第1章 4 解直角三角形-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

4解直角三角形 已课内基础闯关 -------------------------0 知识点① 已知两边解直角三角形 1.在Rt△ABC中，AB=4,AC=2√2，∠C 90°，则∠A的度数为 ) A.30° B.40° C.45 D.60° 知识点③ 已知一边及一锐角三角函数值解 2.(教材第17页题1变式)已知在Rt△ABC 直角三角形 中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别 7.在△ACB中，∠C=90°，sinB= 会若AC 为a,b,c. 6,则BC的长为 (1)若a=6,b=2√3，求∠A,∠B,c; A.8 B.12 C.63 D.123 (2)若a=24,c=242,求∠A,∠B,b. 8.如图，AD是△ABC的高.若 BD=2CD=6,tanC=2,则边 AB的长为 () B D A.3√2 B.3/5 第8题图 C.6√2 D.37 9.如右图，在锐角三角形ABC 中，sin4=3√0 10 cosB=4 知识点② 已知一边及一锐角解直角三角形 若AB=15,求AC的长. 3.已知在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB =10,那么BC的长为 A.10cos50° B.10sin50° C.10tan50° D.10 4.如图，在Rt△ABC 中，A ∠ACB=90°，CD是斜边AB 的中线，∠B=30°，BC= B 第4题图 √3cm,则CD的长为 cm. 5.长为6m的梯子搭在墙上与地面成30°角， 作业时调整为45°角，则梯子的顶端沿墙面 已课外拓展提高 升高了 m(结果保留根号). 10.根据所给条件解直角三角形，结果不能确 6.(教材第16页例2变式)如右图，在 定的是 (填序号). Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=55°， ①已知一条直角边及其对角；②已知两个 AC=4.解此直角三角形（结果保留 锐角；③已知斜边和一个锐角；④已知一条 小数点后一位). 直角边和斜边；⑤已知直角边和一个锐角. 10 九年级数学BS版 11.（2024赣州兴国期中)在△ABC中，tanB= sinC.① 合，BC=5,过点A作BC边上的高AD,且 由以上推理得结论①：三角形的面积等于 两边及其夹角正弦积的一半. 满足BD:DC=3:2,则△ABC的面积为 又：abc≠0，将等式号c·sinA= ac. 12.如下图，在△ABC中，BA=BC=13,AC= sin B= 乞ab·sinC两边同除以abc,得 10,∠ABC的平分线与边AC交于点F,与 sinA_sinB_sinC.② a b 外角∠ACD的平分线交于点E.求： (1)sinA的值； 由以上推理得结论②：在一个三角形中，各 (2)点E到直线BD的 边和它所对角的正弦的比值相等， 距离. 【理解应用】如下图，甲船以24km/h的速 度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙 船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙 船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行， 当甲船航行20min到达D处时，乙船航行 到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船 相距8km. (1)求△ADC的面积： (2)乙船航行的路程是 60 15 km(结果保留 75M 根号). 已综合能力提升 13.(2024聊城期末)【阅读材料】在△ABC中， ∠A,∠B,∠C的对边分别记为a,b,c, △ABC的面积记为S△BC,过点A作AD1 BC,垂足为D,则sinB= BAD-AB. sinB,S△Ac=2BC·AD= 2BC·AB. 知识要点归纳 sinB=2ac·sinB.同理可得Sac 一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元 2bc·sinA,SAAIC=)ab·sinC.故SAc 1 素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知 元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三 -号c·sinA=ac·sinB- 角形 下册第一章4解直角三角形 1.C 6 2.解：1D在R1△ABC中，anA=合-2后-5， .∠A=60°，.∠B=90°-60°=30°， ∴.c=2b=2×23=4V5. (2)在Rt△ABC中，根据勾股定理，得b=√c2一a= V24②-20=241mA=号=1，∠A=∠B=45. 3.A4.15.(3√2-3) 6.解：根据题意，得∠A=90°-∠B=90°一55°=35°. 在R△ABC中，AB=AC= 4 sinB sins55≈4,9， BC=AC=4 。tanB tans55≈2.&. 7.C8.C 9.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D. 在R△BCD中oB-设-台 .设BD=4k,BC=5k. .CD=BC2-BD2, .'.CD=3k. :siA-9光-3AC=0k ΓAC 10 :AD=√AC-CD=k, ..AB=AD++BD=+4=5k=15, 解得k=3,∴.AC=√10X3=3√10. 10.②1.号或9 12.解：(1)AB=BC=13,BF平分∠ABC, ∠ABF=∠CBF,BF⊥AC,AF=7AC=5. 在Rt△ABF中，BF=/AB-AF=12, mA-器-号 (2)如图，过点E作EG⊥BD,垂足 为G. CE平分∠ACD,EF⊥AC,EGI BD,∴.EF=EG. 在Rt△EBG中，.sin∠CBE= ∠AB器 5 ∴.13EF=5×12+5EF, EF-5G=5 故点E到直线BD的距离为只。 13.解：(1)由题意知，∠ADC=60°，DC=8km,AD=24×2 60 8Ckm）∴Sac=2DC·AD·sin∠ADC =子×8x8×sin60 =号×8×8×9号=165km). 2 故△ADC的面积为16√3km. (2)6 3 教材变式专题构造直角三角形解决问题 1.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D 由题意可知，∠DCA=30°，.AD= AC =5,CD=AC·c030°=25×5=3. 2 D .∠BCA=75°， .∠BCD=75°-30°=45°， .CD=BD=3,.AB=AD+BD=3+√3，BC=3√2，∴.AB +BC=3+√5+3√2≈3+1.7+3X1.4≈9. 故旗杆原来的高度约为9m, 2.解：如图，延长BD交AC的延长线于 点E,过点D作DF⊥AE于点F. :i=tan∠DCF=是=3， 33 .∠DCF=30°，∴.∠CDF=60 又.∠DAC=15°，.∠ADC=15°， ∴.CD=AC=10m,∠BDF=45°+15°+60°=120°，.∠E= 120°-90°=30°. 在R△DCF中，DF=CD·sin30=10X号-5(m, CF=CD.c080=10x9-5v5m. 在R△DFE中，EF=DE=点=55(m, tanE .AE=10+5√3+5√3=(10W3+10)m. 在R△BAE中，AB=AE.anE=(I0万+10)×=(10 +0y)m 故斑杆AB的高度为(10+10)m 3.解：如图，延长DA交CB的延长线 于点E .∠ABC=90°，∠DAB=120°， ∴.∠ABE=90°，∠EAB=60°， .BE=AB·tan60°=12√/5. .∠D=90°，∴.∠C=60°， .DE=CD·tan60°=30， ∴该四边形的面积为2CD·DE-号AB·BE=×10,5 ×30-7×12×125=78V3. 4.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E,CFD ⊥AD于点F,则∠AEC=∠AFC =90°. 又：∠A=90°， ∴四边形AECF为矩形，∴AE=CF,AF=CE 设BC=CD=xm. 在Rt△BCE中，.∠B=30°，∴.CE=BC·sin30°=0.5xm, BE=BC·cos30°-5 m. 在Rt△CDF中，∠D=72°， .∠DCF=90°-∠D=90°-72°=18，∴.DF=CD·sin18 ≈0.31xm,CF=CD·cos18°≈0.95xm. .'AD=DF+AF=DF十CE, 下册参考答案 155