专题十九 圆锥曲线中的二级结论 课件-2026届高三数学二轮复习

专题十九　圆锥曲线中的二级结论 命题热度： 本专题是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，三种题型都有所考查，分值约为10~12分. 考查方向： 一是圆锥曲线的定义与标准方程，主要考查圆锥曲线标准方程的求解以及定义的灵活应用；二是圆锥曲线的几何性质，主要考查离心率、双曲线渐近线的求解；三是直线和圆锥曲线的位置关系，主要考查弦长与三角形面积的计算以及相关的判断与证明问题. 考点一　焦半径与焦点弦 　(1)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cos θ=.若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为 A.4 B. C. D.2 例1 √ |AF2|=，|BF2|=， |AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒=2a⇒2e2-e-6=(2e+3)(e-2) =0⇒e=2(负值舍去). 解析 (2)已知椭圆方程为+y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为　　　　　.  由焦半径公式可得+=4， ∴|AF|+2|FB| =(|AF|+2|FB|) =++≥， 当且仅当=时取等号， 又+=4， 解析 得 ∴|AF|+2|FB|的最小值为. 解析 (1)椭圆 ①通径：. ②椭圆上点到焦点的距离：[a-c，a+c]. ③焦半径：(ⅰ)坐标式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(ⅱ)角度式：长焦半径|AF1|==，短焦半径|BF1|==，+=. 规律方法 规律方法 ) ④焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=. (2)双曲线 ①通径：. ②双曲线上点到焦点的距离：[c-a，+∞). ③焦半径：(ⅰ)坐标式：|PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|；(ⅱ)角度式：若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=，|BF1|=，+=. 若直线与双曲线交于两支(如图2)， 则|AF1|=，|BF1|=， =. 规律方法 图1　　　　　　 图2 ④焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=. 若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=. (3)抛物线 ①通径：2p. ②焦半径：(ⅰ)坐标式：|AF|=x0+；(ⅱ)角度式：|AF|==，|BF|==，+==. 规律方法 ③抛物线焦点弦弦长公式： |AB|=|AF|+|BF|==. (4)焦点弦定理 已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为α，=λ，则曲线的离心率e满足等式|ecos α|=. 规律方法 跟踪演练1　已知椭圆C：+=1的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，若|AF|=3，则|AB|=　　　　.  设|AF|>|BF|，∠AFO=α，则由焦半径公式，|AF|===3， 解得cos α=， 由焦点弦公式|AB|==. 解析 考点二　焦点三角形 　(2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：+=1的两个焦点，点P在C上，cos∠F1PF2=，则|OP|等于 A. B. C. D. 例2 √ 方法一　设∠F1PF2=2θ，0<θ<， 所以=b2tan=b2tan θ， 由cos∠F1PF2=cos 2θ= ==， 解得tan θ=(负值舍去)， 由椭圆方程可知，a2=9，b2=6，c2=a2-b2=3， 解析 所以=×|F1F2|×|yP| =×2×|yP|=6×， 解得=3. 代入椭圆方程得=9×=， 因此|OP|===. 解析 方法二　因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ① |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2， 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12， ② 联立①②，解得|PF1||PF2|=， 设P(x0，y0)，由焦半径公式得|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0， 所以|PF1||PF2|=a2-(ex0)2， 解得=，则=6×=3，因此|OP|===. 解析 方法三　因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ① |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2， 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12， ② 联立①②，解得|PF1||PF2|=，|PF1|2+|PF2|2=21， 而=+)， 所以|OP|=||=|+| 解析 = ==. 解析 方法四　因为|PF1|+|PF2|=2a=6， ① |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|F1F2|2， 即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=12， ② 联立①②，解得|PF1|2+|PF2|2=21， 由中线定理可知，2|OP|2+|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2， 解得|OP|=. 解析 焦点三角形的面积公式： P为椭圆(或双曲线)上异于长轴(或实轴)端点的任意一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2=θ，则在椭圆中，=b2tan；在双曲线中，=. 规律方法 跟踪演练2　(2025·宁波模拟)已知双曲线C：x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上，且2|AF1|=|AF2|，△AF1F2的面积为2.若∠F1AF2为钝角，则C的焦距为 A. B.2 C.7 D.14 √ 根据双曲线的定义，a2=1，c2=a2+b2=1+b2，|F1F2|=2c，|AF2|-|AF1|=2a=2， 又因为2|AF1|=|AF2|， 可得|AF1|=2，|AF2|=4， 因为△AF1F2的面积为2， 所以|AF1||AF2|sin∠F1AF2=2⇒×2×4×sin∠F1AF2=2， 解得sin∠F1AF2=， 解析 因为∠F1AF2为钝角，所以∠F1AF2=， 又==2， 所以b2=6，c2=a2+b2=7， 因此双曲线的焦距为2. 解析 考点三　垂径定理 　(多选)已知A，B是椭圆+=1(a>b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM等于 A. B.- C.-1 D.e2-1 例3 √ √ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则M， kOM=，kAB=，kAB·kOM=， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得+=1，+=1， 两式相减得+=0， 整理得=-， ∴kAB·kOM=-=e2-1. 解析 双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线-=1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM==e2-1. 规律方法 跟踪演练3　(多选)(2025·泸州模拟)已知双曲线C：-=1的左、右焦点分别是F1，F2，其中=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是 A.弦AB的最小值为 B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k= D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，+∞) √ √ √ 对于A，弦AB的最小值为通径，故A正确； 对于B，由双曲线的定义得-=2a， -=2a， 所以=+2a，=+2a， +=+2a++2a=|AB|+4a， 则△F1AB的周长=++|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确； 对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=，故C正确； 解析 对于D，  若直线AB的斜率为，所以<， 所以b2<3a2，所以c2<4a2， 所以e=∈，故D错误. 解析 $