第2章 2 第4课时 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

如图所示，当小货车行驶到城门洞正 中间，用矩形CDEF表示小货车的横 截面，则ED,FC均垂直于AB,点E, F到AB的距离均为2.6m,点F的横 坐标为1.1.设CF所在直线交抛物线 AD 于点G,则点G的横坐标为1.1， .点G的纵坐标为y=-1.1=-1.21, .点G到AB的距离为4-1.21=2.79(m). :2.79m>2.6m,.该小货车能安全通过此城门洞. 11.解：(1)46 (2)y=x关于y轴对称，点A的横坐标为t, ∴.点A的坐标为(t,t),点B的坐标为（一t,) ∴.“抛物圆”的“横径”长为一t一t=一2t, “纵径”长为22+=-1十已. 它的附度”为2若=2， 解得t=一3或t=0(舍去)，即t的值为一3. 第2课时二次函数y=ax2和y=ax2十c的 图象与性质 1.D2.C3.a>b>c>d 4.解：(1)将点A(-2,-4)代入y=ax,得a=-1, 这个函数的表达式为y=一x. 当x=-3时，y=一9≠4， ∴.点B(一3,4)不在此抛物线上。 (2),当x<0时，函数值y随x的增大而增大，x1<x2<0, ∴.y1<y2 5.B6.D 7.y=一x2十2（答案不唯一） 8.解：(1)点P(1,m)在一次函数y=2x-1的图象上， .m=2×1一1=1，.点P的坐标为(1,1). 又点P(1,1)在二次函数y=ax2一2的图象上， .1=a-2,.a=3. (2)由(1)，得二次函数的表达式为y=3x2一2. 当x>0时，y随x的增大而增大. 9.C10.D11.y=-2x2+412.D13.1+√2 14.解：1)由-子x十3=0，得x=2或x=一2∴点B的坐标 为(2,0).将B(2,0)代入2=- 子+6，得6=， “直线BC对应的函数表达式为y=一子十多 由-子+3=-是十号得x=2或=-1. 由题图可知，点C在第二象限， x=-1,此时=-子×(-1十=号， “点C的坐标为(-1，号)： (2(1,)或(F,-)或(-万，-） 15.解：(1)如图所示. (2)由题意，得点A(x,y)的“关联点”为 A(x,y-x). 由点A(x,y)在函数y=x2的图象上，可 得A(x,x2),.A1(x,x2-x), 又：A(x,x2-x)在函数y=x2-2的 图象上， 160 九年级数学BS版 x2-x=x2-2,解得x=2. 将x=2代入A(x,x一x),得A(2,2). (3)由题意可知，点A(x,y)的“待定关联点”为A2(x,x2一 na). .A2(x,x2-nx)在函数y=x2一n的图象上， .x2-nx=x2-n,∴.n-nx=0,n(1-x)=0. 又n≠0，.x=1, .点A2的坐标为(1,1-). 第3课时二次函数y=a(x一h)2和y= a(x-h)2+k的图象与性质 1.D2.B3.<变式题>4.B5.C 6.解：(1)将(1,11)代入y=a(x+3)2-5,得16a-5=11,解得 a=1 (2)开口向上，对称轴是直线x=一3， 顶点坐标是（一3，一5）. (3)①当x=一3时，函数取最小值，最小值是一5. ②当x<一3时，y随x的增大而减小. 7.D8.C9.右上10.C11.y2<y1<y3 12.解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D :抛物线的表达式为y=一子一2， ∴点A的坐标为(2,0)，点B的坐标为 (0,-1), .AO=2,BO=1. .'AB⊥AC,.∠OAB+∠CAD=90° .∠OAB+∠ABO=90°，.∠ABO=∠CAD, R△AB0 oRACAD.8-0 即品=DCD=2AD 由y=一 (x-2)=-x+x-1, 可设C,-十+1-1)，则AD=1-2, .-(-+4-1）=21-20, 整理，得t-12t十20=0， 解得t=2(舍去)，t2=10. 当=10时，-2+4-1=-16， .点C的坐标为(10，-16). 13.解：1)y=3x (2)由题意，得点P1的纵坐标为5或一5，则抛物线沿着直线 向上平移了1个单位长度或向下平移了9个单位长度，即 点O的纵坐标为1或一9. 将y=1代入y=子，得x=3:将y=-9代入y=子，得 x=-27,则点O1的坐标为(3,1)或(-27，一9). 故平移后二次函数图象所对应的函数表达式为y=(x 3)2+1或y=(x+27)2-9. 第4课时二次函数y=axr2十br十c的图象与性质 1.A2.C3.-2变式题A 4.解：(1)当y=0时，-x2+4x十5=0， 解得x1=一1，x2=5,∴·点A的坐标为（一1,0），点B的坐标 为(5,0)，.AB=6. 当x=0时，y=5,∴.点C的坐标为(0,5)，.OC=5, ∴Sa做=X6X5=15. (2)配方法： y=-x2+4x+5 =-(x2-4x)十5 =-(x2-4x+4-4)+5 =-(x-2)2十9， .抛物线的顶点坐标为(2,9)： 公式法：a=-1,b=4,c=5, 品2x=2, 4 4ac-&_4X(-1)X5-4=9, 4×(-1) 抛物线的顶点坐标为(2,9). (3)5≤y≤85≤y≤9 5.D6.C7.C8.B9.C10.号1.①③0 12.解：(1)将B(3,0)代入抛物线y=-x2十mx十3，得0=-32 +3m+3, 解得m=2, .y=-x2十2x+3=-(x-1)2+4, .抛物线的顶点坐标为(1,4). (2)如图，连接BC,交抛物线的对称轴1 于点P,则此时PA十PC的值最小 由(1)可得，点C的坐标为(0,3). 设直线BC的表达式为y=kx十b. 将C(0,3),B(3,0)代入y=kx+b,得 0=3k+b~解得b=3, k=-1, 3=b, .直线BC的表达式为y=-x+3. .抛物线的对称轴为直线x=1, 且当x=1时，y=-1十3=2， .当PA十PC的值最小时，点P的坐标为(1,2) 3确定二次函数的表达式 1.D 2.解：由题意，可设二次函数的表达式为y=a(x一3)2一1. 将(4，-3)代入，得-3=a(4-3)2-1,解得a=-2, .二次函数的表达式为y=一2(x-3)2一1. 3B41-645y-号-号+2 5 6.解：(1)将(-1,10)，(0,5)，(1,2)代入y=ax2+bx十c中，得 a-b+c=10,a=1, c=5,解得b=-4, a+b+c=2, c=5, 该二次函数的表达式为y=x2-4x十5. (2)由(1)知y=x2-4x十5=(x-2)2十1， .当x=2时，y有最小值，最小值为1. 7.D 8.解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x十1)(x-3). 把C0,1代人，得a·1X(-3)=1,解得a=-号 ∴抛物线的表达式为y=一号(x十1)(x一3)，即y=- +号x+1 (2)点P(2,1)在这条抛物线上.理由如下： 当x=2时y=-号×4+号×2+1=1， .点P(2,1)在这条抛物线上. 9.D10.2 11.解：(1)当x=0时，y=一3，当y=0时，x=3, .C(0,-3),B(3,0),.OC=3. .OC=30A,.OA=1,∴.A(-1,0), 把C(0,-3)代入y=a(x+1)(x-3),得a=1, .抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2一4，.M(1, -4). (2)抛物线向左平移号个单位长度，再向下平移号个单位 长度或抛物线向右平移号个单位长度，再向下平移号个单 位长度 12.证明：当x=0时，y=2, 则点C的坐标为(0,2). 当y=0时，-号(x+1D(x-0)=0, 解得x1=一1，x2=4, 则点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0) 点A,B,C关于原点的对称点分别是A1,B,C, .易得点A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,-2). 设图象经过点A!,B1,C1的二次函数表达式为y=a2(x 1)(x十4)，将C(0,-2)代入，得-4a2=-2,解得a,=立： 1 :图象经过点A,B,C的二次函数表达式为y=合(x 1D(0=r+号-2a===-2 又y=-+1x-40=-r+2+2. a+a=+=06=6=号a+=2-2=0, 3 “图象经过点A,B,C的二次函数与函数y=一号（x十1)G 一4)互为“旋转函数”. 解题技巧专题求二次函数表达式的方法 9a-3b+c=0, fa=1, 1.解：由题意，得c=-3, 解得b=2, 4a+2b+c=5, c=-3, .二次函数的表达式为y=x2十2x-3. .y=x2+2x-3=(x十1)2-4， .图象的对称轴为直线x=一1，顶点坐标为（一1，一4）. c=7, a=1, 2.解：(1)由题意，得3a十b十c=4,解得b=-4, 4a+2b+c=3,c=7, .二次函数的表达式为y=x-4x+7. 当x=5时，y=52-4×5+7=12. 故被污染的数据为12. (2)y=x2-4x+7=(x-2)2+3, 抛物线的对称轴为直线x=2,当x=2时，函数取得最小 值3； 当一2≤x<2时，函数值y随x的增大而减小， 当x=-2时，y=(-2)2-4×(-2)十7=19： 当2<x≤3时，函数值y随x的增大而增大， 当x=3时，y=32-4×3+7=4. 综上，当一2x≤3时，函数值y的取值范围为3≤y≤19. 3.y=(x-2)2-1 4.解：设二次函数的表达式为y=a(x一2)2-2. 把C(0,6)代入y=a(x-2)2-2, 得a(0-2)2-2=6,解得a=2, .二次函数的表达式为y=2(x-2)2-2=2x2-8x十6. 将y=0代入y=2(x-2)2-2,解得x1=1,x2=3, 下册参考答案 161第4课时二次函数y= 已课内基础闯关 知识点① 二次函数y=ax2十bx+c的图象 与性质 1.抛物线y=x2一2x十m2+2(m是常数)的顶 点在 ( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.关于二次函数y=x2一4x十3，下列描述正确 的是 ( A.该函数图象的顶点坐标为(0,3) B.该函数图象的对称轴在y轴的左侧 C.该函数图象与x轴有两个交点 D.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 3.抛物线y=x2十bx十c向右平移2个单位长 度，再向下平移1个单位长度，所得图象的 表达式为y=x2一2x一3，则c= 变式题要想得到y=x2十4x十6，可以将抛 物线y=x2-2x十1 A.向上平移2个单位长度，再向左平移3 个单位长度 B.向下平移2个单位长度，再向右平移3个 单位长度 C.向上平移2个单位长度，再向右平移3 个单位长度 D.向下平移2个单位长度，再向左平移3 个单位长度 4.如下图，在平面直角坐标系中，抛物线y 一x2+4x十5与x轴交于A,B两点，与y轴 交于点C. (1)连接AC,BC,求△ABC的面积； (2)分别用配方法和公式法求出抛物线的顶 点坐标； (3)当0≤x≤1时，y的取值范围是 34 九年级数学BS版 x2十bx+c的图象与性质 ;当0≤x≤3时，y的取值 范围是 知识点②二次函数y=ax2+bx+c与系数 a,b,c的关系 5.如图所示，直线l为二次函数y=a.x2十bx十 c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确 的是 () A.b恒大于0 B.a,b同号 C.b恒小于0 D.a,b异号 -1V0 第5题图 第6题图 6.如图，抛物线y=ax2十bx十c过点（一1,0） 和点(3,0)，则下列说法正确的是() A.bc<0 B.a+b+c>0 C.2a+b=0 D.多b+c=0 7.已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的部分 图象如图所示，则下列结论正确的是( A.abc0 B.4a+2b+c<0 C.3a+c=0 D.am2十bm十a≤0(m为实数) 第7题图 已课外拓展提高 8.已知二次函数y=a.x2+(b十1)x 十的图象如图所示，则二次函 数y=ax2+b.x+c与一次函数 y=一x一b的图象大致是 第8题图 9.(2024乐山)已知二次函数y=x2-2x(-1 ≤x≤t一1)，当x=一1时，函数取得最大 值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值 范围是 A.0<t≤2 B.0<t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 10.如图，已知抛物线y=x2一2x十c与y轴交于 点C,顶点为D.过点C作x轴的平行线，与抛 物线交于另一点A,过点A作y轴的平行线， 与射线OD交于点B.若OA=OB,则c 第10题图 第11题图 11.如图，已知抛物线y=a.x2+bx+c(a,b,c为 常数，a≠0)经过点(2,0)，且对称轴为直线 x=?.现有下列四个结论：①abc>0;②a十 b>0;③4a+2b+3c<0;④无论a,b,c取何 值，抛物线一定经过(a0).其中正确的是 (填序号). 综合能力提升 12.数学核心素养·几何直观如下图，已知抛 物线y=一x2十mx十3与x轴交于A,B两 点，与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0). (1)求m的值及抛物线的顶点坐标； (2)P是抛物线的对称轴1上的一个动点， 当PA十PC的值最小时，求点P的坐标. A O B 知识要点归纳 1.二次函数y=a.x2十bx+c化成顶点式为y= ）+4acb 4a 2.二次函数y=a.x2十bx十c的图象信息与各项系 数的关系：(1)a决定抛物线的开口方向；(2)c决 定抛物线与y轴的交点位置；(3)a,b的符号共同 决定对称轴的位置， 35 下册第二章