精品解析：北京市海淀区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题

九年级第一学期期末数学练习 2026.01 注意事项： 1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的性质，掌握中心对称图形的特征是解题的关键． 中心对称图形是指在平面内，一个图形绕某个点旋转后与原图形重合的图形，据此判断各选项即可． 【详解】解：选项A：该图形绕正六边形中心旋转后能与原图形重合，满足要求，符合题意； 选项B、C、D中的图形绕任意一点旋转后都不能与原图形重合，不满足要求，不符合题意； 故选A． 2. 不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率． 计算奇数的个数与总球数的比值即可． 【详解】解：∵总球数为5，其中奇数有1、3、5共3个， ∴摸出的小球上面的数字是奇数的概率是． 故选：C． 3. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：四边形内接于， ， ， ， 故选：. 4. 将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式即可求得平移后的函数解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 把抛物线向右平移个单位后，顶点的坐标是， 把抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是． 故选：B． 5. 用长的绳子围成一个面积为的矩形．设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题列出一元二次方程，掌握运用矩形的面积计算公式是解题的关键． 根据矩形周长求出长与宽的和为，再根据面积公式列方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为， ∴， 设一边长为，则另一边长为， ∵面积为， ∴， 故选：A． 6. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．连接，证明，推导出，得到点和点关于点成中心对称，根据坐标特征即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵平行四边形的对角线、交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点和点关于点成中心对称， ∵点E的坐标为， ∴点F的坐标为， 故选：D． 7. 已知的半径为，内接于，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，准确添加辅助线是解题的关键． 连接、，利用圆周角定理求出弧所对的圆心角，再根据等边三角形的判定与性质求解． 【详解】解：连接、，如下图所示： ∵ 是圆周角，所对弧为， ∴ 圆心角， 又∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， 故选B． 8. 在平面直角坐标系中，已知的圆心在直线上，给出下列三个结论： ①同时与轴和轴相切的有2个； ②若经过原点，则的面积的最小值为； ③若经过点，则点一定在外． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查直线与圆的位置关系的应用，掌握圆和直线的位置关系是解题的关键． 结论①需找圆心在直线上且与两轴相切的圆，由相切时到、轴距离相等列出方程求解即可；结论②求圆过原点时面积最小值，由两点距离公式得出半径的表达式，求半径最小值即可得出面积最小值；结论③判断点是否在圆外，通过比较距离的平方即可． 【详解】解：∵圆心在直线上，设圆心为，则， ①圆与轴和轴相切， ∴ ， 若，代入得，解得，，圆心，半径4； 若，代入得，解得，，圆心，半径； ∴有个这样的圆，故①正确； ②圆过原点，半径， 令，最小值在时，， ∴，面积最小值为，故②错误； ③圆过点，半径， 点到圆心距离， ∵， ∴， ， ∵， ∴点在圆外，故③正确； ∴正确结论个数为， 故选C． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 二次函数的最小值为___________． 【答案】1． 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，即可得到函数的最小值. 【详解】解：在二次函数中， ∵， ∴当时，函数有最小值； 故答案为：. 【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，正确求出函数的最小值. 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式和根的个数关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的条件，得出判别式等于零，列出方程求解即可． 【详解】解：在方程中，，， ∵方程有两个相等的实数根， ∴判别式， 解得，且，符合条件， 故答案为：4． 11. 如图，点C，D在以为直径的上，若，则的大小为____． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角等于直角，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 由为的直径，求得，然后求得，进而求解即可． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ． 故答案为：40． 12. 小明遇到下面的问题：在一个平面上一组间距为的平行线，将一根长度为的针随机投掷在这个平面上，试估计针与直线相交的概率．小明结合信息课中人工智能的相关知识，利用某智能体模型做了模拟试验，试验结果如下表： 试验次数n 50 100 200 300 500 1000 2000 4000 相交频数m 26 45 93 144 242 481 955 1916 相交频率 0.520 0.450 0.465 0.480 0.484 0.481 0.478 0.479 根据表中的数据，估计针与直线相交的概率为____（精确到0.01）． 【答案】0.48 【解析】 【分析】本题主要考查了频率与概率的知识，熟练掌握根据频率估计概率的方法是解答本题的关键． 根据频率和概率的关系即可解答． 【详解】根据大量试验中频率的稳定性，当试验次数增加时，相交频率趋于稳定在0.48附近，因此估计概率为0.48， 故答案为：0.48． 13. 如图，过外一点P作的两条切线，，若的半径为25，，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，是解题的关键．设、与的切点为、D，连接，，证明四边形为矩形，再证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：设、与的切点为、D，连接，，如图所示： ∵，是的两条切线， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴根据勾股定理得：． 故答案为：． 14. 如图、某公共场所为游客提供的一次性饮水纸杯可视为圆锥．如果该圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为____°． 【答案】120 【解析】 【分析】此题主要考查圆锥的计算，解题的关键是掌握相关计算公式． 根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，把相关数值代入即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， ， 解得， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 分别把、点的坐标代入得的临界值，根据二次函数的性质可得到的取值范围． 【详解】解：因为抛物线与线段有公共点，则抛物线开口必须向上， 的顶点坐标为，对称轴为轴， 把代入解析式，得，解得， 把代入解析式，得，解得， 因为抛物线与线段有公共点， 则 故答案为：． 16. 某农业科技公司培育了15个农作物新品种，按其评估价值由低到高标注为1号至15号，并交由三个苗圃基地试种这些农作物新品种，每个苗圃基地种植5个．将每个苗圃基地种植的农作物新品种的最大标号与最小标号之和称为“综合培育价值指数”． （1）若其中一个苗圃基地种植农作物新品种的“综合培育价值指数”为7，则该苗圃基地可选择的不同种植方案有____种； （2）这三个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”之和的最大值是____． 【答案】 ①. 4 ②. 57 【解析】 【分析】本题考查列举计数与极值优化问题，涉及对“综合培育价值指数”的理解，我们需要根据定义用“最大标号最小标号”来分析种植方案的构成和极值情况； （1）由综合培育价值指数为7，得最小标号与最大标号之和为7，且最大标号与最小标号之差至少为4，唯一满足条件的一对为1号和6号，中间需从2、3、4、5中选3个品种，有4种选法； （2）为最大化三个基地的指数之和，对于每个苗圃基地，应让最大标号尽可能大，最小标号尽可能大，据此分析即可求解． 【详解】解：（1）设该苗圃基地种植品种的最小标号为，最大标号为，则， ∵每组有5个品种，需保证至少5个品种在至之间， ∴， ∴，， 此时中间三个品种需从2、3、4、5中选择，选择方案数为种． 故答案为：4． （2）要使三个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”之和最大，则每个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”都要尽可能大， 对于每个苗圃基地，要使“综合培育价值指数”最大，应让最大标号尽可能大，最小标号尽可能大，三个苗圃基地种植情况可以为： 第一个苗圃基地：1，2，3，4，15，“综合培育价值指数”为； 第二个苗圃基地：5，6，7，8，14，“综合培育价值指数”为； 第三个苗圃基地：9，10，11，12，13，“综合培育价值指数”为； ∴“综合培育价值指数”之和的最大值是． 故答案为：57． 三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：x2+4x﹣1=0． 【答案】x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 【解析】 【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可． 【详解】方程变形得：x2+4x=1， 配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5， 开方得：x+2=±， 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣． 18. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及平方差公式，熟练掌握一元二次方程的解及平方差公式是解题的关键；由题意易得，然后根据整体代入进行求解即可． 【详解】解：原式 ∵是方程的一个根， ∴，即， ∴原式． 19. 数学课上，李老师提出了如下问题： 已知：如图，是上的一条劣弧． 求作：的中点． 同学们通过交流讨论得到了很多不同的方法，其中小亮给出了一个作法： ①作射线交于点； ②以为圆心，线段的长为半径作圆弧交射线于点； ③连接交于点． 则点为所求． （1）根据小亮设计的尺规作图过程，补全图形（保留作图痕迹）； （2）补全下面的证明． 证明：连接，，， ∵为的直径，∴① ，∴， ∵② ，∴， 又∵，所对的弧为，∴（③ ）（填推理的依据）， 同理， ∴，∴， ∴点为的中点． 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 【解析】 【分析】本题考查圆的性质、尺规作图的方法．熟悉圆的性质：直径所对的圆周角是直角，圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，等腰三角形三线合一的性质，作射线、以定点为圆心定长为半径画弧等尺规作图方法，是解题的关键． （1）尺规作图：作射线并延长交于，以为圆心、长为半径画弧，交射线于，连接，交于，即为所求． （2）根据“直径所对的圆周角是直角”，得到，根据等腰三角形“三线合一”，得出，根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”，进而得到，从而证明是的中点． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 证明：如图，连接，，， ∵为的直径，∴，∴， ∵，∴， 又∵，所对的弧为，∴（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）． 同理， ∴，∴． ∴点为的中点． 故答案为：①；②；③一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转所得的，并直接写出的长； （2）直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转，两点间的距离公式，求图形扫过的面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到的位置，描出，再顺次连接，利用两点间的距离公式求出的长，即可求出的长； （2）由题意得，线段扫过的区域即为扇形，据此结合扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵， ∴， 由旋转的性质可得； 【小问2详解】 解：由题意得，线段扫过的区域即为扇形， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴线段扫过区域的面积为． 21. 在劳动课上、同学们设计制作了一种圆柱形零件、为检测它的底面直径是否符合标准，需要用到一种测量槽，槽的左右两壁均与槽的底面垂直且等高，槽的宽度为，深度为．把圆柱形零件水平放入槽内时，截面如图1所示，若零件同时与A、B、C三点接触，则其底面直径符合标准．如图2，圆柱的截面经过点A，B，且与相切于点C，求该圆柱形零件的底面直径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理． 连接，，，其中与交于点D，设圆柱形零件的底面半径为r，根据切线的性质得到，根据测量槽的左右两壁均与槽的底面垂直且等高可知四边形是平行四边形，，则，，进而得到，，证明四边形是矩形，得到，根据垂径定理得到，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，，其中与交于点D，设圆柱形零件的底面半径为r， ∵与相切于点C， ∴， ∴． ∵测量槽的左右两壁均与槽的底面垂直且等高， ∴，，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∴ ∴，． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即． 答：圆柱形零件的底面直径为． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）把和代入即可求解； （2）求出抛物线在的函数值范围即可求解． 【小问1详解】 解：把和代入得， ，解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式为，方程可化为， ∵的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， ∴t的取值范围为． 23. 某学校为丰富学生的体育活动，安装了智慧体育器材．该校九年级共有480名学生，学校统计了九年级学生使用智慧体育器材的情况，数据整理如下： 高频使用者（每周不少于4次） 中频使用者（每周2至3次） 低频使用者（每周不多于1次） 人数 160 m n （1）若从九年级随机抽取一名学生，该生是“中频使用者”的概率为，则______，______； （2）九年级的甲、乙同学都是“高频使用者”，丙同学是“中频使用者”，丁同学是“低频使用者”．现从这4名学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2人中至少有1人是“高频使用者”的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单事件的概率问题，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． （1）由总人数和对应的概率，即可求出的值，由总人数减去“高频使用者”人数和“中频使用者”，即可求出的值 （2）先列出表格（或画树状图）得到所有的等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴， 故答案为：；． 【小问2详解】 解法一：从4名同学中随机抽取2人，可能出现的结果如下表： 甲 乙 丙 丁 甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲） 乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙） 丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙） 丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 可能出现的结果有12种，它们出现的可能性相等． 抽到的2人至少有1人是“高频使用者”（记为事件A）的结果有10种：即（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙）． 得． 解法二：从4名同学中随机抽取2人，可以画出如下树状图： 由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，它们出现的可能性相等． 抽到的2人至少有1人是“高频使用者”（记为事件A）的结果有10种：即（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙）． 得． 24. 如图，是的直径，点C在上，P为延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）过点C作于H，延长交于点D，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直径性质得．得．由，得． 即得是的切线； （2）连接．由垂径定理证得．可得．得为等边三角形，．得．可得 ．可得，．得，．即得． 【小问1详解】 证明：连接 ∵是的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：连接． ∵，是的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴为等边三角形，． ∴． ∴． 在中，． ∴． ∵． ∴，． ． 在中，． ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，熟练掌握圆周角定理推论，切线的判定和性质，垂径定理，等腰三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解题的关键． 25. 随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低． 下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息． 信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系． 汽车仪表盘显示的电量e（%） 0 20 30 50 60 70 80 90 100 累计充电时间t（） 0 5 8 17 22 29 38 50 94 信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系． （1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）： （2）张先生电动汽车每消耗的电量可行驶______； （3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为． ①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______； ②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）． 【答案】（1）见解析；（2）60；（3）①86；②49． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）根据表格描点连线即可； （2）根据信息2的图计算即可； （3）①先A服务区到目的地的路程用电，再求出在A服务区充电结束时电量，进而根据信息1的表格作答即可； ②由（1）可知显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为二次函数关系式，求出关系式，由（1）中图可知电量越少充电越快，则两次充电时间均使得到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量为，结合（1）中表格计算即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：由信息2可知，满电量可行驶，且可行驶里程和显示的电量成正比例关系， ∴张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶． 故答案为：； （3）解：①∵A服务区到目的地的路程为， ∴A服务区到目的地的路程用电， ∵到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为， ∴在A服务区充电结束时电量为， ∵到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为， ∴在A服务区的充电时间为， 故答案为：； ②由（1）可知显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为二次函数关系式， 设显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为， 将，，代入得： 解得： 即显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为， ∵A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为， ∴A服务区到B服务区的路程为， ∴A服务区到B服务区的路程用电，B服务区到目的地的路程用电， ∵由（1）中图可知电量越少充电越快， ∴两次充电时间均使得到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量为， 则在B服务区充电结束时电量为， 当时，， ∵到达B服务区时电量为， ∴在B服务区的充电时间为， ∵A服务区到B服务区的路程用电，到达B服务区时电量为， ∴在A服务区充电结束时电量为， ∵到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为， ∴在A服务区的充电时间为， 即在A，B两个服务区的充电时间之和最少为． 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点 （1）当时、比较m，n的大小，并说明理由； （2）当时，记抛物线在点M，N之间的部分（含点M，N）为图形G，若在图形G上存在两点A、B（点A在点B左侧），点沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1），理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式、对称轴、增减性等性质，以及平面直角坐标系中点的坐标与函数的关系、分类讨论思想的应用；解题的关键是先求出抛物线的对称轴，再根据的正负判断抛物线开口方向和增减性，结合点的横坐标与对称轴的位置关系，分和两种情况，利用的条件及对称点性质确定的范围，同时确保图形上存在满足随. 增大而增大的两点． （1）先将代入抛物线解析式，确定抛物线表达式，再根据值算出点的横坐标，进而得到两点完整坐标，最后把两点坐标代入抛物线解析式求出的具体数值，通过比较数值大小得出与的关系； （2）首先求出抛物线的对称轴为，再分(抛物线开口向上)和(抛物线开口向下)两种情况，结合抛物线的增减性分析；当时，根据与1的大小关系进一步细分情况，利用的条件和对称点性质求出对应的范围，确保图形上存在两点满足随.增大而增大；当时，同样结合抛物线增减性、的条件及图形的特点，求出符合要求的的范围，最后综合两种情况得出的取值范围． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， 【小问2详解】 解：， 抛物线的对称轴为， ①当时，抛物线开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ， ， 设点横坐标为点横坐标为， 当，即时， ， ， ， ， ， ， 当满足时，点沿图形从运动到的过程中， 随的增大而增大， 符合题意， 当，即时， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ， ， ， ， ， ， ， 当满足时，点沿图形从运动到的过程中，随的增大而增大， 符合题意， 当时，符合题意， ②当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ， ， 存在点和点(点在点左侧)，点沿图形从运动到的过程中，随的增大而增大， ， ， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ， ， ， ， 综上所述，或． 27. 在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中点的定义，三角形的中位线定理，得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角得到，证明，即可得出结论； （2）过点M作交于点G，连接，证明，得到，，进而得到，倒角推出，得到，进而推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质，即可得出结论． 小问1详解】 证明：∵D，E分别是中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴． ∴，． ∴． 在和中， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 如图，过点M作交于点G，连接， 则． 在和中． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵． ∴． ∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 28. 在平面直角坐标中，对于点和，给出如下定义：若存在与的各边都有两个公共点，且每条边上两个公共点之间的距离均为，则称点是的“相关点”． （1）如图，是以为中心，边长为3的等边三角形，点在轴上，在点，，中，点______是的“相关点”，其中的值可以为______（写出一个符合题意的值即可）； （2）已知点，，若点是的“相关点”，则的半径的取值范围是______； （3）已知中，点，，，，边长为8的菱形的对角线交点为，点在轴正半轴上，．是菱形上一点，且存在使得点是的“相关点”，，直接写出的取值范围． 【答案】（1），（第二空答案不唯一，满足即可） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的内心的性质，圆内接四边形的性质，菱形的性质，一次函数的应用； （1）根据题意可知的“相关点”到三边的距离应相等，则该点应与三角形的内心重合，再根据等边的性质即可求解； （2）由（1）知，点为的内切圆圆心，作出的内切圆，过点作、、的垂线，垂足分别为、、，则，根据直角三角形内切圆半径与周长、面积之间的关系，求出，通过证明四边形是正方形，得到，再根据点是的“相关点”，即可求出的半径的取值范围； （3）根据（2）得到关键数据，由（2）可得当是直角边长分别为和的三角形的内切圆时，的最小半径为，此时，进而分析得出点的轨迹在劣弧，上运动，进而分别画出临界值，求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，的“相关点”到三边的距离应相等， 故该点应与三角形的内心重合， ∵是以为中心，边长为3的等边三角形， ∴点是的“相关点”， 当半径为的与相切时，只有1个点， 当有2个公共点时，， 当是的外接圆，交点为顶点， 此时， ∴， ∴的值可以为1； 故答案为：；1（答案不唯一，满足即可）； 【小问2详解】 解：由（1）知，点为的内切圆圆心， 如图，作的内切圆，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 则， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴； ∵，， ∴四边形是正方形， ∴； ∵点是的“相关点”， ∴的半径的取值范围是，即； 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵， ∴点的运动轨迹为优弧， 由（2）可得当是直角边长分别为和的三角形的内切圆时，的最小半径为 此时 ∵点，， ∴， ∵ ∴当时，当的最小半径为时， 当，不符合题意， ∴当时，点在之间的优弧上运动，， 则在劣弧，上运动， 如图，设为的外心，当在上方时为的外心， 设为的中点， ∵， ∴，， ∴ ∴，则 ∵边长为8的菱形的对角线交点为，点在轴正半轴上，． ∴， ∴ ∵是菱形上一点， 如图，当经过点时， ∴ ∴ 解得： 当在上或在上时，如图，过点作于点， 由图可得 设直线的解析式为 ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵的半径为即， ∴即 代入得， 解得： ∴ 当继续减小，如图，当与点重合时， ∵，即 ∴ 解得： 如图，当在上时， ∵ ∴即 代入得， 解得： ∴ 综上所述，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学期期末数学练习 2026.01 注意事项： 1．本试卷共8页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 选择不同的旋转中心和旋转角转动同一个图案，可以产生不同的效果．下列四个图案均由同一个图案“”利用旋转设计得到，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明的盒子中有5个形状、大小、质地等完全相同的小球，上面分别写着数字1，2，3，4，5．随机从盒子中摸出一个小球，摸出的小球上面的数字是奇数的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形内接于，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移个单位后，得到的抛物线的表达式是（    ） A B. C. D. 5. 用长的绳子围成一个面积为的矩形．设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形对角线、交于点O，过点O的直线分别与边交于点E，F，若点E的坐标为，则点F的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的半径为，内接于，，则的长为（ ） A. B. 5 C. D. 10 8. 在平面直角坐标系中，已知的圆心在直线上，给出下列三个结论： ①同时与轴和轴相切的有2个； ②若经过原点，则的面积的最小值为； ③若经过点，则点一定在外． 其中正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 二次函数的最小值为___________． 10. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为____． 11. 如图，点C，D在以为直径的上，若，则的大小为____． 12. 小明遇到下面的问题：在一个平面上一组间距为的平行线，将一根长度为的针随机投掷在这个平面上，试估计针与直线相交的概率．小明结合信息课中人工智能的相关知识，利用某智能体模型做了模拟试验，试验结果如下表： 试验次数n 50 100 200 300 500 1000 2000 4000 相交频数m 26 45 93 144 242 481 955 1916 相交频率 0.520 0.450 0.465 0.480 0.484 0481 0.478 0.479 根据表中的数据，估计针与直线相交的概率为____（精确到0.01）． 13. 如图，过外一点P作的两条切线，，若的半径为25，，则的长为____． 14. 如图、某公共场所为游客提供的一次性饮水纸杯可视为圆锥．如果该圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面展开图的圆心角的大小为____°． 15. 在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是____． 16. 某农业科技公司培育了15个农作物新品种，按其评估价值由低到高标注为1号至15号，并交由三个苗圃基地试种这些农作物新品种，每个苗圃基地种植5个．将每个苗圃基地种植的农作物新品种的最大标号与最小标号之和称为“综合培育价值指数”． （1）若其中一个苗圃基地种植农作物新品种的“综合培育价值指数”为7，则该苗圃基地可选择的不同种植方案有____种； （2）这三个苗圃基地种植的农作物新品种的“综合培育价值指数”之和的最大值是____． 三、解答题（本题共68分，第17－22题，每小题5分，第23－26题，每小题6分，第27－28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 解方程：x2+4x﹣1=0． 18. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，求代数式的值． 19. 数学课上，李老师提出了如下问题： 已知：如图，是上的一条劣弧． 求作：的中点． 同学们通过交流讨论得到了很多不同的方法，其中小亮给出了一个作法： ①作射线交于点； ②以为圆心，线段的长为半径作圆弧交射线于点； ③连接交于点． 则点为所求． （1）根据小亮设计的尺规作图过程，补全图形（保留作图痕迹）； （2）补全下面的证明． 证明：连接，，， ∵为的直径，∴① ，∴， ∵② ，∴， 又∵，所对的弧为，∴（③ ）（填推理的依据）， 同理， ∴，∴， ∴点为的中点． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）画出绕点A逆时针旋转所得，并直接写出的长； （2）直接写出在（1）的旋转过程中线段扫过区域的面积． 21. 在劳动课上、同学们设计制作了一种圆柱形零件、为检测它的底面直径是否符合标准，需要用到一种测量槽，槽的左右两壁均与槽的底面垂直且等高，槽的宽度为，深度为．把圆柱形零件水平放入槽内时，截面如图1所示，若零件同时与A、B、C三点接触，则其底面直径符合标准．如图2，圆柱的截面经过点A，B，且与相切于点C，求该圆柱形零件的底面直径． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点和． （1）求抛物线的表达式； （2）当时，关于x的方程有实数根，直接写出t的取值范围． 23. 某学校为丰富学生的体育活动，安装了智慧体育器材．该校九年级共有480名学生，学校统计了九年级学生使用智慧体育器材的情况，数据整理如下： 高频使用者（每周不少于4次） 中频使用者（每周2至3次） 低频使用者（每周不多于1次） 人数 160 m n （1）若从九年级随机抽取一名学生，该生是“中频使用者”的概率为，则______，______； （2）九年级的甲、乙同学都是“高频使用者”，丙同学是“中频使用者”，丁同学是“低频使用者”．现从这4名学生中随机抽取2人，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2人中至少有1人是“高频使用者”的概率． 24. 如图，是的直径，点C在上，P为延长线上一点，． （1）求证：是的切线； （2）过点C作于H，延长交于点D，若，，求面积． 25. 随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低． 下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息． 信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系． 汽车仪表盘显示的电量e（%） 0 20 30 50 60 70 80 90 100 累计充电时间t（） 0 5 8 17 22 29 38 50 94 信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系． （1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）： （2）张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶______； （3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为． ①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______； ②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）． 26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点 （1）当时、比较m，n的大小，并说明理由； （2）当时，记抛物线在点M，N之间的部分（含点M，N）为图形G，若在图形G上存在两点A、B（点A在点B左侧），点沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大而增大，求a的取值范围． 27. 在中，，D，E分别是的中点．M是线段上的动点（不与B，D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接交于点F，当时，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标中，对于点和，给出如下定义：若存在与的各边都有两个公共点，且每条边上两个公共点之间的距离均为，则称点是的“相关点”． （1）如图，是以为中心，边长为3的等边三角形，点在轴上，在点，，中，点______是的“相关点”，其中的值可以为______（写出一个符合题意的值即可）； （2）已知点，，若点是的“相关点”，则的半径的取值范围是______； （3）已知中，点，，，，边长为8的菱形的对角线交点为，点在轴正半轴上，．是菱形上一点，且存在使得点是的“相关点”，，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $