专题训练2 二次根式的应用&专题训练3 利用勾股定理解决最短路径问题-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

F+3√+√F+√=2√x+4√. 12.解：(1)√10-3 (2)m-√n-I (3)原式=(W2-1+5-√2+√4-√3+…+√/2026 -2025)(/2026+1) =(√2026-1)（√2026+1） =2025. 13.解：原式=y6+3)+3(3+2) (6+√3)(W3+√2) 6+5 3(5+√2) (√6+√5)(3+√2)'(6+√3)(5+√2) 1 3 √5+√2√6+√5 =√5-√2+√6-3 =√6-√2. 14.解：原式=5+6)+(6+ (5+√6)(6+7) 5+6 √6+√7 (5+√6)(6+√7)(5+√6)(W6+√7) 1 =万-6+-5=万-5. =后+厅5+6 专题训练二二次根式的应用 1.解：x2-3y+5y=10+2√5， .x2-3y-10+√5y-2√5=0， .(x2-3y-10)+(y-2)5=0. :x,y都是有理数， ∴.x2-3y-10和y-2都是有理数。 又5是无理数， ∴y-2=0,x2-3y-10=0,解得y=2,x=士4. 当x=4,y=2时，x十y=6; 当x=-4,y=2时，x十y=-2. 故x+y的值是6或-2. 2.解：(1)53 (2)7x-9+√2x=-5y+√2y+3√2， ∴.7x-9+√2x=-5y+2(y+3). x,y是有理数， ·7-9一5解得=2： x=y十3， y=-1. 3.解：(1)√5(x-2)<35,∴x-2<3, ∴.x<5. (2)3x-2√6>6x十√3，√3x-√6x>3+26, .(W3-√6)x>5+2√6. 5-6<0, x<8+26 5-√6 .x<-5-3√2. 28 数学八年级RJ版 1 x 4.解：整理不等式组，得 1-2 x+5>3x+3, 解得>-1-√2. x<1, .-1-√2<x<1, ∴.不等式组的整数解为一2，一1,0. 专题训练三利用勾股定理解决 最短路径问题 1.解：(1)如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形 ACBD,则长方形的对角线AB的长为最短路径.由题 意，得AC=3dm,BC=4dm. 由勾股定理，得AB=√32+4=5(dm). 故葛藤绕树盘旋的最短路程是5dm. D B D 图① 图② (2)如图②，同(1)得到长方形ACBD,则由题意得AC =8 dm,AB=10 dm. 由勾股定理，得BC=√102-82=6(dm), ∴.葛藤绕树1圈升高6dm. 若绕树10圈到达树顶，则树干的高为10×6=60(dm). 2.解：将长方体的两个面展开，连接AB. 分三种情况： ①如图①，AB=√BD+AD=√12+6=6√5： ②如图②，AB=√AE+BE=√102+82=2√4T: ③如图③，AB=√AC2+BC=√16+2=2√/65. 2√4I<65<2√/65， ∴.蚂蚁需要爬行的最短距离是241」 B C 10 10 图① 图② 图③ 3.解：(1)如图，作点A关于1的对称点A',连接A'B,交 !于点P,P即为所求的点 A' E (2)由对称性，得PA十PB的最小值为线段A'B的长。 如图，过点A'作A'E⊥BD,交BD的延长线于点E.在 Rt△A'BE中，A'E=CD=800m,BE=BD+DE= BD+CA'=BD+AC=400+200=600(m), ∴.A'B=√AE2+BE=√800+600=1000(m), ∴.PA十PB的最小值为1000m. 专题训练四利用勾股定理解决折叠问题 1.6 2.解：(1)45 (2)由折叠的性质，可知∠DEC=∠AEC=90°，BF= B'F=1, ∴.∠EFC=180°-∠DEC-∠ECF=45°=∠ECF, ..EF=CE=4,..BE=EF+BF=4+1=5. 在Rt△BCE中，由勾股定理，得BC=√BE+CE?= 52+4=√4红. 设AE=x,则AB=x十5. :在Rt△ACE中，AC2=AE2+CE,在Rt△ABC 中，AC2=AB2-BC2, ..AE2+CE2=AB2-BC2, 即x2+4=(x+5)2-41,解得x=5 16 AE=16 16. 41 ，AB=AE+BE=写+5=5， Se=名AB.CE=×号×4=号 1 1、41、 3.C【解析】设CF与DE交于点O,如图. D 将△CDF沿CF折叠，点D落在点 G处， ∴.GO=DO,CF⊥DG,∴.∠FOD=90°. ,四边形ABCD是正方形， .AD=CD=12,∠A=∠ADC=90°， ∴.∠CFD+∠FCD=∠CFD+∠ADE=9O°， .∠ADE=∠DCF. ∠A=∠FDC, 在△ADE和△DCF中，AD=DC, ∠ADE=∠DCF, ∴.△ADE≌△DCF(ASA),.AE=DF=5,CF=DE =VAD+AE=√12+5=13. :Sae=2DF·CD=2CF·OD,2X5X12= 2X13·0D, .D0= 60 =G0,∴.GE=13-2×13-i3 6049 13 4.解：设AM=x, 连接MB,MB',如图所示 :四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°，AB=AD=CD =16. B'C=3,.DB=13. 在Rt△ABM中，AB+AM=BM. 在Rt△MDB'中，MD2+DB2=B'M. 由折叠的性质，得MB=MB', ..AB2+AM=MD2+DB'2, 即162+x2=(16-x)2+132, 解得x=即AM=2 169 5.解：(1)四边形ABCD是长方形， ∴∠D=∠C=∠B=∠DAB=90°，AD=BC, ∴∠DAF+∠EAF=90°. 由折叠的性质，得∠FAB'=∠C=90°，∠B'=∠B= 90°，AB'=CB. AD=AB',∠D=∠B,∠B'AE+∠EAF=90°， ∴∠DAF=∠B'AE. 在△ADF和△AB'E中， ∠D=∠B', AD=AB', ∠DAF=∠B'AE, ∴.△ADF≌△AB'E(ASA). (2)78【解析】(2)由折叠的性质，得AF=CF.设AF =CF=x,DF=DC-CF=18-x. 在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2, .122+(18-x)2=x2, 解得x=13. .△ADF≌△AB'E, .AF=AE=13, 1 六S△=2AE·AD=2X13X12=78. 专题训练五勾股定理中的思想方法 1.C【解析】设CD=x,CE=y. .AD,BE是△ABC的中线 ∴.BC=2CD=2x,AC=2y. 在Rt△BCE中，BC2+CE2=BE2, .4x2+y2=35.① 在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2, .4y2+x2=25.② ①+②，得5y2+5.x2=60, ∴y2+x2=12, .4y2+4x2=48. 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC?=√4x+4y2= 43. 2.A 3.解：将长方体的侧面展开，如图所示. :AA'=1+3+1+3=8(cm),A'B' B =6cm, ,.AB'=√AA+AB=10cm, ∴用一根细线从点A开始经过4个 侧面缠绕1圈到达点B,所用细线最短需要10cm.如 果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么 所用细线最短时，其长度的平方是(8n)2+62=64n +36. 4.解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2√3，BC=2, .由勾股定理，得AB=√(2√3)2十22=4. 下册参考答案专题训练二 二次根式的应用 (限时：30分钟) 类型〈1与方程结合 (2)已知x,y是有理数，并且满足等式7x一 1.已知x,y都是有理数，且满足x2一3y十 9+√2x=-5y+√2y+3√2，求x,y的值. √5y=10+25,求x+y的值. 类型③与一元一次不等式结合 3.解不等式： (1)5(x-2)<35. (2)3x-2√6>6x+3. 类型(2与二元一次方程组结合 2.先阅读下面材料，再解答问题. 已知a,b是有理数，并且满足等式5一√7a =26+2 -a,求a,b的值. 3 类型(4与一元一次不等式组结合 解：5-7a=26+27 3 -a, 4.求不等式组 1-2)x<1,的整数解. 2√7 x+5>3(x+1) ∴.5-√7a=(2b-a)+ 3 a,b是有理数， 2 2b-a=5, a=- 3, 2 解得 -a=3' 13 b=61 (1)已知a,b是有理数，a+3√2=5+√2b, 则a= ,b= 下册专题训练 87 专题训练三 利用勾股定理解决最短路径问题 (限时：30分钟)》 类型1圆柱中的最短路径问题 类型2长方体中的最短路径问题 1.葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争 2.如下图，长方体的长为10，宽为8，高为6，点 夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还 B与点C的距离为2，一只蚂蚁沿着长方体 有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是 的表面从点A爬到点B.求蚂蚁需要爬行的 沿着最短路线.难道植物也懂得数学吗？阅 最短距离。 读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆 柱形)： (1)如下图，若树底面的周长为3dm,从点A 绕1圈到点B,葛藤升高4dm,则它绕树盘 旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为8dm,葛藤绕树1圈 的路程是10dm,则绕树1圈升高多少分米？ 若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少 分米？ 类型3平面中的最短路径问题 3.如下图，小区A与公路l的距离AC=200m, 小区B与公路l的距离BD=400m.已知 CD=800m,现要在公路旁建造一利民超市 P,使超市P到A,B两小区的路程之和最短. (1)请在图中画出点P,并写出画法 (2)求PA+PB的最小值. B 88 数学八年级RJ版