第3章 3 简单的图案设计&问题解决活动：最短距离-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1, .△ABC≌△A1BC1,∠A1BA=30°， ∴.A1B=AB=6,∴.△A1BA是等腰三角形 如图，过点A,作A,D⊥AB于点 1 D,则AD=2AB=3, ∴.SAA,A= 2 ×6×3=9. 1 又：Sm酯=S△A,M十S△A,K1一S△BC，S△A, =S△ABC· ∴.S阴影=SAA,M=9. 13.解：(1)证明：，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转 90得到△ADE, .AC=AE,∠AED=∠C,∠CAE=90°， ∴.∠C=∠AEC=∠AED=45°， .∠DEC=90°，∴DE⊥BC. (2)由(1)可知，△AEC是等腰直角三角形，DE ⊥BC. .AC=3√2，∴.AE=32,∴.EC=6, ∴.BE=BC-EC=1. 由旋转可知，DE=BC=7, ∴.BD=√BE+DE=√I+49=5√2 14.5√3【解析】连接AN,AM,以点A 为圆心，AM为半径作圆，反向延长 AN与圆A交于点M',如图. △ADE绕点A旋转，∴.点M是在 以点A为圆心，AM为半径的圆上 运动.：AM十AN≥MN,.当点M D M 旋转到点M',即M,A,N三点共线B 且点A在线段MN上时，MN的值最大，最大值为 M'N的长.，△ABC和△ADE都是等边三角形，点 N,M分别为BC,DE的中点，AB=6,AD=4, ,∴.AN⊥BC,AM⊥DE,BN=3,DM=2.在Rt△ABN 中，由勾股定理，得AN=√AB2-BN=3√3.在 Rt△ADM中，由勾股定理，得AM=√AD-DM产= 2,√5.根据旋转的性质，得AM'=AM=2√3，.M'N =AN+AM'=5√3，即MN的最大值为5√3. 第2课时旋转作图 1.A 2.D【解析】如图，P,P,为一组对应点，线段PP,的垂 直平分线为直线BD,N,N,为一组对应点，线段 NN,的垂直平分线与直线BD交于点D,∴旋转中心 是点D. 8 数学八年级BS版 3.解：(1)如图，△A'B'C即为所求 (2)连接AA'如图所示.Sac=2X6X3=9. 4.解：示例：将△A,B,C1先向上平移4个单位长度，再 向右平移3个单位长度，最后绕点C,顺时针旋转90 即可使△A1B1C1重合到△A2B,C2上 5.解：(1)补全图形，如图所示. (2)证明：由旋转的性质得∠DCF= 90°，.∠DCE+∠ECF=90. D :∠ACB=90°，∴∠DCE+∠BCD= 90°，.∠ECF=∠BCD.EF∥DC,.∠EFC十 ∠DCF=180°，∴.∠EFC=90°.在△BDC和△EFC (DC=FC. 中，∠BCD=∠ECF,∴.△BDC≌△EFC(SAS), BC=EC. ∴.∠BDC=∠EFC=90° 第3课时中心对称 1.A2.√133.D 4.解：如图所示的即为这三个图形关于点O成中心对称的 图形 5.16.A7.12 8(49,2) 【解析】A(0,0),B(1,0),△AP,B是 等腰直角三角形，且∠P,=90,P,(分，)月 :△APB与△CP,B关于点B成中心对称 P(受-)同理可得，B()卫（号 -）,P.(号，)…设m为自然数当n为奇数 2n一1 时，P,（”2, 是)；当”为偶数时， P.(0,故点Pm的坐标为(4，》 3简单的图案设计 1.B2.B3.60°（答案不唯一） 4.解：(1)既是轴对称图形，又是中心对称图形 (2)设计的图形如图①、图②所示（答案不唯一）. 图① 图② 5.D6.45°90° 7.解：如图即为所求图形. ☆问题解决活动：最短距离 1.正确【解析】如图，任取其他位置修桥A: P,Q,(垂直于河岸)，连接AP,cPP CQ:BQ. 、Q .AP∥BQ,AC=PQ, Q .CQ可看作由AP平移所得， :.AP=CQ, ..AP+PQ+QB=AC+CQ+BQ=AC+CB. 同理AP,=CQ1,AC=P,Q1, ..AP+PQ+QB=AC+CQ+QB. :△BCQ1中，CQ1+Q1B>BC, ..AC+CQ+Q B>AC+BC, :.AP+PQ:+QB>AP+PQ+QB, 原示意图是正确的. 2.解：如图所示，将点A向下平移至 点F,使AF的长等于河宽，将点 B向右平移至点G,使BG的长等 于河宽，连接GE',D'F.由平移 作图易得，BE=GE',AD=D'下，BE G 当G,E',D',F四点共线时，GE'+D'E'+D'F有 最小值，即此时AD十D'E'+EB的路程最短. :A,B两处在东西方向上相距64m,南北方向上相 距84m,且河宽为4m, ∴.点G与点F的东西距离为64一4=60(m),南北距 离为84-4=80(m), .点G与点F的直线距离为√602+802=100(m), ,.这个最短距离为100十4十4=108(m). 3.解：点E,F的位置如图所示.理 由如下： 将点A向东平移MN的长度得 到点A',作点A'关于直线l的对 称点A”,连接A"B交直线I于点 F,在直线l上任取一点F',连接A'F,A"F',BF'.连 接A'F,将A'F向西平移MN的长度得到AE. 由作图可得，EF=MN,A'F=AE=A"F,A'F'= A"F 要求AE+BF的最小值，即求A'F'十BF'的最小值. A"F十BF≥A"B,当点A”,F',B在同一条直线 上时，A'F'十BF'取得最小值，即点F'与点F重合时， AE+BF最小，故点E,F即为所求， 4.解：(1)如图①，作点A关于直线1 的对称点A',连接BA'交CD于 点P, D 则点P即为所求的“将军饮马”的爵 位置. .... 作A'E⊥BD交BD的延长线于 图① 点E, 则由题易得AE∥CD,A'C∥DE,AC=A'C. ·平行线间的距离相等， .'DE=A'C=AC=300 m,A'E=CD=900 m, ∴.BE=BD+DE=1200m. 由勾股定理得，A'B=√AE2+BE=√9002+1200 =1500(m), 则PA+PB=A'B=1500m, ∴.“将军饮马”问题中的最短路径长为1500m. (2)310 (3)如图②，作点B关于x轴的对称点B',连接AB' 交x轴于点P,则点P即为所求.此时，PA十PB的值 最小. y A。、4 3 B -5-4-3-2-112345 -2h B -3 图② :B(4,2),点B与点B关于x轴对称， .B(4,-2),PB=PB', ..PA+PB=PA+PB'. B'(4,-2),A(-2,4) ∴.AB=V√(4+2)+(-2-4)7=6√2， ∴PA十PB的最小值为6√2. 【解析】(2)如图③，连接BP,BE. ,正方形ABCD的边长AB=9,DE =2CE, ..BC=CD=AB=9,DE=6,CE= 3,∠ACB=∠ACD=45°， 图③ .BE=√BC+CE=√81+9=3√I0. 又CP=CP, ∴.△BCP≌△DCP(SAS). .BP=DP, ∴.PE+PD=PE+PB≥BE, 当P,B,E三点共线时，PE+PD有最小值，最小 值为BE的长， .PE+PD的最小值为3√I0. 下册参考答案 03简单的图案设计 要点提示 判别图形的变换方式：图形的变换方式主要有轴对称、平移、旋转，一般要利用轴对称图形、中心对称图形的性 质来解决问题。 图案设计的一般步骤：(1)确定设计图案的表达意图：(2)分析设计图案所给定的基本图形；(3)对基本图形综合 运用平移变换、旋转变换和轴对称变换，力求设计的图案形式清晰、寓意明确 O1固基础之 公☒ 知识点1分析图案的形成过程 图① 图② 图③ 图④ 1.(教材变式)如图所示的是一个镶边的模板： 02提能力 下列基本图形中，可通过一次平移得到该模 5.如图，该图案在设计思路中没有体现的变换 板图案的是 方式是 A.旋转 第1题图 B.中心对称 00 90 C.轴对称 B 0 D.平移 A 第5题图 6.如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三 2.对下图的变化顺序描述正确的是 角形，点C在AE上.△ABC绕着点A逆时 A.轴对称、旋转、平移 针旋转 后能够与△AED重合. B.轴对称、平移、旋转 将图①作为“基本图形”绕着点A逆时针连 C.平移、轴对称、旋转 D.旋转、轴对称、平移 续旋转 可得到图②. 静 带快 第2题图 第3题图 3.如图，这个图案绕着它的中心旋转a(0°<a 图① 图② 第6题图 <360°)后能够与它本身重合，则α可以为 7.下图所示的是某图案的一部分，请你运用旋 (写出一种情况即可). 转变换的方法，在平面直角坐标系中将该图 知识点2设计图案 形绕原点顺时针依次旋转90°，180°，270°，并 4.如图所示的正六边形均是由6个相同的小 画出它在各象限内的图形， 等边三角形拼成的，将其部分涂黑.观察图 ①、图②的特征，回答下列问题： (1)图①和图②共同的特征是 (2)请你在图③、图④中设计出与图①、图② 特征相同的图形. 下册第三章 55 ☆问题解决活动：最短距离 要点提示 最短距离：找到一个固定线段的位置，使得从一点到另一点的距离最小，具体方法包括：(1)对称点法，将一个，点 关于直线作对称，点，然后利用两，点之间线段最短的原理来找最佳位置.(2)平移法，将一个，点沿直线平移，然后 利用线段最短的原理来找到最佳位置： O1固基础 02提能力◆ 知识点最短距离 3.如下图，军营A和军营B在河岸1的同一 1.在村庄A和村庄B之间有一 侧，将军骑马从军营A到河岸（上的点E 条河流，河岸m平行于河岸n, 处，沿河岸向东遛马至点F处后骑马去军 为了出行方便，村民决定在河 营B,遛马的距离EF同图中MN的长度， 流上建造一座桥PQ(桥梁垂直第1题图 遛马点E,F如何设置才能使军营A到点E 于河岸建造)，使得A,B两个村庄间的行走 与军营B到点F的距离之和最短？请画出 路径最短.上面是村民在纸上所画的示意 示意图，并说明原因. 图，图中AP∥BQ,AC=PQ,则此示意图是 →东 的（填“正确”或“不正确”）. B 2.如右图，护城河在CC处 D 直角转弯，宽度保持4m. 从A处往B处，经过两 E 座垂直于河岸的桥：B DD',EE'.设护城河是东西一南北方向，A, B两处在东西方向上相距64m,南北方向上 相距84m.若有一条路可使从A处往B处 的路程最短，求这个最短距离， 56 数学八年级BS版 O3拓思维)之 (2)如图④，在正方形ABCD中，AB=9,点 E在CD边上，且DE=2CE,P是对角线 4.项目式学习“将军饮马”问题探究与拓展。 AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”这句诗 让我们想到了有趣的“将军饮马”问题：将军 从A地出发到河边L饮马，然后再到B地军 (3)如图⑤，在平面直角坐标系中，A(一2， 营视察，怎样走路径最短？ 4),B(4,2).请在x轴上确定一点P,使PA 十PB的值最小，并求出PA十PB的最 【数学模型】如图①，A,B是直线1同旁的两 个定点.在直线1上确定一点P,使PA十 小值. PB的值最小 【问题解决】如图②，作点A关于直线1的对 B 称点A',连接A'B交l于点P,则点P即为 -4-3-2-1 1234x 所求.此时，PA十PB的值最小，且PA十 PB=PA'+PB=AB 图④ 图⑤ ·B A CP D 图① 图② 图3 【模型应用】 (1)如图③，经测量得A,B两点到河边1的 距离分别为AC=300m,BD=900m,且 CD=900m.请计算出“将军饮马”问题中的 最短路径长 下册第三章