精品解析：安徽省六安市毛坦厂中学2025-2026学年高三上学期元月份综合素质检测数学试题

高三元月份综合素质检测 数学 命题老师：张孝军 审题老师：陈影 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法求得复数，然后得到其模长. 【详解】由题意可知， ∴. 故选：B 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解出对数不等式的解集，由此可表示出集合，再根据分类讨论二次不等式的解即可求解出的值. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又因为， 当时，无解，所以，此时； 当时，由可得，所以，若，则； 当时，由可得，所以，此时. 综上，. 故选：C 3. 已知、为两条不重合直线，、为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面关系、面面位置关系结合充分条件的定义判断可得出结论. 【详解】对于A选项，因为，，，则与可能平行，也可能相交，因此A中条件不是的充分条件； 对于B选项，因为，，所以，结合，知，因此B中条件是的充分条件； 对于C选项，由，知或，结合， 知与可能平行，也可能相交，因此C中条件不是的充分条件； 对于D选项，由，知或，结合，知， 所以D中条件不是的充分条件． 故选：B． 4. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直列方程，由此求得的值. 【详解】由于，所以， 解得或. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式化简，进而根据弦切互化即可求解. 【详解】． 故选：C 6. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形法则即可求解. 【详解】，因为在棱上，且，所以， 又为中点，所以， 故， 故选：A 7. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C. 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】当时， ，得，令，得，再利用对勾函数的单调性求解． 【详解】当时， ， 得， 得， 得， 得， 由，得，， 得，又 得， 令，得， 由对勾函数知，在上递增，得， 故， 得或， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D. 【详解】由，其最小正周期为，A对， 由，则的值域为，B对， 由，则，显然不单调，C错， 函数图象向右平移个单位长度， 则，D对. 故选：ABD 10. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值为 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为15 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列的求和公式和等差数列的性质，求得，且，，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，由，可得， 又因为，可得，即，所以， 所以，所以A正确； 对于B，因为，且，所以且，所以B正确； 对于C，在等差数列中，由且， 则当时，可得；当时，可得， 所以当取得最大值时，，所以C正确； 对于D，由，且， 所以使得成立的最大整数为，所以D错误. 故选：ABC. 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在C上，则 C. 点N在椭圆上，若，则 D. 过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题目给的伯努利双纽线的概念，结合圆锥曲线中的焦点概念，直线与圆锥曲线的关系，分别判断各选项的正误. 【详解】由题意，，即， 对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确； 对于B，由点在上，得， 化简得，解得，故错误； 对于，椭圆的焦点坐标恰好为与，则， 由，得：， 则，，故C正确； 对于D，设，则，而，则， 又根据勾股定理得，则，化简得， 解得，因此，故D正确； 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为_________． 【答案】120° 【解析】 【分析】根据法向量求直线的方向向量，由方向向量即可求出倾斜角. 【详解】因为直线的一个法向量为， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率为， 倾斜角为120°． 故答案为：120° 【点睛】本题考查了求直线的方向向量、由方向向量求直线的倾斜角，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 13. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线过点列式得出，进而结合得出离心率即可. 【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为， 所以点渐近线上，即， 所以，所以离心率． 故答案为：. 14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用椭圆和双曲线的性质有，再由基本不等式即可求解. 【详解】因为点满足，是的中点 所以三角形是直角三角形，且. 设，则. 所以. 所以. 所以， 当且仅当，即时取等号. 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前项和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用，求解，最后验证是否满足，即可得解. （2）先利用累加法求得，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 由题意可得，当时，； 当时，， 因为满足上式，所以的通项公式为； 【小问2详解】 因为，且， 所以当时，， 当时，也符合上式，所以， 所以， 所以 . 16. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分，，，四种情况求解即可； （2）转化问题为，恒成立，令，进而利用导数分析单调性求解即可. 【小问1详解】 因为， 则， ①当时，，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； ②当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为，，减区间为； ③当时，， 当时，，则， 当时，，则， 此时，函数在上单调递增； ④当时，，则， 由可得或，由可得， 此时，函数的增区间为，，减区间为. 【小问2详解】 因为， 对任意的，有，所以时，，即， 令，则， 所以，函数在上单调递减，则，故， 因此，实数的取值范围是. 17. 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝2，，E为AC的中点，现将△ABC及其内部以边AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为点C在旋转过程中形成的圆的圆心，点C'为圆O上任意一点． （1）求新的几何体的体积； （2）当时，求二面角C－BE－C'的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用割补法来求得新的几何体的体积. （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法来求得二面角C－BE－C'的余弦值． 【小问1详解】 连接，在中， 由题意可得，， 因为新的几何体是以为高的圆锥减去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积. 【小问2详解】 当时，可得， 以为原点，分别以为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以平面的一个法向量为. 又因为，且，平面， 所以平面，所以为平面的一个法向量. 所以， 所以二面角C－BE－C'的余弦值为． 18. 我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点，的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线． （1）试求平面内到两个定点，的距离之商为定值且的点的轨迹； 提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 设，的坐标分别为，其中 （2）若中，满足，，求三角形的面积的最大值. 【答案】（1）圆；（2）. 【解析】 【详解】（1）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，设，的坐标分别为，其中，  设动点坐标，根据题意可得， ∵，，即，整理得，所以平面内到两个定点，的距离之商为定值的点的轨迹是圆．  （2）取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，，建立直角坐标系，设，的坐标分别为，，设顶点， ∴，， ∵，∴，整理得即点落在除去两点的圆上． 又，，∴ 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l的倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题设条件得出关于的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的标准方程； （2）将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式与韦达定理可求得的值； （3）设直线的方程为，将该直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式、韦达定理以及对勾函数的单调性可求得的面积最大值. 【小问1详解】 由题可知，，故，因此， 又因为点在椭圆上，故， 联立，解得，故椭圆. 【小问2详解】 由题可知，，故直线，设点， 联立直线与椭圆，得， 根据韦达定理，，， 由弦长公式知. 【小问3详解】 易知直线与轴不重合，设直线的方程为， 联立，得， ， 由韦达定理可得， 所以， 所以三角形的面积为 令，则函数在上为增函数， 故当时，即当时，取最大值，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三元月份综合素质检测 数学 命题老师：张孝军 审题老师：陈影 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足（是虚数单位），则（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知、为两条不重合直线，、为两个不重合平面，下列条件中，的充分条件是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知直线与垂直，则实数的值为（ ） A. B. 1或 C. 1 D. 或5 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，在四面体中，，，.点在棱上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 幂函数过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 8. 已知函数，若当时，，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 10. 设是等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 中最小值 C. 当取得最大值时， D. 使成立的最大整数为15 11. 双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点在C上，则 C. 点N在椭圆上，若，则 D. 过作x轴的垂线交C于A，B两点，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个法向量为，则直线的倾斜角为_________． 13. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为______． 14. 已知离心率为的椭圆和离心率为的双曲线：有公共的焦点，分别为左、右焦点，是与在第一象限的公共点.若点满足，则的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和. （1）求的通项公式； （2）若首项为3的数列满足，求数列的前项和 16. 已知函数. （1）讨论函数单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图1，在△ABC中，AB＝BC＝2，，E为AC的中点，现将△ABC及其内部以边AB为轴进行旋转，得到如图2所示的新的几何体，点O为点C在旋转过程中形成的圆的圆心，点C'为圆O上任意一点． （1）求新的几何体的体积； （2）当时，求二面角C－BE－C'的余弦值． 18. 我们已经学习过如下知识：平面内到两个定点，的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆；平面内到两个定点，的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线． （1）试求平面内到两个定点，的距离之商为定值且的点的轨迹； 提示：取线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 设，的坐标分别为，其中 （2）若中，满足，，求三角形面积的最大值. 19. 已知椭圆，分别是左、右焦点，焦距为，点在椭圆C上，过点作直线l交椭圆于A、B两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线l倾斜角为，求线段的长； （3）求的面积最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $