专题训练7 特殊平行四边形的性质与判定-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

专题训练七 特殊平行四边形的性质与判定 (限时：45分钟) 类型〈1矩形的性质与判定 类型2菱形的性质与判定 1.如图，将一张矩形纸4 .10 3.(2025赣州南康区期中)如下图，在口ABCD E 片ABCD沿着虚线 4 中，F是对角线的交点，E是边BC的中点， EF剪成两个全等的 45. B 连接EF 四边形纸片.根据图 第1题图 (1)求证：2EF=CD. 中标示的长度与角度计算，剪得的四边形纸 (2)当EF与BC满足什么数量关系时，四边 片中较短的边AE的长是 形ABCD是菱形？请证明你的结论 2.如下图，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,E, P分别在AD,BC上，且DE=BP=1. (1)求BE和EC的长，并判断△BEC的形状. (2)四边形EFPH是什么特殊四边形？请 说明理由. (3)求四边形EFPH的面积. 4.(1)如图①，在平行四边形纸片ABCD中， AD=5,SGABCD=15,过点A作AE⊥BC, 垂足为E.沿AE剪下△ABE,将它平移至 △DCE'的位置，拼成四边形AEE'D,则四 边形AEE'D是 (2)如图②，在(1)中的四边形纸片AEE'D 的边EE'上取一点F,使EF=4,剪下 △AEF,将它平移至△DE'F'的位置，拼成 四边形AFF'D. ①求证：四边形AFF'D是菱形； ②求四边形AFF'D的两条对角线的长. 下册专题训练 93 6.(教材变式)如右图，线段EG, FH都与正方形ABCD的对角 线交于点O,且EG⊥FH.求 图② 证：四边形EFGH是正方形 7.如下图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分 线交BC于点E,EF⊥AD于点F,DG⊥ 类型3正方形的性质与判定 AE于点G,DG与EF交于点O 5.如下图，在正方形ABCD中，E是边BC上 (1)求证：四边形ABEF是正方形， 一点，在BC延长线上取点F使EF=ED, (2)若AD=AE,求证：AG=AB. 过点F作FG⊥ED交ED于点M,交AB (3)在(2)的条件下，若AB=1,求OD的长， 于点G,交CD于点N. (1)求证：△CDE≌△MFE. (2)若E是BC的中点，请判断BG与MG 的数量关系，并说明理由. 94 数学八年级RJ版.∠DCB+∠DAB+∠D+∠B=360°，∠D=∠1 =55°， ∴.∠DCB=125°，∴.∠DCB=∠DAB, ∴.四边形ABCD是平行四边形 6.证明：(1)，BE=CF,∴.BE+EC=CF+EC, ∴.BC=EF. (AB=DE. 在△ABC和△DEF中，{AC=DF, BC=EF, .∴.△ABC≌△DEF(SSS). (2)由(1)可知，△ABC≌△DEF, ∴∠B=∠DEF,∴.AB∥DE. AB=DE,.四边形ABED是平行四边形. 7.解：(1)证明：，EF∥AD,∴.∠FEC=∠ADC. （∠FEC=∠ADC, 在△FCE和△ACD中，CE=CD, ∠FCE=∠ACD, ∴.△FCE≌△ACD(ASA),.EF=DA, ∴.四边形ADFE是平行四边形. (2)由(1)可知，四边形ADFE是平行四边形， .∴.DF=AE=5. .AB=AC,AD L BC,.'.CD=BD=2, .∴.CE=CD=2,∴.DE=2CD=4. EF∥AD,.EF⊥BC,∴.∠DEF=90°， .EF=√DF2-DE=√5-4F=3, ∴.CF=√CE+EF=√22+32=√13. 专题训练七特殊平行四边形的 性质与判定 1.3 2.解：(1)，四边形ABCD是矩形， ∴.AD∥BC,AD=BC=5,CD=AB=2,∠BAD ∠ADC=90°. DE=BP=1,.AE=5-1=4. 在Rt△ABE和Rt△DEC中，由勾股定理，得BE= √JAB2+AE=√22+4=2√5，EC=√CD+DE √22+1下=√5. .BE2+CE2=25=BC2. ∴.△BEC为直角三角形. (2)四边形EFPH为矩形.理由如下： .'AD//BC.AD=BC,ED=BP=1,..AE=PC, ∴.四边形APCE,四边形DEBP均为平行四边形， ∴.APCE,BE∥PD, ..四边形EFPH为平行四边形. 由(1)可知，∠BEC=90°， .□EFPH为矩形. (3)由(2)可知，四边形EFPH为矩形， .∠EHP=∠EFP=90°，∴.BE⊥AP,DP⊥EC 在Rt△ABP中，AB=2,BP=1, ∴AP=√AB2+BP=√22+1下=5， ..BH=AB.BP_2X1_2/5 AP √5 5 六EH=BE-BH=25-25_85 5 5 在Rt△HBP中，由勾股定理，得PH=√BP一B --2-. 3.解：(1)：在☐ABCD中，F是对角线的交点，BF= FD,即F是边BD的中点， :E是边BC的中点，∴EF是△BCD的中位线， EF=7CD,即2EF=CD (2②)当EF=BC时，四边形ACD是菱形.证明如下， 由(I)可知，EF=2CD,BC=CD. .四边形ABCD是平行四边形， .四边形ABCD是菱形. 4.解：(1)矩形 (2)①证明：：AD=5,SDANCD=AD·AE=15, ∴.AE=3. 在Rt△AEF中，AE=3,EF=4, AF=32+4=5,AD=AF=5. .F'F=E'E=BC.AD//BC.AD=BC. AD∥F'F,AD=FF, .四边形AFF'D是平行四边形. 又AD=AF, .四边形AFF'D是菱形. ②如图，连接AF',DF. 在Rt△AEF'中，AE=3,EF'=EF+FF'=4+5=9, ∴AF'=√32+9=3√10. 在Rt△DE'F中，DE'=3,E'F=EE'-EF=5-4 =1, ∴.DF=√3+1严=√10. 5.解：(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠DCE=90°. :FG⊥ED,∴.∠FME=90°， .∴.∠DCE=∠FME :∠CED=∠MEF,ED=EF, .△CDE≌△MFE(AAS). (2)BG=MG. 理由：如图，连接EG 由(1)可知，△CDE2△MFE,.ME=CE. ,E是BC的中点，BE=CE,∴BE=ME. ,四边形ABCD是正方形，∴.∠B=90° 下册参考答案 31 FG⊥ED,∴.∠EMG=90 在Rt△BEG和Rt△MEG G (EG=EG. 中，BE=ME, ∴.Rt△BEG≌Rt△MEG (HL),.'BG=MG. 6.证明：，四边形ABCD是正方形， ∴.OB=OC,∠AB0=∠BCO=45°，∠BOC=90°= ∠COH+∠BOH. EG⊥FH,∠BOE+∠BOH=90°， ∴.∠BOE=∠COH, .△BEO≌△CHO(ASA), .OE=OH.同理可证OE=OF=OG, ..OE=OF=OG=OH 又：EG⊥FH,∴四边形EFGH是菱形 .OE+OG=OF+OH,EG=FH, .四边形EFGH是正方形 7.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAF=∠B=90° 又：EF⊥AD,∴.∠AFE=90, .四边形ABEF是矩形. AE平分∠BAD, ∴.EF=EB. ∴.四边形ABEF是正方形 (2)证明：，AE平分∠BAD ∴.∠GAD=∠BAE. DG⊥AE,.∠AGD=90°=∠B. C∠GAD=∠BAE. 在△AGD和△ABE中，{∠AGD=∠B, AD=AE, .∴.△AGD≌△ABE(AAS), .∴.AG=AB. (3)由(1)可知，四边形ABEF是正方形， .AB=BE=AF=1,∠DAG=45°， ∴.∠FDO=90°-∠DAG=45. 由(2)，得△AGD≌△ABE, .∴.GD=BE=AB=AG=1, ∴.AD=√GD+AG=√2， ∴.DF=AD-AF=2-1. EF⊥AD,.∠OFD=90°，∴.∠FDO=∠FOD =45°， ∴.OF=DF=√2-1，.OD=√OF2+DFz=2-√2， 专题训练八特殊四边形中的分类讨论 1.C【解析】动点P,Q的运动时间为16÷1=16(s).动 点P到达点C的时间为21÷3=7(s),∴.分以下两种 情况讨论：①当四边形PCDQ为平行四边形时，PC= 5 21-31,DQ=16-t,.16-1=21-31,解得1=2： ②当四边形CPDQ为平行四边形时，CP=3t一21，DQ 32 数学八年级RJ版 =16-131-21=16-1,解得1-8识综上所述，当： 5 .37 =2或时，以点P,C,D,Q为顶点的四边形是平行 四边形 2.6√3或√57或6【解析】E是BC的中点，∴.BE= 2BC=6.分以下三种情况讨论： ①当点P在BA上时，BP=BE=6,如图①， 作BH⊥PE于点H,则PH=EH. ∠ABC=120°， .∠BPE=∠BEP=30°. 在R△BEH中，BH=BE=3, ∴EH=√62-32=35， ∴PE=2EH=65; ②当点P在AD上时，BP=PE,如图②， 作BG⊥AD于点G,PF⊥BE于点F,则BF=EF= 3,四边形GBFP为矩形 :四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC ∠ABC=120°，.∠A=60. 在RIAABG中，AG=2AB=4,BG=V尽-不- 4V3,.PF=4√3. 在Rt△PEF中，PE=√32+(43)2=√57； ③当点P在CD上时，如图③，PE=BE=6. 综上所述，PE的长为6√3或√57或6. 图① 图② 图③ 3.2√5或3或√4红【解析】四边形ABCD为矩形， ∴.∠ABC=∠ADC=90°.在Rt△ABC中，AC= √AB2+BC=√4+8=45.如图①，当点P位于 AC的中点处时，B即=2AC=号×45=2后.如图@， 当点P位于BC上时，设BP=x,则AP=CP=8一x. 在Rt△ABP中，根据勾股定理，得AB2+BP2=AP2, 即42+x2=(8-x)2,解得x=3,即BP=3.如图③， 当点P位于AD上时，设AP=y,则PD=8-y,CP =y.在Rt△PDC中，根据勾股定理，得PD2+DC2= PC2,即(8-y)2+4=y2,解得x=5,∴.BP= √AB+AP=√4+5=√/4T. 图① 图② 4.解：(1)(-5，-3) (2)①(-5，-1) ②：点Q到y轴的距离为4个单位长度， 点Q在OA或BC上.