第1章 2 等腰三角形-【支点·同步系列】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

:A0平分∠EAB,∴∠OAB=专∠EAB=54 :CG平分∠DCF,∠DCG=2∠DCF=36. ∴.∠BC0=∠BCD+∠DCG=108°+36°=144°， .∠AOC=360°-（∠BAO+∠B+∠BCO)=360°- (54°+108°+144°)=54°， .∠A0G=180°-∠A0C=180°-54°=126° 7.解：(1)14 (2)设∠BPC=2x,.以∠BPC为内角的正多边形的 360°180° 边数为180°-2x-90°-x 以∠APB,∠APC为内角的正多边形的边数均 为360 180°-2+360°-2+ :会标的外轮廓周长C是g0-x x 360°-2=180+720 一6 x 90°-xFx 180° 根据题意可知90°一 360 与 均为整数，x的值只能 为30°，45°，60°，72. 180° .7209 当x=30°时，C=90°-30+30° -6=21: 180° ,720 当x=45时，C=90°-45十45 -6=14: 180° 1720° 当x=60时，C=90°=60+60° -6=12: 180° ,720° 当x=72°时，C=90°-72+72°-6=14. 综上所述，当x=30时，周长最大，此时会标的外轮廓 周长是21. 2等腰三角形 第1课时等腰三角形和等边三角形的性质 1.C 2.解：CA=CB,∠CBA=∠CAB=2(180°-∠1) =74°.a∥b,∴.∠2=∠CBA=74°. 3.35°4.45.D 6.证明：，△ABC是等边三角形， .∴.AB=CA,∠BAC=∠ACB=60°， ∴.∠EAB=∠DCA=120°. (AE=CD, 在△EAB和△DCA中，∠EAB=∠DCA, AB=CA, .∴.△EAB≌△DCA(SAS),∴.AD=BE 7.40°或140°8.D9.78° 10.4【解析】在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC, .CD=BD,SAABC=2SAABD ∴2AC·BF=2X2AB,DE, .AC=AB,DE=2...BF=2DE=4. 11.解：(1)证明：：△ABC和△EDC均为等边三角形， ∴.BC=AC,CD=CE,∠B=∠ACB=∠DCE =60°， ∴.∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE, .∠BCD=∠ACE. 在△BCD和△ACE中，BC=AC,∠BCD=∠ACE, CD=CE, ∴.△BCD≌△ACE(SAS),∴.∠B=∠CAE. 又∠B=∠ACB, ∴.∠CAE=∠ACB,∴.AE∥BC. (2)当点D运动到AB的中点时，BC⊥EC. 理由：，△ABC为等边三角形，D为AB的中点， .CD⊥AB,∠BDC=90°，∴∠BCD=30°， ∴.∠BCE=∠BCD+∠DCE=30°+60°=90°， .BC⊥EC 12.解：(1)猜想：∠BAD=2∠CDE.证明如下： 设∠B=x,∠ADE=y. AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠C=x. :∠AED=∠ADE,∴∠AED=y, ∴.∠CDE=∠AED-∠C=y-x,∠DAE=180° ∠ADE-∠AED=180°-2y, ∴.∠BAD=180°-∠B-∠C-∠DAE=180°-x x-(180-2y)=2(y-x), .∠BAD=2∠CDE. (2)∠BAC>25°，∠BAD=25°， ∴点D不在BC的延长线上，故可分为以下两种情 况：①当点D在线段BC上时，如图①，此时点E在 CA的延长线上或线段AC上，则∠ADE=∠AED, ∠ADE'=∠AE'D, ·∠ADE+∠ADE'=∠AED+∠AE'D. 又：∠ADE+∠ADE'+∠AED+∠AE'D=180°， ∴.∠ADE+∠ADE'=∠AED+∠AE'D=90. 由1知，∠CDE=g∠BAD=12,5 .∠CDE=90°+12.5°=102.5°； ②如图②，当点D在CB的延长线上时，点E在CA 的延长线上或AC的延长线上.同(1)的方法得 ∠BAD=2∠CDE',∴.∠CDE=12.5°.同理可得 ∠EDE'=90°，.∠CDE=77.5 综上所述，∠CDE的度数为12.5°或102.5°或 77.5°. B 图① 图② 下册参考答案 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.D2.A 3.D【解析】，AB=AC,.△ABC是等腰三角形， ∴.∠B=∠C. 又∠B=36°，.∠BAC=108°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠DAE-∠EAC=108°-36°-36 =36°， ∴.∠BAD=∠DAE=∠EAC=∠B=∠C=36°， ∴.△ADB,△ACE是等腰三角形，∠ADE=∠BAD十 ∠B=72°，∠AED=∠EAC+∠C=72°，∠BAE=72°， ∠CAD=72°， ∴.∠ADE=∠AED=∠BAE=∠CAD=72°， ∴.△ADE,△ABE,△ACD是等腰三角形. 综上所述，图中等腰三角形共有6个. 4.解：BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴.∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD. 'EF∥BC,.∠CBD=∠EDB,∠BCD=∠FDC, ∴.∠EBD=∠EDB,∠FCD=∠FDC, .BE=DE.CF=DF. ∴.C△AEF=AE+AF+EF=AE十AF+DE+DF= AE+AF+BE+CF=24,AB+AC=24, ..CAADC =AB+AC+BC=24+14=38. 5.B6.∠B>90° 7.解：≠=≠平角为180°≠8.C9.C 10.解：(1)证明：AB=AC,∠ABC=∠4. BD平分∠ABC,.∠1=∠2 CE=CD,∴∠3=∠E :∠4=∠3+∠E=2∠E,∠ABC=∠1+∠2= 2∠2， ∴∠2=∠E, ∴.BD=ED,即△BDE为等腰三角形. DH⊥BE,H为BE的中点. (2)当∠A=90时，AD=HC.证明如下： 根据题意可知，在△ABD和△HBD中， ∠1=∠2， ∠A=∠DHB, BD=BD. ∴.△ABD≌△HBD(AAS),.AD=DH. ,AB=AC,△ABC为等腰直角三角形， .∠4=45. :∠DHC=90°，∴△DHC为等腰直角三角形， .DH=HC,..AD=HC. 11.解：(1)证明：.|n一6|+(m+2)2=0,.n一6=0， m十2=0，解得n=6,m=-2,.OB=2=OC. AO⊥BC,∴AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. (2):点D的坐标为(-6,0)，n=6, ..OD=6=0A. :∠DOF=∠AEF=90°，∠DFO=∠AFE, 数学八年级BS版 ∴.∠FDO=∠CAO. :∠DOF=∠AOC,DO=AO,∠ODF=∠OAC, .∴.△FOD≌△COA(ASA), .OF=OC=2,.点F的坐标为(0,2). (3)点M的坐标不发生变化.理由 如下：如图，过点P作PN∥AB交 A BC于点N, .∠PNO=∠ABO, BM/ ∠BQM=∠NPM. /NO C ∠ABC=∠ACB, ∴∠PNO=∠ACB, Q ∴.PN=PC.PO⊥NC,∴ON=OC. CP=BQ,∴.PN=BQ. .'∠BQM=∠NPM,∠BMQ=∠NMP,BQ=NP, ∴.△BQM≌△NPM(AAS),∴.BM=NM, ·oM= 2BC=2,点M的坐标不发生变化. 第3课时等边三角形的判定 与含30°角的直角三角形 1.C 2.证明：CD平分∠ACB,∠ACB=120°， ∴.∠BCD=∠ACD=60°，∠ACE=60. AE∥DC, ∴.∠CAE=∠ACD=60°，∠E=∠BCD=60°， .∴.∠ACE=∠CAE=∠E=60°， .△ACE是等边三角形. 3.A 4.D【解析】：AB=AC,∠A=60°，∴△ABC是等边 三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠CED+∠CDE =60°.EC=CD,.∠CED=∠CDE=30°. ,△ABC是等边三角形，AE=CE,.BE平分 ∠ABC,.∠ABE=∠CBE=∠CDE=30°，..BE= DE,∠BFD=90°，∴.DE=BE=2EF=4,∴.DF= DE+EF=6. 5.46.7.2 7.解：AB=AC,∠B=∠C=30°， ∴.∠BAC=180°-2X30°=120°. DA⊥BA,.∠BAD=90°， .∠CAD=120°-90°=30°， ∠CAD=∠C,∴AD=CD. 在Rt△ABD中，，∠B=30°，∠BAD=90°， ∴.BD=2AD, .BC=BD+CD=2AD+AD=3AD. BC=6cm,∴.AD=2cm. 8.22.59.C 10.4√3-4【解析】如图，分别延长AD,BC交于点O. 在△AB0中，∠B=90°，∠A=60°， ∴.∠0=30°. 又AB=4,.OA=2AB=8. 在Rt△OAB中，由勾股定理，得OB =√OA-AB=43. ∠ADC=90°，∴.∠CDO=90° .∠O=30°，CD=2,∴.OC=2CD=4. .∴.BC=OB-OC=43-4. 1.尽【解析】如图，过点B作BH ⊥CD于点H,.∠BHD=90° D是边AC的中点，∴.AD=CD. 由折叠，知CD=C'D,∠CDB=∠C'DB,∴.AD= C'D.'AD=AC',.C'D=AD=AC',△ADC‘是 等边三角形，∴.∠ADC'=60°，∴∠CDB=∠CDB =60,∠DBH=30.BD=3..DH=2BD= 2在Rt△BHD中，由勾股定理，得BH= 3 vm-丽=-()-8. 12.解：(1)如图，延长ED交BC于点F,延长AD交BC 于点H. :∠EBC=∠E=60, ∠EFB=60° :AB=AC,AD平分∠BAC, .AH⊥BC,即∠AHC=90°， H ∴.∠HDF=30°， ∴.∠ADE=∠HDF=30° (2)由(1)知∠EBC=∠E=∠EFB=60°， ∴△BEF是等边三角形，EF=BF=BE=8. BC=10,∴.FC=BC-BF=10-8=2. .'AB=AC,AD平分∠BAC, 1 BH=CH=2BC=5.HF=5-2=3. 在Rt△DHF中，∠HDF=30°， .DF=2HF=6,.ED=EF-DF=8-6=2. 故ED的长为2cm. 13.解：(1)证明：如图，过点M作MQ∥BC,交AC于点Q. :△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠ACB=60° :MQ∥BC,∴.∠AMQ=∠B= 60°，∠AQM=∠ACB=60°， ∠QMP=∠N, ∴.△AMQ是等边三角形， ∴.AM=QM. AM=CN,∴.QM=CN. 在△QMP和△CNP中， ∠QPM=∠CPN, {∠QMP=∠N, QM=CN, ∴.△QMP≌△CNP(AAS),.MP=NP. (2)△AMQ是等边三角形，MH⊥AC,∴.AH HQ. .△QMP≌△CNP,∴.QP=CP, ∴PH=HQ+QP=2AC. AB=AC=a..PH-74. 1 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C 2.解：∠C=90°，∠BDC=58°， ∴.∠DBC=90°-∠BDC=32° BD平分∠ABC, ∴.∠ABC=2∠DBC=64°. 在Rt△ABC中，：∠C=90°， .∠BAC=90°-∠ABC=26°. AP平分∠BAC, ·∠BAP=2∠BAC=139. 3.D 4.225【解析】正方形ADEC的面积为AC2,正方形 BCFG的面积为BC2. 在Rt△ABC中，AB=15, .AB2=AC2+BC2=152=225, .正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225. 5.证明：ED⊥BD,.∠CDE=90°，.∠CED+ ∠DCE=90°.，∠BAC=∠DCE,.∠CED+ ∠BAC=90°.又AB∥DE,∴.∠BAC+∠CAE+ ∠DEC+∠AEC=180°，.∠CAE+∠AEC=90°， △ACE是直角三角形. 6.C7.假8.5或√79.D 10.C【解析】，D为AC的中点， .AC=2AD=6. CE⊥AB, ∴.CE=√AC2-AE=√62-5=√I. 11.5【解析】爬行路径分三种情况进行讨论：如图①， 从底面→右面，AB=√3+(2+2)=5(cm);如图②， 从前面→右面，AB=√22+(2十3)=√29(cm); 如图③，从底面→后面，AB=√22+(2+3)产= √29(cm).:5<√29，∴.最少要爬5cm. 图① 图② 图③ 12.解：(1)：∠ACB=90°，∠CEF=50°，∴∠CBE= 40°.BE平分∠ABC,∴.∠ABC=80°，∴.∠A= 180°-90°-80°=10°. 下册参考答案2等腰三角形 第1课时等腰三角形和等边三角形的性质 要点提示 等腰三角形的定理1：等腰三角形的两底角相等，简述为“等边对等角” 等腰三角形的定理2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线，底边上的高重合 等边三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60° 注意：(1)等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质；(2)等边三角形每条边上的中线、高 和所对角的平分线重合 O1固基础 知识点3等边三角形 5.如图，△ABC是等边三角形，点 知识点1等腰三角形的定理1 D在边AC上.若∠DBC=40°， 1.(2025吉安月考)等腰三角形的顶角为80°， 则∠ADB的度数为 则其底角的度数是 A.25 B.60° 第5题图 A.100°B.80° C.50° D.40° C.90 D.100 2.如右图，直线a∥b,直线l 6.如下图，在等边三角形ABC中，D为BC延 与直线a,b分别相交于点 长线上一点，E为CA延长线上一点，且AE A,B,点C在直线b上，且 C =CD.求证：AD=BE. CA=CB.若∠1=32°，求∠2的度数. 知识点2等腰三角形的定理2 3.如图，AD,CE分别是△ABC的中线和角平 分线.若AB=AC,∠CAD=20°，则∠ACE ◆易错点未分类讨论导致漏解 的度数是 7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为50°，则其顶角的度数为 02提能力)念 第3题图 第4题图 8.(教材变式)如图，△ABC是等腰三角形， 4.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是BC边 AD平分∠BAC,点E在AB上，点F在 上的中线.若AB=5,BC=6,则AD的长度 AC上，且DA平分∠EDF.下列结论错误 为 的是 下册第 章 A.BE=CF B.∠BDE=∠CDF …… O3拓思维心 C.∠BED=∠CFDD.∠BDE=∠DAE 12.在△ABC中，AB=AC,点D在BC上，点 E在AC上，连接AD,DE,且∠ADE =∠AED. (1)当点D在BC边（点B,C除外）上运动 B D 图① 图② (如下图)，且点E在AC边上时，猜想 第8题图 第9题图 ∠BAD与∠CDE的数量关系，并证明你 9.(2025乐平期中)图①是实验室利用过滤法 的猜想. 除杂的装置图，图②是其简化示意图.在图 (2)当点D在直线BC上运动（∠BAC> ②中，若AB∥CD,AC∥OD,OD=OC, 25°)，且点E在AC边所在的直线上时，若 ∠BAC=51°，则∠DOC的度数为 ∠BAD=25°，求∠CDE的度数， 10.如图，在△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点 E,BF⊥AC于点F.若DE=2, 则BF的长为 第10题图 11.如右图，在等边三角形ABC 中，D是AB边上的动点，以 CD为一边向上作等边三角形 EDC,连接AE. (1)求证：AE∥BC. (2)当点D运动到什么位置时，BC⊥EC? 请说明理由. 数学八年级BS版 第2课时 等腰三角形的判定与反证法 要点提示 等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为“等角对等边” 反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结 果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法， O1固基础念 知识点1等腰三角形的判定 1.下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角 形的是 A.∠A:∠B：∠C=1:1:3 B.BC:AC:AB=2:2:3 C.∠B=50°，∠C=80° 知识点2反证法 D.2∠A=∠B+∠C 5.(2025合肥瑶海区月考)用反证法证明命题 2.将一个平板保护套展开放置在水平桌面上 “钝角三角形中必有一个内角小于45”时， 首先应该假设这个三角形中 () 其示意图如图所示.若∠ABC=∠ACB, A.有一个内角小于45 AB=10cm,BC=8cm,则△ABC的周长 B.每一个内角都大于等于45 为 C.有一个内角大于等于45° A.28 cm B.26 cm D.每一个内角都小于45° C.18cm D.24 cm 6.用反证法证明“已知在△ABC中，AB= AC,求证：∠B<90”时，第一步应假设 D 7.用反证法证明：两直线平行， 第2题图 第3题图 同旁内角互补。 3 3.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在 已知：如右图，l1∥12,11，l2都 BC边上，∠B=∠DAE=∠EAC=36°，则 被L3所截 图中等腰三角形共有 求证：∠1+∠2=180°. A.3个 B.4个 证明：假设∠1十∠2 180°. C.5个 D.6个 .l1∥l2,∴.∠1 ∠3. 4.(教材变式)如右图，在△ABC :∠1+∠2 180°， 中，BD平分∠ABC,CD平分 .∠3+∠2≠180°，这和 ∠ACB,过点D作EF∥BC, 矛盾， 与AB,AC相交于点E,F.已知BC=14, ∴.假设∠1+∠2 180°不成立，即 △AEF的周长为24，求△ABC的周长. ∠1+∠2=180°. 下册第 章 02提能力 O3拓思维 8.用反证法证明命题“若a≠0，则关于x的方程 11.推理能力如图①，在平面直角坐标系中， a.x+b=0有且只有一个根”时，应先( 已知A(0,),C(2,0),B(m,0),且|n一6 A.假设有且只有一个根 +(m+2)2=0. B.假设至少有两个根 (1)求证：∠ABC=∠ACB. C.假设没有根或至少有两个根 (2)如图①，过x轴上一点D(一6,0)作 D.假设没有根 DE⊥AC于点E,DE交y轴于点F,求点 9.(教材变式)如图，AC,BD F的坐标. 相交于点O,∠A=∠D.如 0 (3)如图②，将△ABC沿x轴向左平移， 果再补充一个条件，使得 第9题图 AC边与y轴交于点P(点P不同于A和 △BOC是等腰三角形，那么补充的条件不能是 C两点)，过点P作一直线与AB的延长线 ( 交于点Q,与x轴交于点M,且CP=BQ. A.OA=OD B.AB=CD 在△ABC平移过程中，点M的坐标是否 C.∠ABO=∠DCOD.∠ABC=∠DCB 发生变化？请说明理由. 10.如右图，在△ABC中， AB=AC,BD为∠ABC 的平分线.延长BC到点 B E,使CE=CD,过点D MO C 作DH⊥BE,垂足为H,连接DE 0 图① 图② (1)求证：H为BE的中点. (2)探究：当∠A的度数为多少时，AD= HC？请加以证明. 10 数学八年级BS版 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形 要点提示 等边三角形的判定定理：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边 三角形， 含30°角的直角三角形：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一建】 O1固基础念 5.如图，在△ABC中，AC⊥BC,∠B=30°， CD⊥AB于点D.若AD=1,则AB的长为 知识点《1等边三角形的判定 1.等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为 等边三角形的是 A.有一个内角是60°B.有一个外角是120° C.有两个角相等 D.腰与底边相等 第5题图 第6题图 2.如下图，在△ABC中，∠ACB=120°，CD平 6.(教材变式)如图所示的是屋架设计图的一部 分∠ACB,AE∥DC,交BC的延长线于点 分，D是斜梁AB的中点，立柱BC,DE垂直于 E.求证：△ACE是等边三角形 横梁AC.若DE=1.8m,∠A=30°，则AB的 长为 m. 7.如下图，△ABC中，AB=AC,∠C=30°， DA⊥BA于点A,BC=6cm.求AD的长. 知识点2含30°角的直角三角形 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， AB=12,则BC的长为 ( ) A.6 B.62C.65 D.12 ◆易错点利用含30°角的直角三角形的 性质时，忽视30°角“所对”直 角边造成错误 第3题图 第4题图 8.如图，在Rt△ABC中， 4.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=60°，点 ∠C=90°，∠BAC=60°， D在BC的延长线上，AE=EC=CD,连接 M AM为∠BAC的平分线. DE并延长，交AB于点F,连接BE.若EF 第8题图 若AM的长为15cm,则BC =2,则DF的长为 ( cm. A.3 B.4 C.5 D.6 下册第 章 02提能力 (2)若BC=10cm,求ED的长. 9.(2025江西)如图，△ABC 是面积为1的等边三角形， 分别取AC,BC,AB的中 点得到△AB,C1;再分别 C 取A1C,B,C,A1B1的中 第9题图 点得到△A2B2C2;….以此类推，则 △ABCn的面积为 () A()B.()c()°D.() 之O3拓思维之… 10.(教材变式)如图，在四边形ABCD中，∠A 13.如下图，在等边三角形ABC中，M为边 =60°，∠B=∠D=90°，AB=4,CD=2, AB上的任意一点，延长BC至点N,使 则BC的长为 CN=AM,连接MN交AC于点P,MH⊥ AC于点H. (1)求证：MP=NP (2)若AB=a,求线段PH的长（结果用含 第10题图 第11题图 a的代数式表示). 11.如图，在△ABC中，D是边AC的中点，连 接BD,把△BDC沿BD翻折，得到 △BDC',DC'与AB交于点E,连接AC'. 若AD=AC',BD=3,则点B到AC的距 离为 12.如下图，在△ABC中，AB=AC,D,E是 △ABC内两点，AD平分∠BAC,∠EBC =∠E=60°，且BE=8cm. (1)求∠D的度数. 数学八年级BS版