数。 1. 答案：6；210 解析：最大公因数是两个数共有的质因数的乘积， 和 共有的质因数是2和3，因此最大公因数是 ；最小公倍数是共有的质因数和各自独有的质因数的乘积， 独有的质因数是5， 独有的质因数是7，因此最小公倍数是 。 1. 答案： 解析：分解质因数是把合数写成几个质数相乘的形式，48从最小质数2开始分解： 。 （二）判断题（每题1分，共10分） 1. 答案：× 解析：倍数与因数的研究范围是非零自然数， 的结果不是整数，因此不能说7是2的倍数，2是7的因数。 1. 答案：× 解析：2是偶数，但2只有1和它本身两个因数，是质数，因此“所有偶数都是合数”的说法错误。 1. 答案：× 解析：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，例如6的最大因数是6，最小倍数也是6，因此“倍数一定比因数大”的说法错误。 1. 答案：× 解析：3的倍数有3、6、9、12…，其中6、12等是偶数，因此“3的倍数一定是奇数”的说法错误。 1. 答案：√ 解析：两个质数相乘的积，因数有1、这两个质数以及积本身，共三个及以上因数，因此一定是合数。 1. 答案：√ 解析：任何非零自然数都能被1整除，因此1是所有非零自然数的因数。 1. 答案：√ 解析：一个数的因数的个数是有限的（最大因数是它本身），倍数的个数是无限的（没有最大倍数）。 1. 答案：√ 解析：同时是2和3的倍数的数，一定能被 整除，因此一定是6的倍数。 1. 答案：√ 解析：最小的质数是2，最小的合数是4，这是质数与合数的基本定义。 1. 答案：× 解析：当一个数是另一个数的倍数时，它们的最大公因数是较小的那个数，例如6和12的最大公因数是6，并不比6小，因此说法错误。 （三）选择题（每题2分，共20分） 1. 答案：B 解析：A选项16的因数有1、2、4、8、16（共5个）；B选项12的因数有1、2、3、4、6、12（共6个）；C选项19（质数，2个因数），因此因数个数最多的是12，选B。 1. 答案：A 解析：同时是3和5的倍数的数，最小是3和5的最小公倍数， ，因此选A。 1. 答案：B 解析：A选项21的因数有1、3、7、21（合数）；B选项31的因数有1、31（质数）；C选项51的因数有1、3、17、51（合数），因此选B。 1. 答案：C 解析：A选项：奇数+奇数=偶数（ 是偶数）；B选项：奇数 偶数=偶数（ 是偶数）；C选项：奇数+偶数=奇数（ 是奇数），因此选C。 1. 答案：B 解析：3的倍数的特征是各位数字之和是3的倍数， ， 必须是3的倍数。□里填1： （不是）； （是）； （不是）； （是）； （不是）； （是），因此正确选项是B（2、5、8）。 1. 答案：B 解析：A选项6和12的最小公倍数是12，不符合；B选项6和36的最大公因数6、最小公倍数36，符合；C选项18和24的最小公倍数72，不符合，因此选B。 1. 答案：C 解析：A选项1不是质数（不符合）；B选项15不是质数（不符合）；C选项5和13都是质数，且 （符合），因此选C。 1. 答案：A 解析：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因此选A。 1. 答案：B 解析：A选项2是质数但不是奇数（错误）；B选项合数至少有3个因数（正确）；C选项9是奇数但不是质数（错误），因此选B。 1. 答案：A 解析：同时是2、3、5的倍数的数，个位必须是0，且各位数字之和是3的倍数。选项B个位不是0（排除）；选项A1230： （是3的倍数），选项C1320： （是3的倍数），最小四位数是1230，因此选A。 （四）计算题（共20分） 1. 找出下列各数的所有因数（每题2分，共8分） · （1）16 解析：从1开始有序列举， ， ， ，因此16的因数有1、2、4、8、16。 · （2）28 解析： ， ， ，因此28的因数有1、2、4、7、14、28。 · （3）35 解析： ， ，因此35的因数有1、5、7、35。 · （4）42 解析： ， ， ， ，因此42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42。 1. 找出下列各组数的最大公因数（每题2分，共6分） · （1）18和24 解析：用短除法，先找18和24的公因数2， ， ；再找9和12的公因数3， ， ；3和4互质，停止除法。最大公因数=除数相乘，即 。 · （2）15和25 解析：短除法，15和25的公因数是5， ， ；3和5互质，最大公因数=5。 · （3）8和15 解析：8的因数有1、2、4、8，15的因数有1、3、5、15，公共因数只有1，因此最大公因数是1（互质数）。 1. 找出下列各组数的最小公倍数（每题2分，共6分） · （1）12和18 解析：短除法，12和18的公因数2， ， ；再用公因数3， ， ；2和3互质。最小公倍数=除数 最后的商，即 。 · （2）9和15 解析：短除法，9和15的公因数3， ， ；3和5互质。最小公倍数= 。 · （3）7和21 解析：21是7的倍数，当两个数成倍数关系时，最小公倍数是较大的数，因此最小公倍数是21。 （五）解决问题（每题5分，共30分） 1. 解析：苹果数量在4050之间，且能同时被6和8整除，即求6和8在4050之间的公倍数。 · 步骤1：求6和8的最小公倍数，短除法： ， ，最小公倍数= ； · 步骤2：找24的倍数：24、48、72…，在40~50之间的是48； · 算式： ， （个）； · 答：这批苹果有48个。 1. 解析： 算式与计算过程： 第一步：求6和8的倍数 6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48、54…… 8的倍数有：8、16、24、32、40、48、56…… 第二步：找出6和8的公倍数 6和8的公倍数有：24、48、72…… 第三步：筛选出40至50之间的公倍数 在40至50之间，6和8的公倍数只有48。 答：参加植树活动的学生一共有48人。 1. 解析：“最多能分给多少个小朋友”即求36和48的最大公因数；再用巧克力和饼干总数分别除以最大公因数，得到每个小朋友分得的数量。 · 步骤1：求36和48的最大公因数，短除法： ， ，最大公因数= ； · 步骤2：每个小朋友分得巧克力： （块）； · 步骤3：每个小朋友分得饼干： （块）； · 算式： · 答：最多能分给12个小朋友，每个小朋友分得3块巧克力和4块饼干。 1. 解析：“每组最多有多少人”即求120和150的最大公因数；再分别用两个年级人数除以最大公因数，得到各自小组数，相加得总小组数。 · 步骤1：求120和150的最大公因数，短除法： ， ，最大公因数= ； · 步骤2：五年级小组数： （组）； · 步骤3：六年级小组数： （组）； · 步骤4：总小组数： （组）； · 算式： · 答：每组最多有30人，两个年级一共可以分成9个小组。 · 1. 解析：长方形周长=（长+宽） ，先求长+宽，再找出和为该数的质数组合，计算面积后比较大小。 · 步骤1：长+宽=周长 （厘米）； · 步骤2：找出和为18的质数组合：（5，13）、（7，11）； · 步骤3：计算面积： （平方厘米）， （平方厘米）； · 步骤4：比较大小： ； · 算式： · 答：这个长方形的面积最大是77平方厘米。 1. 解析：“截成同样长的小段，每段最长”即求12、18、24的最大公因数；再用每根铁丝长度除以最大公因数，得到每根截得的段数，相加得总段数。 · 步骤1：求12、18、24的最大公因数，短除法： ， ， ，最大公因数= ； · 步骤2：12分米铁丝截得段数： （段）； · 步骤3：18分米铁丝截得段数： （段）； · 步骤4：24分米铁丝截得段数： （段）； · 步骤5：总段数： （段）； · 算式： · 答：每段最长是6分米，一共可以截成9段。 2 学科网（北京）股份有限公司 $