第19章 19.3 二次根式的加法与减法·-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（人教版·新教材）

19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 要点提示 1.被开方数相同的二次根式：个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同 2.二次根式的加减运算：先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并. O1固基础之 知识点(3二次根式加减法的应用 知识点1被开方数相同的二次根式 7.等腰三角形的两条边长分别为2√3和5√2， 那么这个三角形的周长为 () 1.下列二次根式中，能与√2合并的是 A.4 B.⑧ A.45+52 C.√12 D.√6 B.23+10√2 2.下列式子中，化简后不能与√ab(a>0,b> C.43+52或23+10√2 0)合并的是 ( D.4√3+10√2 lab A.4 B.a C.√ab2 D. P易错点 错误运用合并法则 ab 8.计算：√/18+√27+√50 3.如果√m与√24可以合并，那么m的最小正 整数值是 解：原式=3√2+3√3+5√2第一步 知识点2二次根式的加减 =8√2+33第二步 4.下列计算结果正确的是 =(8十3)√/2+3第三步 A.√6+√5=3 B.2+√2=22 =11√5. 第四步 D.I8-8-1 (1)以上解答过程中，从第 C.32-√2=22 步开始出现错误 5.计算：11+√5|+11-√51= (2)请写出本题的正确解答过程. 6.计算： (1)(2025赣州信丰期中)√45-√20+ 3 (2)√98+√⑧-√32. 02 提能力 9.已知x, +2 2 十√18x=10,则x的值 为 ( A.4 B.±2 C.2 D.士4 下册第十九章 10.对于正数m,n,定义一种新运算：m※n= 15.已知实数a,b,c满足(a-√8)2+√b-5+ √m-√n(m≥n), 计算(3※2)+(8※12) |c-3√2|=0. √m+√n(m<n). (1)求a,b,c的值. 的结果为 (2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？ A.5+√2 B.23 若能构成三角形，请说明理由并求出其周 C.√2+33 D.√3-√2 长；若不能构成三角形，请说明理由. 11.如图，若a十√12=27，则表示实数a的 点会落在数轴的 ) ① ④ 第11题图 A.①段上 B.②段上 C.③段上 D.④段上 12.如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行2 O3拓思维心 个单位长度到达点B.若点A表示的数为 16.新定义题规定：若a+b=2,则称a与b是 一√2，点B表示的数为m,则|m一1|十 关于1的“平衡数” (m十2)2= (1)若3与x是关于1的“平衡数”，5一√2 B 与y也是关于1的“平衡数”，求x,y 2寸012 第12题图 的值. (2)若m+2n一2√3-√3m=0,m,n至少 13.化简：√一a3 a 1 有一个是有理数，判断m+√3与5n一√3是 否是关于1的“平衡数”，并说明理由. 14先化简，再求值：(6、任+多可) F+36),其中x=8y=27. (4y 数学八年级RJ版 第2课时二次根式的混合运算 要点提示 在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用， 念O1固基础念 (2)(2025上饶余干期中)（√8+√3）×√6- 知识点1二次根式的混合运算 42 1.计算√/14×√7-√2的结果是 ( A.7 B.6√2 C.7√2 D.2√7 2.计算(6月-2v丽)÷(-后的结果为 A.5 B.-5C.7 D.-7 (3)(2+√3-√6)（√2+3+6） 3.计算： (1)(50-√3×√6)÷√2. (4)√2×√6-(5√48-427)÷23+(23 +1)2. (2)(212+3√48-4√75)÷√3-（√2）2. 易错点滥用运算律 知识点2二次根式与乘法公式的综合运用 4.已知a=√3+2，b=√3-2，则a2-b2的值 7.小明计算2÷(- 3 4 )时，想起分配 为 律，解答的过程如下： A.12√5 B.0 C.83 D.43 解：原式=21÷1 =37 5已知a=5+E.6=巨-5则日+名的值 4 0 -47=-√7. 为 他的解法正确吗？若不正确，请写出正 6.计算： 确的解答过程 (1)(2025上饶广信区期中)(2√48-3√24) ÷√6. 下册第十九章 02提能力 15.利用平方根去根号可以用一个无理数构造 一个整数系数方程.例如：a=√2十1时，移 8.32X 十√20÷√2的结果在 项，得a-1=√2，两边平方，得(a-1)2= A.10到11之间 B.9到10之间 (2)2,所以a2-2a+1=2,即a2-2a-1 C.8到9之间 D.7到8之间 =0.仿照上述方法解答下面的题目. 9.已知x+1=7(0<x<1),则元-二的值 已知a-5求： 为 ( (1)a2+a的值. A.-√7B.-5C.7 D.√5 (2)a3-2a+2026的值. 10.按如图所示的程序运算，若输入数字3，则 输出的结果是 ×(3+V2) 输入一3一V2大于以 输出 否x(3-V2) 第10题图 A.3√2-1 B.3-52 C.6√2-3 D.5-4√2 11.计算（√/10-3）226（√/10+3）2025的结果为 …… O3拓思维) 16.创新意识(1)定义新运算：对于任意实数 a,b,都有a①b=a(a+b)-1.例如：2①5 12.解方程√3(x+1)=√2(x-1)的结果为x =2×(2+5)-1=13.求(-3)⊕7的值. (2)请你模仿(1)定义一种新运算，使得实 13.若3一√2的整数部分为a,小数部分为b, 数3-2√2和3十2√2的运算结果为2026. 则代数式(2+√2a)b的值是 写出你定义的新运算，并写出计算过程. 14.(教材变式)已知x=1一√2，y=1十√2，求 x2+y2-xy-2x十2y的值. 数学八年级RJ版之、是大于1的整数，即3越小，n越大，当 300 =2时， 300 n =4,∴n=75,即n的最大值为75. 9 3 16.解：不正确.原式=√×(25×反)=2× (25)-}×24=6. 17.解：，AB=8m,AC=7m,BC=9m, 六2=8+7+9-12(m. 2 ∴.S=√/12×(12-8)×(12-7)×(12-9) =√/12×4×5×3=125(m2). 故张大爷这块菜地的面积为12√5m2. 第2课时二次根式的除法 1.B2.33 /54 3.解：1)原式=√6 =5=3」 0.76 (2)原式=√0.19 =√4=2. 4.A5.B 6.(1)33 3 、8 7 (2)2(3)7 7.C 8.解：(1)原式=8√/15×3÷5=8×3=24. (2)原式=7×232 33X379 9.B10.1(答案不唯一) 1.A【银折1-“-万-…g b b b =a2=(2)2=2. 12.B【解析】ab>0,a+b<0a<0,b<0√6 a =-b,∴.等 式①③成立，等式②不成立. 13.9【解析】：最简二次根式“/3a+b与√a-b可以 合并， ∴.2a-4=2,3a+b=a-b,解得a=3,b=-3,.2a -b=2×3-(-3)=9. 14.2√2【解析】设这个长方体的宽为xcm.根据题意， 得3/10×2√/15x=120√3，解得x=2√2.故这个长 方体的宽为2√2cm. 15.一√一y【解析】由题意，得x<0,y<0,小x√ -y x 2 16.解：D原式=3X3XV45÷×8 =2X√/600=2 3 数学八年级RJ版 ×W/100X6=20√6 2 5 (②)原式=8x(-日)×2x√/×15x=-×5 15 =一 4 7.解：原式=10c2X5x品·Vd·名号 1 ·ab a s10 3 ab vab 当ab=3时，原式=103. 18.解：(1)55-√5 √3-1 (2)原式= √5-3 (5+1)(3-1)(5+√5)(5-√5) √7-5 十…十 (√7+√5)(7一√5) √2n+1-√2n-I (√2n+I+√2n-I)(√2n+1-√2m-I) √3-1 5-3 +万-5 2 2 2 十… +2n+I-2m- 2 =2n+1-1 2 19.3二次根式的加法与减法 第1课时二次根式的加减 1.B2.C3.64.C5.25 6.解：(1)原式=3v5-25+5=45 33 (2)原式=7√2+22-4√2=52. 7.B 8.解：(1)三 (2)原式=3√2+3√3+5√2=82+3W3. 9.C【解析】由已知得√2x+√2z+3√2x=10, ∴5√2x=10,.√2x=2,∴.2x=4,解得x=2. 10.C【解析】原式=5-√2+√8+√12=√3-√2+ 22+23=√2+33. 11.B【解析】a=√27-√12=3√3-2√3=√5.：1< √3<2，∴B选项符合题意. 12.√2+3 181-a)。【解折1v云-aN日 -a√-a+√-a=(1-a)√-a. 14.解：原式=6√/xy+3√y-(4√xy+6√xy) =(6+3-4-6)√/xy =-√xy. y=27时，原式=√合×27=9号 当x=3 2 15.解：(1)(a-√8)2≥0，b-5≥0，lc-3√2|≥0，且 (a-√8)2+√b-5+|c-3√2|=0， .a-√8=0，b-5=0,c-3√2=0， ∴.a=√8=2√2，b=5,c=3√2. (2)能.理由如下： a<c<b,a+c=2√2+3√2=5√2,5√2>5， ∴能构成三角形. 其周长为a+b+c=5√2+5. 16.解：(1)根据题意，知3+x=2,5-√2+y=2, .x=-1,y=-3十√2. (2)不是.理由：①当m和n均为有理数时， m+2n-2√3-√3m=0, .∴.m十2n=0,-2-m=0, 解得m=-2,n=1. 当m=-2,n=1时，m十√3+5n-√3=-2+3+5 一√3=3≠2， ∴.m+√3与5n一√3不是关于1的“平衡数” ②当m和n中一个是有理数，另一个是无理数时，有 m+√3+5n-√3=m+5n, 而此时m十5n为无理数， 故m+5n≠2， ∴.m十3与5n一√3不是关于1的“平衡数”. 综上，m十√3和5n一√3不是关于1的“平衡数”. 第2课时二次根式的混合运算 1.B2.A 3.解：(1)原式=(5√2-3√2)÷√2=22÷√2=2. (2)原式=(43+125-20√5)÷5-2=-4√5÷ √3-2=-4-2=-6. 4.C5.-22 6.解：(1)原式=2√8-3√4=4√2-6. (2)原式=⑧+丽-4×=45+82-2,2 43+2. (3)原式=（√2+√3）2-（√6）2=5+2√6-6=2√6 -1. (④)原式=25-(-2)+13+45=25 10+6+13+4√3=9+63. 7.解：不正确.正确的解答过程如下： 原式=厅÷（传）=语=12 8.D9.B10.D 11.√10-3【解析】原式=（√10-3）5·（√/10-3）· (√/10+3)2025=[（√/10-3）（√/10+3）]25·（√/10 -3)=√/10-3. 12.-5-2√6【解析】由V3(x+1)=√2(x-1),得(W3 -√2)x=-√3-√2， “x=-B+2 (5+√2)2 =-(3+ √3-√2(3-√2)(5+√2) √2)2=-(5+2√6)=-5-2√6. 13.2【解析】，1<√2<2， .1<3-√2<2， .a=1,b=3-√2-1=2-√2， ∴.(2+√2a)b=(2+√2)(2-√2)=2. 14.解：x=1-√2，y=1+√2，∴.x-y=(1-2)-(1 +√2)=-2√2，xy=(1-√2)(1+√2)=1-2=-1. 原式=x2+y2-2xy-2x+2y+xy=(x-y)2-2(x -y)+xy=(x-y)(x-y-2)+xy=(-2√2)X (-2√2-2)-1=8+4V2-1=7+4√2. 6移项得+号-9 15.解：1)a=5-1 两边平方得。+a+}号。+a=1 (2)a2+a=1,a2-1=-a, .a3-2a+2026=a3-a-a+2026=a(a2-1)-a +2026=a·(-a)-a+2026=-a2-a+2026= -(a2+a)+2026=-1+2026=2025. 16.解：(1)原式=-3×(-3十7)-1=-13. (2)示例：对于任意实数a,b,都有ab=ab十2025. (3-2√2)￥(3十22)=(3-22)×(3+2√2)+ 2025=32-(2√2)2+2025=9-8+2025=2026. 本章小结 1.C2.B3.B4.C5.D6.9(答案不唯一) 7.1【解析】根据题意，得一2026≥0， 解得x=2026, 2026-x≥0， 则y=0,x=2026°=1. 8.解：原式=√(x+4)7-2√(x-1)7=|x+4|-2引x-1. -4<x<1, .x+4>0,x-1<0, .原式=x十4十2x-2=3x+2. 9.D10.A11.A12.3y2 2 2,6=6+1 13.D【解标】：4=5-1.6 21 b-5号×1-1+6-6号+5出 2 2 =5. :s,=1+=+-=5, a b ab S,=a+2ab+62_a+b) a2b2 a'6=(W5)2=5, 下册参考答案