第1章 2 30°，45°，60°角的三角函数值-【学海风暴】2024-2025学年九年级下册数学同步备课（北师大版）

参考答案 答案详解 第一章直角三角形的边角关系 8解：ID在等腰三角形ABC中，AB=5,sin∠ABD=号，AD 1锐角三角函数 第1课时正切 1BC,则sin∠ABD=告-铝-=9，解得AD=4 1.C2.C3.C4.17 由勾股定理可得BD=√AB-AD=√一4=3. (2)在等腰三角形ABC中，AB=BC-5,E是边AC的中点， 5.解：AB=6,∠B=30,AD=7AB=3. .BE⊥AC. mc-品-号(D=2, 由(1)知，AD=4,DC=BC-BD=5-3=2,则AC= ∴AC=√JAD+CD=√32+2=√13. AD FDC--2,CE-AC-/5. 6.C7.②8.A9.75m变式题45m10.C11.2 在Rt△BCE中，BE=√BC-CE=√5-(/5)2=25， 12.8或24 .tan∠EBC= BE 25 13.解：如图，连接AD. .AB=AC,BD=DC,BC=16, 9.c10.B1号 ∴ADLEC,BD=2BC=8, 12.解：(1)把B(n,6)代入y=-2x+4,得6=-2n+4, .∠ADB=90°， D 解得n=-1,.B(-1,6). ∴AD=√JAB-BD=√I02-8=6, 把B(-1,6)代人y=冬得=-1X6=一6y=一兰 x mB部冬-是 把A(-3m代人y=一至得m=一气=2 DE⊥AB,∠AED=90°， .∠BAD十∠ADE=90°. 22 :∠ADE+∠BDE=90°，.∠BDE=∠BAD, ·ian∠BDE=ian∠BAD=BD-&=4 13.解：(1)证明：在Rt△ABC中，sinA=a,cosA=b AD6-3 ∴simA十cosA=g+=Q+= 14.解：如图所示，∠MON即为所求. 1 由图，得∠MOH=a,∠NOH=B,∠MON= (2)020 a-B. 7 在△MFN和△NHO中， MF=NH, ②：sinA-osA=吉(snA-osAr=(传)'， ∠F=∠NHO, 'sin'A-2sinAcosA+cosA-5 FN=HO, 124 .△MFN≌△NHO(SAS), .2sin4cosA=1-25-25” .MN=NO,∠MNF=∠NOH. .'sinA+cosA =(sinA+cosA)=v1+2sinAcosA .∠NOH+∠ONH=90°， .∠ONH+∠MNF=90°， .∴.∠MNO=90°，∴.∠MON=∠NMO=45°， 即a-B=45°. 230°，45°，60°角的三角函数值 第2课时正弦和余弦 1A2B39 4.3 1.A2.D39 4解：在R△AC中，∠C=90A-会S 5解，1原式=3x×号=号+1= casA=号AC=66-是=号解得AB=9, (2)原式= (9)-2x9×号-1- 3 .根据勾股定理可得BC=√AB一AC=√9-6=3√5， 8)原式=8×号-2X1+2×号+4×名=5-2+5+2 1=紧- =23. 5.∠BAC的正弦值越大，梯子越陡（或∠BAC的余弦值越小， 6.C7.C 8.B9.75°10.40y3m11.(15+15/3 梯子越陡) 3 6.c7. 12B1.- 下册参考答案 153 14.解：能.理由如下： .F是AD的中点， 过点A作AD⊥BC于点D,如图. .FG是△ACD的中位线， .'△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°， ·FG=2AC=3,CG=2CD=2, ·∠B=∠C=180°，120=30，BC= 2 B FG 3 2BD,BD=AB·cosB=12XF 六在Rt△BFG中，tan∠FBD-品-8千2-O】 2 =6√3(cm),∴.BC= 7.B 12√/3cm>20cm 8.解：由折叠的性质，得CF=CD=10,∠EFC=∠D=90°， 故能画出一个半径为20cm的圆. .∠AFE+∠BFC=90° 15.解：(1)3 3 在Rt△BCF中，∠BCF+∠BFC=90°， 3 .∠AFE=∠BCF (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1, 在Rt△BCF中，BF=√CF-BC=6, ∴AB=√AC+BC=5,AD=AB=5, 如∠AFE=in∠BCF-85= cD=AD叶AC-2h6,m之A=mD-器-5-2 9.解：(1)证明：在正方形ABCD中，AD=DC,∠ADC=90° ,CF⊥DE, .∠DFC=∠CFG=90°. 3三角函数的计算 'AG∥CF,∴∠AGD=∠CFG=90°， 1.D2.C3.B4.B5.1.66.B .∠AGD=∠DFC 又.∠ADG+∠CDF=∠ADC=90°，∠DCF+∠CDF= 7.解：如图.由题意，得DF=AB 90°，.∠ADG=∠DCF. =0.15m. ∠DFC=∠AGD, CD 斜坡AC的坡比为1：2， 在△DCF和△ADG中，∠DCF=∠ADG, 勰=器 DC=AD, .△DCF≌△ADG(AAS). .BC=2AB=1.5m,CD=2DF=0.3m. (2)设正方形ABCD的边长为2a. ED=2.55m, E是AB的中点， ∴.EB=ED+BC-CD=2.55+1.5-0.3=3.75(m). 在R△ABB中，nE-铝-得言 i.AB-Xa-a 在Rt△ADE中，DE=/AD+AE=√(2a)+a=5a, 根据参考数据可知，∠AEB≈11.310°， .为防止通道遮盖井盖，所铺设通道的坡角不得小于12° n∠a6提-后停 解题技巧专题求锐角三角函数值的方法 由(1)，得∠ADG=∠DCF=a, 1.B 2解：在R△ABC中，∠C=90,sinA=-号，AB=15. BC=号AB=号×15=12，∴AC=VAB-BC=9, 10.号1.号 12.解：(1)证明：AE是∠BAC的平分线，∠C=90°，EF⊥ ∴.△ABC的周长为AC+BC+AB=9+12+15=36,tanA= AB,..CE=FE. BC_12=4 AC9=3 (AE=AE, 3.解：(I)在Rt△ADB中，tan∠BAD=BD=3 在R△ACE和R△AFE中，{CE=FE, AD 4 ∴.Rt△ACE≌Rt△AFE(HL). BD=AD·tan∠BAD=12X=9, (2)由(1)可知，△ACE≌△AFE, ..AC=AF. ∴.CD=BC-BD=14-9=5, 设BF=m,则AC=AF=2m,AB=3m, .AC=√AD+CD=√122+5=13. ∴.BC=√AB-AC=√9m2-4=5m. 2)在R△ADC巾，snC=是-是 在RAABC中，tanB=AS=2m=25 BC√5m 5 4D5号 6.解：I:AC1BD,cas∠ABC=号， 在RAEFB中，FE=BF,anB=25m, 5 .cos∠ABC=AB=AB-5' ∴CE=FE=25m 5 ∴.AB=10, 2√5m .AC=√AB-BC=6 在Rt△ACE中，tan∠CAE=-CE= 5= AC 2m 51 (2)如图所示，过点F作FG⊥BD于点G,则FG∥AC BF为AD边上的中线， 故n∠CAE的值为气。 154 九年级数学BS版2 30°，45°，60° 已课内基础闯关 知识点①特殊角的三角函数值 1.4sin60°的值为 A.3 B.1 c含 D.√3 2.(2024商丘夏邑期末)已知实数a=tan30°， b=cos60°，c=sin45°，则下列判断正确的是 A.6>a>c B.ca6 C.bc>a D.a>c>b 3.若3=tan60°，则x1= 4.某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探 究中遇到一些新的数学符号，他们摘录的某 些材料如下：对于三个实数a,b,c,用max{a, b,c}表示这三个数中最大的数，例如max{1, 2,-3}=2,max{sin30°，cos45°，tan60°} √3.结合上述材料，max{3tan45°，2sin60°， 4cos60°}的值为 5.计算：(1)3sin30°+√2cos45°； (2)sin45°-2tan30°·sin60°； (3)3tan30°-2tan45°+2sin60°+4cos60°. 知识点②由特殊角的三角函数值求角 6.若∠a为锐角，cosa=2,则∠a= ( A.30°B.45°C.60°D.90° 角的三角函数值 7.在△ABC中，∠A和∠B都是锐角，且sinA= 0sB=巨，则下列最确切的结论是 2 A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形 8当∠A为锐角，且2<cosA<号时，∠A的 取值范围是 A.0°<∠A<30 B.30°<∠A<60° C.60°<∠A<90° D.30°<∠A<45° 1 9.已知α，3均为锐角，且满足 sina2 (tan3-1)2=0,则a十3= 知识点③特殊角的三角函数的实际应用 10.(教材第10页题4变式)如图，已知在点C 处观察树的顶端A的视线与水平地面所成 的角为30°，BC=40m,则树的高度AB为 30° B 45o℃ 130° D 第10题图 第11题图 11.如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间 距CD=15√3m.在实验楼顶部B处观测教学 楼顶部A处和底部C处的角度如图所示，则 教学楼AC的高度是 m. 已课外拓展提高 -0 12.(2024盘锦模拟)若点P(sin30°，tan45°)关 于x轴的对称点为Q,点Q关于原点的对 称点为M,则点M的坐标为 ) A.(2,-1) B(-2 下册第一章 c.(-2-1) D.以上答案都不对 13.由cos60°=1 2c0s240°=7，得cos240°= c0s(180°+60°)=一c0s60°.由此猜想：当a 为锐角时，有c0s(180°+a)=一c0sa.由此 可知，c0s210°= 14.如图①，圆规两脚形成的∠α称为圆规的张 角.该圆规两脚长度均为l2cm,最大张角 为120°.用该圆规能否画出一个半径为 20cm的圆？请借助图②说明理由. 图① 图② 已综合能力提升 15.数学核心素养·推理能力在学习北师版 九上第一章时，小华同学对一个角的倍角 的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的 兴趣，并进行了研究 B A 图① 图② 【初步尝试】(1)已知tan60°= tan30°= ,则tanA 九年级数学BS版 2an(2A)(填“=”或“≠”)； 【实践探究】(2)在解决“如图①，若在 Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,求 tan(号A)的值”这一问题时，小华想构造包 含2∠A的直角三角形，延长CA到点D, 使DA=AB,连接BD,则∠D=∠A,即 转化为求∠D的正切值.请按小华的思路 求tan(A)的值； 【拓展延伸】(3)如图②，若在Rt△ABC中， ∠C=90,AC=3,anA=3,则： ①tan2A的值为 ②tan3A的值为 知识要点归纳 sina的值随∠a的增大而增大，30°，45°，60°的正弦 值依次为{，2 2,2,cosa的值随∠a的增大而减 小，80,5,60给余孩值很次为号，号，：m0 的值随∠a的增大而增大，30°，45°，60°的正切值依 k为誓1n5