三角恒等变换与三角函数小题专练-2026届高三数学二轮复习

三角恒等变换与三角函数 一、弧长、扇形面积计算 1. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用半圆的面积公式，扇形的面积公式与三角形的面积公式求解即可. 【详解】由题意可知，所以是等边三角形， 所以，, 所以扇形的面积为，的面积为， 又半圆的面积为， 所以图中阴影部分的面积为. 故选：B. 2. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过弧长公式求出大扇形半径，再结合的长度得到小扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧AB的长为， 代入弧长公式可得，解得. 所以. 由扇形面积公式可得， ， ， 所以此扇面的面积． 故选：B 3. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图1，将其裁剪成如图2的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图3，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆锥的母线、底面半径和高，再由轴截面内切圆求出内切球半径，分别求出体积，根据体积比与高之比的关系即可得解. 【详解】由题意，，则， 则圆锥母线，底面半径，高， 圆锥内能放入的最大球即为圆锥的内切球，设其半径为，轴截面如图所示， ，得， 则，而， 设水面高度为，则，得. 故选：D. 4. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正切函数定义可得，然后利用扇形面积公式求得，进而代入弧长公式求解即可. 【详解】因为终边与单位圆交于点，所以， 因为，所以， 设扇形的半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为． 故选：C． 5. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 二、诱导公式运用 6. 已知，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先将所求的式子利用诱导公式化简，再分子分母都除以就转化为求的式子的值，代入的值即可得解. 【详解】. 故选：C. 7. 已知，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式求得tanα，再利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值． 【详解】∵已知tanα，∴tanα， 则， 故选B． 【点睛】本题主要考查应用诱导公式、同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 8. 已知1，则的值是（　  　） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】利用诱导公式对化简整理求得的值，再利用同角三角函数的基本关系，对所求式子的分子乘以，然后分子分母同时除以，把的值代入即可求得答案． 【详解】 ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用和同角三角函数的基本关系的应用，考查基础知识的综合应用和基本的运算能力． 9. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据点坐标求得的值，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系式化简所求表达式为为只含的形式，由此求得所求表达式的值. 【详解】由于的终边经过点，所以.，上式分子分母同时除以得，故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查诱导公式和同角三角函数的基本关系式，考查齐次式的计算，属于中档题. 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据诱导公式以及同角三角函数的基本关系求得，再根据二倍角公式以及“1”的代换求得. 【详解】由诱导公式化简原式，得，故， 所以. 故选:B． 三、两角和差公式运用 11. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知及平方关系、和角正弦公式得，且，利用正弦函数的单调性有，进而得到的正余弦值，即可得. 【详解】因为①，②， 由①+②得，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 又函数在上单调递增，所以，即， 所以，所以. 故选：B 12. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件利用同角关系化简可得，由条件，结合两角和正弦公式可得，再根据两角差的正弦公式求出结果即可. 【详解】由题意得，即，即， 得，又因为， 所以， 因此. 故选：B. 13. 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用正弦的和角公式得，再利用诱导公式，即可求解. 【详解】因为， 即，得到， 又，所以. 故选：C 14. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用两角和差余弦公式计算化简得出，最后应用二倍角正切公式计算求解. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 则. 故选：D. 15. 已知满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，再利用正弦两角和公式展开得到，联立方程得到. 【详解】因为，所以，即 设，则； 由得到，即， 即，解得 ，所以； 故选：D 四、二倍角公式 16. 已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】利用，解出的值，再利用倍角公式可得答案. 【详解】已知，且为第二象限角， 设，，则有方程组， 消元得，解得或， 当时，；当时，， 由于为第二象限角，需满足，，故舍去的解， 因此，， 利用倍角公式计算. 故选：D 17. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的余弦公式和同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】由， 故选：D. 18. 已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用同角三角函数关系得出，再利用倍角公式计算，最后利用诱导公式计算. 【详解】因为，所以， 又， 则， ， 则， 所以. 故选：B 19. 已知，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先逆用两角和的正弦公式可得的值，再根据同角三角函数的基本关系可得的值，最后利用倍角公式即可得解. 【详解】因为 ， 又， 所以， 所以． 故选：B. 20. 角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用任意角三角函数的定义得到，，再结合二倍角公式对目标式合理变形，进而求值即可. 【详解】由题意得角的终边经过点， 由任意角三角函数的定义得， ，，则， 由二倍角公式得 ，故C正确. 故选：C 五、辅助角公式 21. 已知是函数的最小值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角化简函数的解析式，利用正弦型函数的最值、诱导公式化简可得的值. 【详解】因为， 其中为锐角，且，， 因为为函数的最小值，所以， 所以， 故，， 故. 故选：D. 22. 已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两角和的余弦公式和辅助角公式得到，由倍角公式和诱导公式得到. 【详解】， 所以，， ， 故选：D. 23. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用两角差的正弦结合辅助角公式得出，再应用诱导公式求解. 【详解】因为，所以， 所以，即， 所以； 故选：B． 24. 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由辅助角公式得到，再结合余弦二倍角公式即可求解. 【详解】， ， 故选：C． 25. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式、辅助角公式和余弦二倍角公式化简求解即可. 【详解】因为 ， 所以， 所以， 所以. 故选：D 六、和差化积与积化和差 26. 已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【详解】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B 27. 已知，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用和差化积公式及切化弦求解即得. 【详解】依题意，，则， 又，则 所以. 故选：B 28. 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【详解】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A 29. 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C 30. 已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，代入已知等式，利用两角和、差的正弦、余弦公式化简得出的值，再利用二倍角的正切公式可求得的值. 【详解】因为，所以， 即 ， ， 所以，， 因为、的终边不重合，则，则， 所以，则，所以， 因此，. 故选：D. 七、给值求值 31. 已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】应用诱导公式及同角三角函数的基本关系计算求解. 【详解】因为， 所以， 又，所以，所以， 由同角三角函数的基本关系知， 则. 故选：D. 32. 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合已知条件，利用二倍角公式可求得，再根据诱导公式计算即可. 【详解】由题意，因为，所以， 所以. 故选：A. 33. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知，进而根据计算即可. 【详解】由，得， 因为， 所以， 所以 . 故选：D 34. 已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件确定的范围，求出，再用两角差的余弦公式求出，最后借助商数关系和两角差的正弦公式对所求式子化简即得所求. 【详解】因为，所以，所以， 又，故． 因为，， 所以． 故． 故选：D． 35. 已知，且，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知求得、，结合差角正弦公式求，注意的范围，即可得. 【详解】因为且，则，所以， 又，所以，又， 所以，而 当时，， 因为，则，所以不符合，舍去； 当时，符合， 综上所述，. 故选：B 【点睛】方法点睛：（1）当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； （2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”； （3）常见的角的变换：， ， 等. 八、给值求角 36. 若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C 37. 已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】结合已知中角的特点，可得，，再根据正切值及已知中角的范围判断，的范围，得到的范围，从而求得角的大小. 【详解】，， ， ， ，，，， ，，，，， . 故选：A. 38. 已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】利用和差角公式化简已知等式，再结合已知求出，进而求出，确定的范围即可得解. 【详解】由，得， 则，而，解得， 因此，由，， 得或，则， 所以. 故选：C 39. 当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】先根据降幂扩角公式化简，再进行拆角，结合两角和差的正弦公式化简即可求出，最后根据角的范围求出即可. 【详解】因为， 所以， 所以，因 所以， 所以，即 因为，时，， 所以，则. 故选：D. 40. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知求出，再根据两角和的余弦公式求出即可得解. 【详解】由，得，所以， 又， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：D. 九、三角函数奇偶性求参 41. 已知函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定定义域，分析对数部分的奇偶性，结合的奇偶性推出正弦部分需为偶函数，利用偶函数性质列方程求解，进而得到其最小值. 【详解】先确定函数定义域：由得，定义域关于原点对称. 令，则，故是奇函数. 因为奇函数，故需为偶函数. 偶函数满足，即， 利用正弦函数性质， 得， 解得. 由，当时，取最小值. 故选：D 42. 已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型最小正周期公式，结合奇函数的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为函数为奇函数， 所以有，则， 所以， 故选：B 43. 已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】结合题意，根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，而，则， 此时， 由是图象的一条对称轴， 所以，则， 又在区间上单调，则，即，则或6， 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意； 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意. 综上所述，或6. 故选：B. 44. 已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的解析式，得和都是偶函数，然后根据偶函数的定义分析求解. 【详解】由， 得是偶函数， 因为不可能是奇函数， 所以和都是偶函数， 为偶函数，则，即， 为偶函数，则，， ，，结合选项，只有时，. 故选：C. 45. 已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 【答案】A 【分析】根据余弦函数的奇偶性求出，再根据诱导公式即可得解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，解得， 则. 故选：A. 十、由图像求三角函数解析式 46. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由图象得到，，则，再由五点法再结合单调性求出即可得到函数解析式. 【详解】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 47. 如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最值可得，根据周期可得，代入点运算可得即可得结果. 【详解】由题意可知：，解得， 设函数的最小正周期为， 则，可得， 且，则，解得，可得， 代入点可得，即， 又因为，则， 可得，解得， 所以. 故选：C. 48. 如图是函数的部分图象，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图象确定最小正周期求得，利用点的坐标求得，结合诱导公式及可判断出答案. 【详解】由图像可知, 将代入中得， 因为，故， 所以， 故选：C 49. 函数的图象如图所示，则函数y的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数的最大、最小值，算出和，根据函数图像算出周期，利用周期公式算出.再由当时函数有最大值，建立关于的等式解出，即可得到函数的表达式. 【详解】 函数的最大值为，最小值为， ， ， 又 函数的周期， ，得. 可得函数的表达式为， 当时，函数有最大值， ， 可得，结合， 取得， 函数的表达式是. 故选：. 【点睛】本题给出正弦型三角函数的图象，求它的解析式.着重考查了三角函数的周期公式、三角函数的图象的变换与解析式的求法等知识属于中档题. 50. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的图象可知，，∴，∵函数的图象经过，∴，又∵，∴，∴函数的解析式为，故选B. 点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点. 十一、三角函数平移伸缩变换 51. 已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据零点，代入可得，再利用辅助角公式化简得，再根据平移变换求解即可． 【详解】依题意，得，得， 所以， ， 了得到的图象，需要将函数的图象, 需要将函数的图象向左平移个单位长度． 故选：A． 52. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象的伸缩变换即可求解． 【详解】将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图象． 故选：A． 53. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象变换规则即可求解. 【详解】依题意，函数的图象向左平移后得到的图象，即，即的解析式为. 故选：C. 54. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最终得出函数解析式． 【详解】若把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 则需将替换为，即， 再把所得图象向右平移个单位长度，则需将替换为， 即， 最终得到的函数解析式为，故D正确． 故选：D． 55. 将正弦曲线上所有的点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题目条件求得的表达式，再根据三角函数的单调性即可求解． 【详解】由题意可得， 的单调增区间满足， 解得，结合定义域，可得， 故，所以在的单调增区间是． 故选：B． 十二、取值范围 56. 设函数在区间上恰有2个极值点､1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数的图像和性质进行求解即可. 【详解】， 若，则. 要使得在区间上恰有2个极值点、1个零点， 则，解得. 若，则. 要使在区间上恰有2个极值点、1个零点， 则，解得. 故的取值范围是. 故选：C. 57. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用的性质，利用整体代入法分别求出的单调递增和单调递减区间，然后分函数在上单调递增和递减两种情况讨论，可得和且，即可求出结果. 【详解】若函数在上单调递增， 由， 得， 所以，又， 取，得， 若函数在上单调递减， 由， 得， 所以， 又， 取，得， 所以的取值范围是， 故选：C 58. 若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题意，由，则有，求解可得的取值范围. 【详解】时，， 依题意有，解得， 则的取值范围为. 故选：D. 59. 设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过换元将视为整体，结合条件列出不等式后取交集得到的取值范围. 【详解】已知，， 当时，. 正弦函数的对称轴满足（）， 要使在内恰有三条对称轴， ，，，， 因此， 正弦函数的零点满足（）， 要使在内恰有两个零点， 则，，， 因此， 联立两式：， 解得. 故选：C 60. 已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将问题转化为在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点，结合函数的图象可得答案. 【详解】由，设； 在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点， 即在区间上有且仅有4个零点和1个最大值点. 作出的图象如图. 由在区间上有且仅有个零点，得①； 又在区间上有且仅有个最大值点，得②； 依题意需同时满足①②式，于是得， 即，解得， 故的取值范围是. 故选：A 十三、三角函数综合运用 61. 已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图像关于点中心对称 D．图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数 【答案】A 【分析】化简得，求出函数的周期即可判断A；由，可得，结合正弦函数的性质可判断B；结合图像的平移及对称中心的定义可判断C；求出平移后的解析式，结合偶函数的定义判断D． 【详解】对于A，因为 ， 所以函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，， 由正弦函数的性质可知在上先增后减，故B错误； 对于C，因为 是将函数的图象向上平移个单位得到的， 所以函数对称中心的纵坐标为，故C错误； 对于D，设图像向右平移个单位长度后所得函数为的解析式为 ， 则， 又因为， 所以不是偶函数，故D错误． 故选：A． 62. 已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 【答案】C 【分析】利用三角恒等变换将已知函数化为的形式，再结合该函数的性质逐项分析判断即可. 【详解】 . 选项A：最小正周期，故A错误； 选项B：求的单调递增区间： 令，，解得，， 所以区间包含（递增）和（递减），故B错误； 选项C：的图象向左平移个单位长度后得到： ， 为偶函数，图象关于轴对称，故C正确； 选项D：令，即， 则，，即，， 当时，；当时，； 若在区间上恰有一个零点，则， 所以实数的取值范围为，故D错误. 故选：C. 63. 已知函数，且的最小正周期为，给出下列结论： ①函数在区间单调递减； ②函数关于直线对称； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象. 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】先将函数化简为最简形式，然后利用周期求出的值，再利用正弦函数的性质进行判断即可求解. 【详解】因为函数，且的最小正周期为，所以，则. 因为，所以，则函数在单调递减，故①正确； 令，解得：，所以直线是函数的一条对称轴，故②正确； 将函数的图象上所有点向左平移个单位长度可得到，故③错误， 所以正确的结论序号为：①②， 故选：. 64. 已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．是的一个零点 D．在区间单调递减 【答案】D 【解析】利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数零点的定义逐一判断即可. 【详解】， 对于A，的最小正周期为，正确； 对于B，时，为最小值，的图象关于直线对称，正确； 对于C， 时，，是的一个零点，正确； 对于D，在区间上不是单调函数，错误， 故选：D. 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查正弦函数的周期性、对称性、单调性以及函数的零点的定义，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题. 65. 将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是 A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．在上是增函数 【答案】B 【分析】根据图像变换得出，结合其图象和性质即可选出正确答案. 【详解】的图像向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍， 得，其周期为,选项A错误；由可得对称轴方程为,当时，对称轴为，选项B正确，对称中心为,选项C错误；增区间为,  故选项D错误. 故选B. 【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，三角函数的图像变换，属于中档题. 十四、三角函数应用 66. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 67. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】首先先求以为终边的角为，再根据三角函数的定义求点的纵坐标，以及根据图形表示. 【详解】，所以对应的角是， 由在内转过的角为， 可知以为始边，以为终边的角为， 则点的纵坐标为， 所以点距水面的高度表示为的函数是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键读懂题意，并能抽象出函数关系，关键是求以在内转过的角为，再求以为终边的角为. 68. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】A 【分析】根据已知代入点计算得出解析式判断A，再根据函数值得出自变量判断B，再根据周期计算判断C，计算函数值判断D. 【详解】由题可设函数， 其中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A正确； 由A可知，点P第一次到达最高点需用时秒，B错误； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C错误； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：A 69. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据筒车的半径及轴心距水面的高度可得的值，再由每分钟转圈可得函数的，再由可得结果. 【详解】因为筒车按逆时针方向每分钟转圈，所以（s）,. 再由筒车的轴心O距水面的高度为，所以（m）. 又因为筒车的半径为2m，所以 （m），所以. 又因为以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，所以， 即，得且，所以. 故选：A. 70. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出判断AB；求出点的位置判断C；解不等式判断D. 【详解】点到水面的距离与时间之间的关系为， 对于A，依题意，，则，A错误； 对于B，由时，得，即，而，则，B错误； 对于C，，令，得， 解得，则，解得， 即盛水筒出水后至少经过秒可到达最低点，C错误； 对于D，由，得，即， 则，解得， 所以盛水筒在转动一圈的过程中，在水中的时间为秒，D正确. 故选：D 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角恒等变换与三角函数 一、弧长、扇形面积计算 1. 如图，一个扇形纸片的圆心角为，半径为2，将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2. 中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD．当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧AB的长为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 3. 已知半径为5，圆心角为的扇形铁片如图1，将其裁剪成如图2的形状并制成一个倒立的圆锥筒（如图3，含盖，且连接处损耗不计），该圆锥筒内能放入的最大球内注满了水（球厚薄忽略不计），将水倒入圆锥筒内，则水面高度为（    ） A． B． C． D． 4. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图，其平面图如图的扇形，已知该扇形面积，其圆心角为，在直角坐标系中，以为的顶点，轴正半轴为的始边，此时终边与单位圆交点，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 5. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（    ） A． B． C． D． 二、诱导公式运用 6. 已知，则（    ） A． B． C． D．2 7. 已知，则的值为 A． B． C． D． 8. 已知1，则的值是（　  　） A．1 B．2 C．3 D．6 9. 已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 A． B．1 C． D． 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 三、两角和差公式运用 11. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 12. 已知，则（    ） A． B． C． D． 13. 已知，则（   ） A． B． C． D． 14. 已知，则（    ） A． B． C． D． 15. 已知满足，则（   ） A． B． C． D． 四、二倍角公式 16. 已知，为第二象限角，则（    ） A． B． C． D．2 17. 已知，则（    ） A． B． C． D． 18. 已知，，则（ ） A． B． C． D． 19. 已知，且，则（　　） A． B． C． D． 20. 角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 五、辅助角公式 21. 已知是函数的最小值，则（    ） A． B． C． D． 22. 已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 23. 已知，则（    ） A． B． C． D． 24. 若，则的值为（    ） A． B． C． D． 25. 已知，则（    ） A． B． C． D． 六、和差化积与积化和差 26. 已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27. 已知，则（    ） A． B． C． D．1 28. 的值为（    ） A． B． C． D． 29. 已知，则（   ） A． B． C． D． 30. 已知、终边不重合，，则（    ） A． B． C． D． 七、给值求值 31. 已知，且，则的值为（ ） A． B． C．0 D． 32. 已知，则（   ） A． B． C． D． 33. 已知，则（    ） A． B． C． D． 34. 已知，则（    ） A． B． C．2 D． 35. 已知，且，，则（    ） A． B． C． D．或 八、给值求角 36. 若，且，，则（    ） A． B． C． D． 37. 已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D．或 38. 已知，，，，则（   ） A． B．或 C． D．或 39. 当，时，，则（   ） A． B．0 C． D．1 40. 已知，则（    ） A． B． C． D． 九、三角函数奇偶性求参 41. 已知函数为奇函数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 42. 已知函数的最小正周期为T，且，函数为奇函数，则（   ） A． B． C． D． 43. 已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 44. 已知函数，若存在常数，使得函数为偶函数，则可以为（  ） A． B． C． D． 45. 已知函数是偶函数，则的值为（    ） A． B．1 C．1或 D． 十、由图像求三角函数解析式 46. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 47. 如图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 48. 如图是函数的部分图象，则（　　） A． B． C． D． 49. 函数的图象如图所示，则函数y的表达式是（    ） A． B． C． D． 50. 已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 A． B． C． D． 十一、三角函数平移伸缩变换 51. 已知函数的一个零点是，为了得到的图象，需要将函数的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 52. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 53. 将函数的图象向左平移后得到的图象，则的解析式为（   ） A． B． C． D． 54. 把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到图象对应的解析式为（    ） A． B． C． D． 55. 将正弦曲线上所有的点横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 十二、取值范围 56. 设函数在区间上恰有2个极值点､1个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57. 已知，函数在上单调，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 58. 若有且仅有一个使得数取得最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 59. 设函数在区间内恰有三条对称轴、两个零点，则的取值范围是（） A． B． C． D． 60. 已知函数（），若在区间上有且仅有个零点和个最大值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 十三、三角函数综合运用 61. 已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．的图像关于点中心对称 D．图像向右平移个单位长度后的函数为偶函数 62. 已知函数，则下列说法中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递增 C．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称 D．若在区间上恰有一个零点，则实数m的取值范围是 63. 已知函数，且的最小正周期为，给出下列结论： ①函数在区间单调递减； ②函数关于直线对称； ③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象. 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 64. 已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．是的一个零点 D．在区间单调递减 65. 将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是 A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．在上是增函数 十四、三角函数应用 66. 筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 67. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明代科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车的半径为2m，筒车的轴心O到水面的距离为1m，筒车每分钟按逆时针转动2圈.规定：盛水筒M对应的点P从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，设盛水筒M从运动到点P时所用时间为t（单位：s），且此时点P距离水面的高度为h（单位：m）.若以筒车的轴心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系（如图2），则h与t的函数关系式为（    ） A．， B．， C．， D．， 68. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图2），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点从水中浮现时（图2中点）开始计时，经过秒钟后点距离水面的高度为米，则下列结论正确的是（   ） A．关于的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需用时10秒 C．从计时开始再次接触水面需用时15秒 D．当点运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 69. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用．在图2中，一个半径为2m的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车的轴心O距水面的高度为．设筒车上的某个盛水桶P（看作点）到水面的距离为d（单位：m）（若在水面下则d为负数），若以盛水桶P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为，则（   ） A． B． C． D． 70. 如图，一个半径为3米的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为1.5米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：米）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：秒）之间的关系为（，，），则（   ） A． B． C．盛水筒出水后至少经过秒就可到达最低点 D．盛水筒P在转动一圈的过程中，P在水中的时间为秒 1 学科网（北京）股份有限公司 $