第1章 3 直角三角形-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 要点提示 直角三角形的定理：(1)直角三角形的两个锐角互余.(2)有两个角互余的三角形是直角三角形， 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方， 勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形 互逆命题与互逆定理：(1)互逆命题，在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条 件，那么这两个命题称为互逆命题；如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题.(2)互 逆定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定 理，这两个定理称为互逆定理， O1固基础) 角形的是 A.a=b=2,c=2 知识点1直角三角形的性质 B.∠A=∠B+∠C 1.跨物理学科如图，平面 C.(b+c)(b-c)=a2 镜MN放置在水平地 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 面CD上，墙面PD⊥ C M O N 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACBD CD于点D.一束光线 第1题图 =90°.若AB=15,则正方形 AO照射到镜面MN上，反射光线为OB,点 E( ADEC和正方形BCFG的面 B在PD上.若∠AOC=35°，则∠OBD的 积和为 度数为 第4题图 A.35° B.45°C.55° 5.(教材变式)如下图，AB∥DE,ED垂直于 D.65° BD,垂足是D,且∠BAC=∠DCE.求证： 2.如下图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平 △ACE是直角三角形. 分∠ABC交AC于点D,AP平分∠BAC 交BD于点P.若∠BDC=58°，求∠BAP 的度数. 知识点3互逆命题与互逆定理 6.下列定理中，没有逆定理的是 A.两直线平行，内错角相等 B.全等三角形的对应边相等 知识点2勾股定理及其逆定理 C.对顶角相等 3.(2025抚州临川区月考)△ABC的三边分别 D.直角三角形的两个锐角互余 为a,b,c,下列条件不能使△ABC为直角三 7.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是 命题（填“真”或“假”） 下册第一 章 (2)∠CFE与∠CEF相等吗？请说明 〉易错点未考虑全面而出错 理由 8.已知直角三角形的两条边长分别为3， 4,则第三条边长为 02提能力之 9.△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)2+ √2a-b-3+|c-3√2|=0，则△ABC是 O3拓思维念 ( 13.如图，在△ABC中，AB=BC,OC=8,AO A.等腰三角形 B.直角三角形 =4,B0=6. C.锐角三角形 D.等腰直角三角形 (1)求AC的长. 10.(2025盐城月考)如图，△ABC中，D为 (2)若D是射线OB上的一个动点，作DE AC的中点，CE⊥AB于点E.若AD=3, ⊥AC于点E,DE交直线BC于点F,连接 AE=5,则CE= ( ) OE,OF,如图②.若S△oBF：S△oCF=1· A.3B.4 C.11 D.√13 4,求BD的长。 A B 图① 图② 备用图 第10题图 第11题图 11.（教材变式)如图所示的是一个棱长为3cm 的正方体，把所有的面均分成3×3个小正 方形，其边长都为1cm.假设一只蚂蚁从下 底面点A沿表面爬行至侧面的点B,最少 要爬 cm. 12.如下图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为 边AB上的高，BE平分∠ABC,分别交 CD,AC于点F,E. (1)若∠CEF=50°，求∠A的度数. 14 数学八年级BS版 第2课时直角三角形全等的判定 要点提示 斜边、直角边定理(L):斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等， 判定两个直角三角形全等的方法：直角三角形是特殊的三角形，斜边、直角边定理(HL)是判定直角三角形全等 的特殊方法，一般三角形全等的判定方法对于直角三角形同样适用，因此判定两个直角三角形全等共有五种方 法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL. O1固基础之 的是 A.两个锐角分别对应相等 知识点1用“HL”判定直角三角形全等 B.两条直角边分别对应相等 1.如图，O是∠BAC内一点，且点O到AB, C.一条直角边和斜边分别对应相等 AC的距离相等(OE=OF),则直接判定 D.一个锐角和斜边分别对应相等 △AEO≌△AFO的依据是 6.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于 A.HL B.AAS C.SSS D.ASA 点E,BE=BC.如果AC=6,那么AD+DE B 第1题图 第2题图 2.如图，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC.要根 第6题图 据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF,还需要 7.如下图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC= 添加的一个条件是 ( 90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上， A.AE=DF B.∠A=∠D 且AE=CF. C.∠B=∠C D.AB=DC (1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF. 3.如图所示，点O在一块直角三角板ABC上 (2)若∠CAE=30°，求∠ACF的度数. (∠ABC=30),OM⊥AB于点M,ON⊥ BC于点N.若OM=ON,则∠ABO的度数 为 AD P B C 第3题图 第4题图 4.如图，MN∥PQ,AB⊥PQ,点A,D和B,C 分别在直线MN与PQ上，点E在AB上. 若AD十BC=7,AD=EB,DE=EC,则 AB= 知识点2直角三角形全等的判定综合 5.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等 下册第一章 15 02提能力 8.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，F是高 AD和BE的交点，CD=4,则线段DF的长 为 ( A.2√2 B.3√2 C.4√2 D.4 ……心O3拓思维之… 13.推理能力如图，在△ABC中，BD是AC 边上的高，已知∠A=2∠CBD (1)如图①，求证：AB=AC 第8题图 第9题图 (2)点E是AD上一点，∠ABE=∠CBD. 9.如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD= ①若BD=DE=1,如图②，求CD的长； CA,过点D作DE⊥BC交AB于点E.若 ②延长AB至点F,使得CF=BE,如图 AB=5,DE=2,则BE的长为 ( ③.求证：∠F=3∠CBD. A.2 B.3 C.4 D.5 D D 10.(教材变式)如图，某游乐园有两个长度相 等的滑梯BC,EF,左边滑梯的高度AC与 右边滑梯水平方向的长度DF相等，CG平 图① 图② 图③ 行于地面BF.若DF=3m,AB=4m,则 EG的长度为 m. 第10题图 第11题图 11.如图，CA⊥AB,垂足为A,AB=8,AC= 4,射线BM⊥AB,垂足为B.一动点E从 点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 射线AN运动，D为射线BM上一动点，始 终保持ED=CB.当点E的运动时间为 时，△BDE与△ABC 全等（点E与点A重合的情况除外）. 12.如下图，在四边形ABCD中，∠D=90°， AE⊥BC于点E,点F为CD上一点，连接 AF,AB=AF,BE=DF. (1)求证：AE=AD (2)若BC=17,DF=6,则CF 的长为 16 数学八年级BS版又AB=4,.OA=2AB=8. 在Rt△OAB中，由勾股定理，得OB =√OA-AB=43. ∠ADC=90°，∴.∠CDO=90° .∠O=30°，CD=2,∴.OC=2CD=4. .∴.BC=OB-OC=43-4. 1.尽【解析】如图，过点B作BH ⊥CD于点H,.∠BHD=90° D是边AC的中点，∴.AD=CD. 由折叠，知CD=C'D,∠CDB=∠C'DB,∴.AD= C'D.'AD=AC',.C'D=AD=AC',△ADC‘是 等边三角形，∴.∠ADC'=60°，∴∠CDB=∠CDB =60,∠DBH=30.BD=3..DH=2BD= 2在Rt△BHD中，由勾股定理，得BH= 3 vm-丽=-()-8. 12.解：(1)如图，延长ED交BC于点F,延长AD交BC 于点H. :∠EBC=∠E=60, ∠EFB=60° :AB=AC,AD平分∠BAC, .AH⊥BC,即∠AHC=90°， H ∴.∠HDF=30°， ∴.∠ADE=∠HDF=30° (2)由(1)知∠EBC=∠E=∠EFB=60°， ∴△BEF是等边三角形，EF=BF=BE=8. BC=10,∴.FC=BC-BF=10-8=2. .'AB=AC,AD平分∠BAC, 1 BH=CH=2BC=5.HF=5-2=3. 在Rt△DHF中，∠HDF=30°， .DF=2HF=6,.ED=EF-DF=8-6=2. 故ED的长为2cm. 13.解：(1)证明：如图，过点M作MQ∥BC,交AC于点Q. :△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60° :MQ∥BC,∴.∠AMQ=∠B= 60°，∠AQM=∠ACB=60°， ∠QMP=∠N, ∴.△AMQ是等边三角形， ∴.AM=QM. AM=CN,∴.QM=CN. 在△QMP和△CNP中， ∠QPM=∠CPN, {∠QMP=∠N, QM=CN, ∴.△QMP≌△CNP(AAS),.MP=NP. (2)△AMQ是等边三角形，MH⊥AC,∴.AH HQ. .△QMP≌△CNP,∴.QP=CP, ∴PH=HQ+QP=2AC. AB=AC=a..PH-74. 1 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C 2.解：∠C=90°，∠BDC=58°， ∴.∠DBC=90°-∠BDC=32° BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠DBC=64°. 在Rt△ABC中，：∠C=90°， .∠BAC=90°-∠ABC=26°. AP平分∠BAC, ·∠BAP=2∠BAC=139. 3.D 4.225【解析】正方形ADEC的面积为AC2,正方形 BCFG的面积为BC2. 在Rt△ABC中，AB=15, .AB2=AC2+BC2=152=225, .正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225. 5.证明：ED⊥BD,.∠CDE=90°，.∠CED+ ∠DCE=90°.，∠BAC=∠DCE,.∠CED+ ∠BAC=90°.又AB∥DE,∴.∠BAC+∠CAE+ ∠DEC+∠AEC=180°，.∠CAE+∠AEC=90°， △ACE是直角三角形. 6.C7.假8.5或√79.D 10.C【解析】，D为AC的中点， .AC=2AD=6. CE⊥AB, ∴.CE=√AC2-AE=√62-5=√I. 11.5【解析】爬行路径分三种情况进行讨论：如图①， 从底面→右面，AB=√3+(2+2)=5(cm);如图②， 从前面→右面，AB=√22+(2十3)=√29(cm); 如图③，从底面→后面，AB=√22+(2+3)产= √29(cm).:5<√29，∴.最少要爬5cm. 图① 图② 图③ 12.解：(1)：∠ACB=90°，∠CEF=50°，∴∠CBE= 40°.BE平分∠ABC,∴.∠ABC=80°，∴.∠A= 180°-90°-80°=10°. 下册参考答案 (2)∠CFE=∠CEF.理由如下：：∠ACB=90, .∠CBE+∠CEB=90°.CD⊥AB,.∠EBA+ ∠BFD=90°.又：BE平分∠ABC,.∠CBE= ∠EBA,.∠CEB=∠BFD..·∠BFD=∠CFE, .∠CEB=∠CFE,即∠CFE=∠CEF」 13.解：(1)AB=AO+BO=10,∴.BC=AB=10. OC=8,B0=6,∴.OC2+B02=100=BC2, ∴.△OBC是直角三角形，且∠COB=90°， ∴.∠C0A=90°. 在Rt△AOC中，AC=√AO+OC=4√5. (2)分两种情况讨论： ①当点D在线段OB上时，：S△oBr:S△w=1:4, .BF:CF=1:4,.BF:BC=1:3.BC=10, BF=10 3 BC=BA,∴∠A=∠BCA.DE⊥AC,∴∠CEF =∠AEF=90°，∴.∠EDA+∠A=∠EFC+∠BCA =90°，∴.∠EDA=∠EFC.∠EDA=∠BDF, &∠BDF=∠ERC,BD=BF=S: ②当点D在线段OB的延长线上时，如图. SAOBF SAOCF=1:4,BF CF =1:4,∴.BF:BC=1:5. .BC=10,∴.BF=2. 同理可得∠D=∠DFB, ∴.BD=BF=2. 综上所述，BD的长为号或2。 第2课时直角三角形全等的判定 1.A2.D3.15°4.75.A6.6 7.解：(1)证明：，∠ABC=90°，∴.∠CBF=∠ABE= (AE=CF, 90°.在Rt△ABE和Rt△CBF中， AB=CB. ,∴.Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). (2)AB=CB,∠ABC=90°，∴.∠CAB=∠ACB= 45°，∴.∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°. 由(1)知，Rt△ABE≌Rt△CBF .∠BCF=∠BAE=15°，.∠ACF=∠BCF+ ∠ACB=15°+45°=60° 8.D 9.B【解析】连接CE,如图 DE⊥BC,∠A=90°， .∠A=∠CDE=90°. 在Rt△CAE和Rt△CDE中， (CE=CE, AC=DC, ∴.Rt△CAE≌Rt△CDE(HL), ,∴.AE=DE=2 AB=5,.BE=AB-AE=5-2=3. 6 数学八年级BS版 10.1 11.2s或6s或8s【解析】设运动时间为ts.根据题意， 可分为以下三种情况讨论： ①当点E在线段AB上运动，且BE=AC=4时，结 合ED=CB可知，Rt△BDE≌Rt△ABC,此时AE =AB-BE=8-4=4,∴.1=4÷2=2； ②当点E在射线BN上运动，且BE=AC=4时，结 合ED=CB可知，Rt△BDE≌Rt△ABC,此时AE =AB+BE=8+4=12,∴.t=12÷2=6; ③当点E在射线BN上运动，且BE=AB=8时，结 合ED=BC可知，Rt△BED≌Rt△ABC,此时AE =AB+BE=8+8=16,.t=16÷2=8. 综上所述，当点E的运动时间为2s或6s或8s时 △BDE与△ABC全等. 12.解：(1)证明：在Rt△ABE和Rt△AFD中， AB=AF,:.R△ABE≌R△AFD(HL)· BE=FD, ..AE=AD. (2)5【解析】(2)如图，连接AC. .BC=17,BE=DF=6. ∴.CE=BC-BE=11. 在Rt△AEC和Rt△ADC中， (AE=AD, AC=AC, .Rt△AEC≌Rt△ADC(HL), .CD=CE=11, .CF=CD-DF=11-6=5. 13.解：(1)证明：，BD是AC边上的高， ∴.∠ADB=∠BDC=90°， ∴∠ABD+∠A=∠CBD+∠C=90°. :∠A=2∠CBD, ∴.∠ABD+2∠CBD=∠CBD+∠C. :∠ABD+∠CBD=∠ABC, ∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠C, ∠ABC=∠C, ∴.AB=AC. (2)①：BD是AC边上的高， .∠ADB=90° BD=DE, ∴.∠BED=∠EBD=45°. '∠A=2∠CBD,∠CBD=∠ABE,∠DEB=∠A +∠ABE=45°， ∴.∠DEB=2∠ABE+∠ABE=45°， ∠ABE=15°，∠A=30. BD=1, ..AB=2BD=2, ∴.AD=√AB2-BD=3. .AB=AC=2. ∴.CD=AC-AD=2-3. ②证明：如图，过点C作CG⊥AB, D 垂足为G. E 1 1 :SAAx=zAB·CG= AC. BD.AC=AB. .BD=CG. .BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CGF(HL), .∠F=∠DEB ∠A=2∠CBD,∠CBD=∠ABE, ,∴.∠DEB=∠A+∠ABE=2∠CBD+∠CBD= 3∠CBD, .∠F=3∠CBD 4线段的垂直平分线 第1课时线段垂直平分线的性质与判定 1.C2.C 3.解：(1)20 (2).∠C=90°，∠A=30°，∴.∠ABC=60°. DE是线段AB的垂直平分线，∴.EB=EA, ∴.∠ABE=∠A=30°，.∠CBE=30°， BE=2CE.设CE=x,则BE=2x,∴.BC= √/BE2-CE=5x,∴.3x+√5x=15+5√5，x=5, .CE=5,BC=5√3，EA=EB=10,.AC=CE+EA =15.△ABC的面积=AC·BC=75,日 1 2 4.A5.无数 6.证明：如图，连接AC. ,MN垂直平分BC,∴.AB=AC. :AB=AD,∴.AC=AD, 点A在CD的垂直平分线上 7.B8.C9.3 10 10.41°【解析】如图，连接OA,OC, OD.:OE,OF分别垂直平分 AC,BD,..OA OC,OB =OD, ∴.∠OBD=∠ODB.在△ABO和A △CDO中， (OA=OC. ROB=OD, AB=CD. .△ABO≌△CDO(SSS),∴.∠ABO=∠CDO.设 ∠OBD=∠ODB=a,∠ABO=∠CDO=B,则 ∠ABD=a+B=120°，∠CDB=3-a=38°，∴.a= 41°，即∠OBD=41°. 11.解：(1)：D是边BC的中点，DE⊥BC, ∴.PB=PC,.∠PBC=∠PCB. :BP平分∠ABC,∴∠PBC=∠ABP, .∠PBC=∠PCB=∠ABP. ∠A=60°，∠ACP=24°， .∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP =180°-60°-24°=96°， 即3∠ABP=96°，∴∠ABP=32°. (2)由(1)知∠PBC=∠PCB=∠ABP=n°. ∠A=60°，∠ACP=m°， ∴.∠PBC+∠PCB+∠ABP=180°-∠A-∠ACP =180°-60°-m°，即3n°=(120-m)°，.m+3n =120. 12.解：1)：AB=AC,∠A=40,∠B=2(180°- ∠A)=70°.又：MN垂直平分AB,.∠BMN=90 -70°=20°. (2)由(1)可知，∠B=号(180°-∠A)=55 又：MN垂直平分AB,∴.∠BMN=90°-55°=35°. (3)规律是∠BMN=号∠A.证明：设∠A=a,则有 ∠B-z180-a.∠BMN=90-2180-） 1 =2 第2课时尺规作图和三角形三边垂直 平分线的性质 1.C2.18 3.证明：如图，连接CP l是CA的垂直平分线，∴AP=CP ∴∠A=∠ACP. 同理，得∠B=∠PCB. :∠A+∠ACP+∠B+∠PCB =180°， .∠ACP+∠PCB=90°， 即∠ACB=90°，.△ABC是直角三角形. 4.B5.55° 6.解：如图所示. 由题意，得AD⊥BC,BD=CD= ×8=4,AB=10,∴.AD=√AB2-BD √102-4=22I. 7.A8.C9.(-2,-1) 10.解：(1)DE⊥PD.理由如下：PD=PA,.∠A= ∠PDA.:EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED, ∠B=∠EDB.∠C=90°，∴.∠A+∠B=90°， ∠PDA+∠EDB=90°，.∠PDE=180°-90°= 90°，.DE⊥PD. (2)连接PE,如图. .AC=3,PA=1,..PC=2,PD=PA=1. 设DE=x,则BE=DE=x,CE=4-x.∠C= 下册参考答案