类型2 动点问题(含最值)-【练客中考】2026年新疆新中考数学二轮重难题型培优

类型2动点问题（含最值）(2025.23,2024.23) 例2(2025新疆23题13分)如图，在等腰直角三角形4BC中，∠A= 题干解读 90°，BC=4,AD=aBN,点M是AB的中点。，点D和点N分别是线段AC ①可得到AB=AC;∠B= 和BC上的动点. ∠C;BC=√2AC; (1)当点D和点N分别是AC和BC的中点。时，求a ②可得到AM=BM: 的值； 解题突破点 (1)③可得到AD=CD; BN=CN; 例2题图 (2)当a=√2时，以点C,D,V为顶点的三角形与△BMW相似。，求BN(2)Q相似的两个三角形，点 的值； 的对应关系不确定，∠B= ∠C,需分类讨论：△CDW∽ △BMW:△CWD∽△BMW; (3)⑤可得到AD= (3)当a=2时，求MW+ND的最小值 √2BN,尝试在△ABC内部 构造以AD为斜边的直角 三角形AED⊙构造平行 四边形EDNB>MN+ND 的最小值转化为BE+ MN的最小值，结合BN= AE白转化为“逆等线模 型”：旋转AB构造△AEB ≌△BNFBE+MN的最 小值转化为MN+NF的 最小值即可求解， 新疆数学二轮重难题型培优 39 ⊕针对训练 3.【问题发现】 4.(2025贵州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC= (1)如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB= 60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线 ∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是 BP上的一点（点E与点B不重合）. 线段AB上一动点，连接B,求铝的值； 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段AC的中点0重 【类比探究】 合，则∠PBC= 度，线段BP与线段 (2)如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB= AC的位置关系是 ∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是 【问题探究】 线段AB上一动点，连接B,水鳄的值： (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段 【拓展延伸】 BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线 段BE与线段EC的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在(2)的条件下，将点D改为直 线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆 的中点M,连接BM,CM,若AC=2,则当 △CBM是直角三角形时，线段BE的长是 时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC 于点G,若BE=2FG,AB=5,求AP的长， 多少？ E 图 图 图 图2 备用图 图3 第4题图 第3题图 40 新疆数学 二轮重难题型培优 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=6.在矩形ABCD中，AB=10,AD=17,点E是线 3.动点P从点B出发，沿折线BC-CA以每 段BC上异于点B的一个动点，连接AE,把 秒1个单位长度的速度向终点A运动.作点 △ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处. A关于点P的对称点D,连接AD与BD.设点 【初步感知】(1)如图1，当E为BC的中点 P的运动时间为t秒(t>0) 时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC; (1)当点P和点C重合时，求线段BD的长； 【深入探究】(2)如图2，点M在线段CD上， (2)当点P在边CA上运动时，若△BPD为等 CM=4.点E在移动过程中，求PM的最 腰三角形，求t的值； 小值； (3)当点P在边BC上运动时，求△ABD周长 【拓展运用】(3)如图2，点N在线段AD上， 的最小值 AN=4.点E在移动过程中，点P在矩形内 部，当△PDN是直角三角形时，求BE的长 B 第5题图 图1 图2 第6题图 1.1 新疆数学二轮重难题型培优 41故B(0,3), 设直线AB的表达式为y=x+b, 将点A(-3,0),B(0,3)代入， 得3张+6= 1b=3 解得1 1b=3 .直线AB的表达式为y=x+3, 向上平移m个单位长度后，直线的表达式为 y=x+3+m, 与抛物线y=-x2-2x+3联立：-x2-2x+3=x+ 3+m, 整理得x2+3x+m=0, 抛物线与直线有交点时，4=32-4×1×m=9-4m ≥0， 解得m≤} 又m>0, 9 “m的取值范围为0<m≤4 (3)存在，点P的横坐标为-2， -3+17-3-17 2 2 10.解：(1)令x=0,则y=3,可得C的坐标为(0,3). 令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3. 故点B的坐标为(3,0)， 轮重难 设直线BC对应函数的表达式为y=kx+b, 放6=3， 解得-1， 13k+b=0. b=3. 型 ∴.直线BC对应函数的表达式为y=-x+3. (2)不存在实数m使得y1+2y2=10,理由如下： 方法一：把M(m,y1),N(m+2,y2)代入二次函数 y=-x2+2x+3中， 可得y1=-m2+2m+3,y2=-(m+2)2+2(m+ 2)+3=-m2-2m+3, .y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)= -3m-2m+9=-3(m+号2+9 3 .-3<0 故当m=-弓时，六+2，有最大值，最大值为 9g≠10 故不存在实数m使得y1+2y2=10; 方法二：由方法一得y1+2y2=-3m2-2m+9. 当y1+2y2=10时，即-3m2-2m+9=10,整理可 得3m2+2m+1=0. ,△=4-12=-8<0 .方程没有实数根。 ∴.不存在实数m使得y1+2y2=10. m号或ml 2 36 新疆数学 题型四几何综合探究题 考向1点的对应关系不确定 例1解：AB=AC=12cm,BC=8cm,D为AB的 中点， BD=2×12=6cm 设点P,Q的运动时间为ts, BP =2t cm,PC=(8-2t)cm. .·AB=AC, .∠B=∠C. ①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC,BP=CQ, .6=8-2t,解得t=1, .BP=CQ=2, .点Q的运动速度x=2÷1=2(cm/s); ②当△BDP≌△CQP时，BP=PC,BD=CQ=6, .BC=8 cm, .'BP =4 cm, ∴.6=4÷2=2(s), ∴.点Q的运动速度x=6÷2=3(cm/s) 综上所述，x的值为2或3. 变式1解：：在矩形ABCD中，AB=8,AD=3,E为 CD的中点，PQ⊥AE, .DE=4,∠D=∠PQE=90°， .AE=√AD+DE=5. ①当△PQE△ADE时， 器器 9-9即0s-P0 ~24D.AD=4EP0, .PQ-3AP. :在Rt△APQ中，AQ2+PQ2=AP2, (5-QE)2+PQ2=AP2, (5-号P0)2+Pg=AP, 5-音×号4P+(号p2=aP, 解得P-瓷 ②当△PQE△EDA时， ·品器 0s-子P0, 由①得P0=子AD, 在Rt△APQ中，AQ+PQ2=AP2, (5-×4PP+(3P=AP, 解得AP=4或P=-9(合去)， 综上所述，AP的长为或4 参考答案 考向2点的位置不确定 例2解：如解图1，当点E在线段AC上时， :正方形ABCD的边长为2， .∠ACF=45°，AC=2√2. AE =2CE 服-2c22 3 :EF⊥AC, ·EF=CE=22 , AF=VAE2+EF=2⑩ 3 B 图1 图2 例2题解图 如解图2，当点E在线段AC的延长线上时， 同理可得AE=4√2，EF=2√2， .AF=√AE2+EF=2√10. 综上所述，4F的长为2，或2√10. 3 变式2解：BC=BD+BF或BF=BD+BC, 证明如下： 如解图1，当点D在线段AB上时， 过点D作DG∥AC交BC于点G A 变式2题解图1 :△ABC是等边三角形， .∴.∠BDG=∠A=60°，∠BGD=∠BCA=60°， ∴.∠DBG=∠BDG=∠BGD=60°， △BDG是等边三角形， ∴.∠EBD=∠CGD=120°，BD=BG. 又DE=DC, ∴.∠DEB=∠DCG ,∠EBD=∠CGD 在△BDE和△GDC中， ∠DEB=∠DCG, LDE=DC .△BDE≌△GDC(AAS), 新疆数学 .'BE =GC. 又：DE和DF关于直线AB对称， ∴.BE=BF=GC .BC=BG+GC=BD BF. 如解图2，当点D在线段AB延长线上时， 过点D作DH∥AC交直线BC于点H. 变式2题解图2 同理得△BDH为等边三角形， ∴.BD=BH,∠EHD=∠CBD=120°. 又：CD=DE, ∴.∠E=∠DCB. ∠EHD=∠CBD 在△DHE和△DBC中， ∠E=∠DCB DE =CD ∴.△DHE≌△DBC(AAS), .EH=BC. 又，DE和DF关于直线AB对称， .BF BE BH+EH=BD+BC. 综上所述，BC=BD+BF或BF=BD+BC 轮重 考向3图形的形状不确定 例3解：·∠ABC=60°，DE∥BC, .∠ADE=∠ABC=60°. 题型培优 由折叠得∠FDE=∠ADE=60°， .∠BDF=180°-60°-60°=60. 当∠BFD=90时，如解图1， ∠BDF=60°， ∴.∠DBF=30°， .BD =2DF. 由折叠得DF=AD, .BD=2AD, .3AD=AB=12, ∴.AD=4. D 图1 图2 例3题解图 当∠DBF=90时，如解图2， 同理可得AD=DF=2BD, 参考答案 37 ∴.3BD=AB=12, BD=4, .AD=8 综上所述，AD的长为4或8. 变式3解：由翻折得AF=AB=5,BE=EF. 当AF=DF时，如解图1，此时点F在AD的垂直平分线 上，过点F作FM⊥AD于点M,延长MF交BC于点N, 则AM=分AD=3, ∴.FM=√AF2-AM=4. .:四边形ABCD为矩形 ∴.易得四边形ABNM是矩形， ∴.∠BWM=90°，MN=AB=5. ∴.FN=MN-FM=1. 设BE=EF=x, 则EN=3-x. 在Rt△ENF中，EN2+FN2=EF2, .(3-x)2+1=x2, 5 解得x=3, BE=5 1 D 轮重 B 题型培优 图1 图2 变式3题解图 当AD=DF时，如解图2，过点F作FP⊥AD于点 P,延长PF交BC于点Q 设AP=y,则DP=6-y. .AF2-AP2=DF2 DP2 52-y2=62-(6-y)2, 解得了-总。 AP-高 PF=AR -APT-5 119 12 .·△ABE沿AE翻折得△AFE, .∴.∠AFE=90°， .易得△APF∽△FQE, AF PFPF ·EF EQ BQ-BE :BQ=AP=1 25 5119 12 12 BE EF, 38 新疆数学 .BE=12-√119. 综上所述，BB=弓或12-9， 考向4图形的位置不确定 例4解：四边形ABCD是矩形， .∠B=∠BAD=90°. 由折叠得∠PAB=LPAB-子∠BAB 如解图1，当∠BAB'=15时， D B B P 例4题解图1 LPMB=分×150=7.5 .∠APB=90°-∠PAB=82.5°. 如解图2，当∠DAB'=15°，且点B在边AD下方时， ∠BAB'=∠BAD-∠DAB'=75°， LPMB=7x750=37.5, .∠APB=90°-∠PAB=52.5. D D B 图2 图3 例4题解图 如解图3，当∠DAB′=15°，且点B'在边AD上方时， .·∠BAB'=∠BAD+∠DAB'=105°， LPMB=7×105=525, .∠APB=90°-∠PAB=37.5°. 综上所述，∠APB的度数是82.5或52.5或37.5°. 变式4解：如解图1，当点O'在线段AB的延长线 上时， 四边形ABCD为正方形，AB=2, .△BOC为等腰直角三角形，BC=2,BD=√2AB= 22. 由旋转得BC'=BC=2,C',B,D三点共线， .C'D=BC'+BD=2+22. B 0 图1 图2 变式4题解图 参考答案 如解图2，当点O'在线段AB上时， 同理可得C'D=BD-BC'=2√2-2. 综上所述，CD的长为2+2√2或2√2-2 例1解：(1)MW=CN+AM. 理由如下：：四边形ABCD是正方形， .∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°， 如解图1，将△BCV绕点B逆时针旋转90°得 到△BAH, ∴.∠ABH=∠CBN,AH=CN,BH=BN,H,A,M三点 共线。 ∠MBN=45°，∴.∠ABM+∠CBN=45°， .∴.∠ABM+∠ABH=∠HBM=45 又.'BM=BM, ∴.△BHM≌△BNM(SAS), .MN HM AH +AM CN +AM. G M A 图1 图2 例1题解图 (2)MN=AM-CN. 理由如下： 如解图2，将△BCN绕点B逆时针旋转90°得 到△BAG, ∴.AG=CN,BG=BN,∠ABG=∠CBN. .·∠MBN=∠CBN+∠CBM=45°， .∴.∠ABG+∠CBM=45°， ∴.∠GBM=45°，即∠MBN=∠MGB, 又.BM=BM, .'.△NBM≌△GBM(SAS), .MN=MG=AM-AG=AM-CN. (3)PQ的长度为2√2或√10. 1.解：(1)0M+0N=2PA.理由如下： 如解图1，过点P作PC⊥OB于点C 易知四边形OAPC是矩形 点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA,PC⊥OB, ∴.PA=PC .∴.四边形OAPC是正方形， ...OA=AP=PC=OC,LAPC=90. .·PW⊥PM, ∴.∠APM=∠CPN=90°-∠MPC. 又.∠MAP=∠NCP=90°，AP=CP, .△APM≌△CPN(ASA), .∴.AM=CN, .OM+ON=OM+OC+CN=OM+AM+OC= 新疆数学 OA +OC=2AP. M C NB 图1 图2 B M M G 0 NBF 图3 图4 第1题解图 (2)OM+ON=2PA.理由如下： 如解图2，过点P作PD⊥OB于点D, 易知四边形OAPD是矩形. 点P在∠AOB的平分线上，PA⊥OA,PDLOB, ∴.PA=PD, ∴.四边形OAPD是正方形， .OA AP=PD=OD,LAPD=90. .·PN⊥PM, ∴.∠APM=∠DPN 又.·∠MAP=∠NDP=90°，AP=DP, .△APM≌△DPN(ASA), 轮 .AM DN, .OM+ON 0A+AM +OD DN =0A +OD=2PA. 题 (3)①当M在线段A0上时，如解图3，延长PA交 型 射线NM于点G 由(2)知0M+0N=2AP, 设0M=x,则0W=3x,0A=AP=2x, .∴.AM=A0-OM=x=0M. .∠MON=∠MAG=90°，∠OMN=∠AMG, ∴.△MON≌△MAG(ASA), .AG=0N=3x. .AP∥OB, .△ONF∽△PGF, OF ON 3x 3 小PF=PG=3x+2x=5, OP 8 0F=39 ②当M在A0的延长线上时，如解图4，过点P作 PC⊥OB于点C,延长PC交MW于点G 由(2)知，四边形OAPC是正方形， ∴.OA=AP=PC=OC,∠APC=90°，PC∥A0 .PN⊥PM, ∴.∠APM=∠CPN=90°-∠MPC. 又.∠A=∠PCN=90°，AP=CP ∴.△APM≌△CPN(ASA), 参考答案 39 .'AM=CN, .ON -OM OC CN OM A0 AM OM =2A0 设OM=y, 则0N=30M=3y, ∴.A0=y,CN=AM=2y. PC∥AO .△CGW∽△OMW, 品-器脚9-多 y 3y' 06=3 PC∥AO: .△OMF∽△PGF OF PF-PG 2y 3 y+3 5, 0P2 0F=3 综上所述，9的值为号或号 2. 解：(1)△MCF为等腰直角三角形，理由如下： :CB=CE,CM⊥BE, .∠BCM=∠ECM. .∠DCF=∠ECF, 一轮重 ·.∠MCF=LECM+∠ECF= 1 2 -(∠BCE+ ∠ECD)=45° 题型培优 ∴.△CMF为等腰直角三角形. (2)补全图形如解图， BG=BC,理由如下： 过点B作BH⊥BF交FC延长线于点H, 由(1)知：在Rt△CMF中∠MCF=45°， 得∠MFC=45°， “.△FBH为等腰直角三角形， ∴.BF=BH,∠BHC=∠BFG=45°， ∴.∠BFG=∠H=45° :∠GBF+∠FBC=∠HBC+LFBC=90°， .∠GBF=∠CBH, .△BFG≌△BHC(ASA), .BG=BC. H 第2题解图 40 新疆数学 (3)AB的值为3或4. 例2解：(1)：△ABC为等腰直角三角形，∠A= 90°，BC=4, .AB=AC=22. 当点D和点N分别是AC和BC的中点时， 可得AD=4C=万，BN=BC=2, 放a=4D-2 (2).a=√2，AD=aBN, .AD=√2BN,设BN=x,则AD=√2x, CN=BC-BN=4-x. :在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=4, .AB=AC=22,CD=AC-AD=2√2-√2x. M是AB的中点， .AM=BM=√2， .∠B=∠C=45°， 当点C,D,N为顶点的三角形与△BMN相似时，分 两种情况： ①当ACDNAY，时则0然 即25-=2x_4-,此方程无解，不符合题意； √2 ②当△CND∽△BMN时，则SX-GD BM BN' ·4-=22-2,解得x=3+5(不符合题意， 2 舍去)或x=3-√5， .BN=3-√5， 综上可得BN=3-√5. (3)方法一（几何法）：，a=√2，AD=aBN, .AD=√2BN 如解图1，以AD为斜边构造等腰直角三角形ADE, 例2题解图1 连接BE,则∠ADE=∠C=45°， .AD=√2DE=2AE, .AE =DE BN. ∠ADE=∠C=45°， .DE∥BN, .四边形EDNB为平行四边形， .BE=DN. 参考答案 将AB绕点B旋转90度得到FB,连接NF,MF, 则BF=AB=2√2，∠ABF=90°，∠ABC=45°， ∴.∠NBF=45°=∠BAE. 又AB=BF,AE=BN, ·.△AEB≌△BNF(SAS), .BE NF. .DN NF. .∴.MN+ND=MN+NF≥MF ∴.当点N在线段MF上时，MW+ND的值最小为 MF的长， 在R△MBF中，BM=2AB=E,BF=2万， 故MF=√BM+BF2=√I0, .MN+ND的最小值为√I0. 方法二（代数法）：如解图2，作ME⊥BC于点E,DF⊥ BC于点F. B EN 例2题解图2 BM=√2， .BE=ME=1,设BN=x, 则AD=√2BN=√2x,CD=AC-AD=2√2-√2x. ∠C=45°， r=F=是cD=2-, .EN=Ix-11,NF =BC-BN-CF=4-x-2+x=2, 由勾股定理可得MN+D=√ME+EN+√DF+NF =√(x-1)2+(0-1)2+√(x-2)2+(0-2)2, 上式结果可看成点(x,0)到点(1,1)和点(2,2)的 距离之和， 欲求和最小，根据“将军饮马”原理，作点(1,1)关 于x轴的对称点(1，-1)， 则MW+ND的最小值为√(2-1)2+(2+1)2 =10. 3.解：(1)：∠ACB=∠DCE=90°， ∠CAB=∠CDE=45°， .∠ABC=∠CAB=45°=∠CDE=∠CED .∴.AC=BC,CD=CE. ∠ACB=∠DCE=90, ∴.∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中， AC=BC ∠ACD=∠BCE, LCD CE .△ACD≌△BCE(SAS), BE=1. BE=AD,AD- 新疆数学 (2):∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE =60°， .∠ACD=∠BCE,∠CED=∠ABC=30°， tan ABC tan 30 m0-器9 能-0 小2品-答易得∠4CD=L0, .△ACD△BCE, 器能 (3)若点D在线段AB上，如解图1， 由(2)知△ACD△BCE,器=5， .∠CBE=∠A=60°，BE=√5AD. ∠A+∠CBA=180°-∠ACB=90°， ∴.∠CBE+∠CBA=90°， ∴.∠ABE=90°. 在Rt△ABC中，AC=2, .AB=4,BC=23. :∠ECD=∠ABE=90°，M是DE中点， .CM-BM-7 DE. :△CBM是直角三角形， 轮重 .CM+BM=BC2=(2W3)2, .BM=CM=√6（负值已舍去）， .DE=2√6. 题型培优 :△DBE是直角三角形，.DB2+BE2=DE2, 即(4-AD)2+(5AD)2=24, 解得AD=√3+1（负值已舍去）， .BE=V3AD=3+5. 若点D在线段BA的延长线上，如解图2， 同理可得DE=2√6，BE=√5AD. BD2+BE2 =DE2, .(4+AD)2+(3AD)2=24, .AD=√3-1（负值已舍去）， .BE=√3AD=3-5, 综上所述，BE的长为3+√3或3-√3. E M D 图1 图2 第3题解图 参考答案 41 4.解：(1)30，BP⊥AC (2)CE=2BE, 理由：如解图1，把△ABE绕点B顺时针旋转60得 到△CBQ,连接EQ, .BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC. ∴△BEQ为等边三角形， ∴.∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ. :点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， .∠AEB=∠BQC=150°， .∠BEC=-360°-150°-30°-60°=120°， .∠BEQ=∠CEQ=60°， .∠EQC=150°-60°=90° ∴∠ECQ=90°-60°=30. ∴.CE=2EQ=2BE 图2 图3 一轮重 第4题解图 (3)如解图2，当P在线段OA上，记射线BP与AD 交于点H. 题型培优 :AH∥BC, ∴.∠AHB=∠CBH. ∠ABC=60°，∠BAD=120°=∠BEG, ∴.△HAB∽△BEG, AH BE AB-EG 设FG=x,则EF=BE=2x, ..EG=3x, 2xAH 小3x5 :Am=号 :AD∥BC, .△APH△CPB, 提怨 10 AP_32 P0=5=3 .△ABC为等边三角形 AC=AB=5,AP=5x5=2, 如解图3，当点P在线段OC上时，延长AD交射线 BP于点H, 同理可得∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， 42 新疆数学 ∴.△BAH△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, 鼎能品=分 ∴.AH=10, 同理可得△APH∽△CPB, 0怒-2. AP=5x2=10 3=3, 综上：4P的长为2或号 5.解：(1)∠C=90°，AC=4,BC=3, .AB=√/AC2+BC2=√42+32=5. 当点P和点C重合时. BC⊥AC,点A关于点P的对称点D,.AC=CD, .BC垂直平分AD, .BD=AB=5. (2)①当BP=BD时，如解图1.BC⊥AC, ∴.PC=CD. 由题意得PC=t-3. .AP =AC-PC=7-t,PD =2PC=2t-6. .AP=PD, .13 .7-t=2t-6,.t=3 ②当DP=BD时，如解图2， 由题意得PC=t-3,AP=AC-PC=7-t, .PD=AP=7-t, .·.CD=PD-PC=10-2t. DP BD,..PD2 BD2. .BD2=BC2 CD2, .(7-t)2=32+(10-2t)2, 此方程无解，∴.DP=BD该情况不存在； ③当DP=BP时，如解图3， 由题意得PC=t-3,AP=AC-PC=7-t, ∴.BP=DP=AP=7-t PB2 PC2 +BC2, (7-)2=(t-3)2+32,t= 8 棕上，当△BPD为等腿三角形时，的值为号支 0 p 图1 图2 图3 图4 第5题解图 参考答案 (3)如解图4，延长AC至点D',使CD'=AC,取AB 的中点M,连接MD',交BC于点P,则此时△ABD 周长最小 :BC垂直平分AD', .∴.PA=PD' PA PD. .PD PD' PA PD,AM=MB. .PM为△BAD的中位线， <PM-7 BD. .△ABD周长的最小值=AD+AB+BD=2(PA+ PM+A0=2(PD+PM+)=2MD'+5. 过点M作MN⊥AD'于点N. .BC⊥AC .MN∥BC. AM BM *.AN-NG-2AC-2.MN-2BG-3 .ND'=NC+CD'=6, ·MD'=√MN+ND=37 2 .△ABD周长的最小值=3√7+5. 6.(1)证明：如解图1，连接EF, 由折叠可得∠APE=∠B=90°，PE=BE. ,:四边形ABCD为矩形， ∴.∠C=90° E为BC的中点， .∴.BE=EC, .PE=EC. 在Rt△EPF与Rt△ECF中.EP=EC,EF=EF, '.Rt△EPF≌Rt△ECF(HL), .∴.FP=FC. 图1 图2 第6题解图 (2)解：.·AP=AB=10,点E在移动过程中，AP= 10不变， .点P在以点A为圆心，10为半径的⊙A的弧上， 如解图2，连接AM, 当点P在线段AM上时，PM有最小值， AD=17,AB=CD=10,CM=4, ∴.DM=6, .AM=√AD2+DM=√172+62=5√13， ∴.PM的最小值为AM-AP=5√13-10. 新疆数学 (3)解：如解图3，当∠NPD=90°时，过点P作PH ⊥AD于H,延长HP交BC于点G,连接PD,NP. ∠NPD=90°，.∠1+∠2=90°， ∠1+∠3=90°，.∠3=∠2. :∠PHN=∠DHP,∴.△PHW∽△DHP, 小那p=N.m AN=4,AD=17,.DN=13, 设HN=x,HD=13-x, .AH=x+4,HP2=x(13-x). .AB=10, ∴.AP=AB=10 HP2=Ap2-AH,.HP2=102-(x+4)2, .x(13-x)=102-(x+4)2,解得x=4, .HP=6,AH=8,HG=AB=10,PG=4, ..BG=AH=8, 设BE=m,则PE=m,GE=8-m, 在Rt△PGE中，PE2=GE2+PG, ∴.m2=(8-m)2+42,解得m=5, 即BE的长为5. ②如解图4，当∠PND=90时，连接NP并延长，交 BC于点H,连接PD,易得NH⊥BC于点H. .AN=4,AP=AB=10, .NP=√AP2-AW=2√21， ∴.PH=10-221, 重 易证△EPH∽△PAN,.AP=AN, EP PH 题型培优 即EP-10-22I,解得EP=25-5√2I, 10 4 .BE=25-5√21. 综上所述，BE的长为5或25-5√21. B E G B它H 图3 图4 第6题解图 例3解：(1)PA=DC.理由如下： AB=AC,∠BAC=60°， .△ABC是等边三角形， ∴.∠ABC=60°，AB=BC, 同理可得∠PBD=60°，BD=PB, ∴.∠PBD=∠ABC. .:∠ABC=∠ABP+∠PBC, ∠PBD=∠CBD+∠PBC, .∠CBD=∠ABP. 参考答案 43 在△CBD和△ABP中， rBC=BA ∠CBD=∠ABP, BD BP ∴.△CBD≌△ABP(SAS), .PA DC (2)DC=3PA. 理由如下： ·,·AB=AC,∠BAC=120°， ∴.∠ABC=∠ACB=30°， 同理可得∠PBD=30°， ∴.∠ABC=∠PBD, ∴.∠ABC+∠ABD=∠PBD+∠ABD, 即∠CBD=∠ABP. :C-0=5, AB PB ,∴.△CBD∽△ABP DC BC 六i所=5， .DC=3PA. (3)AD的长为2√10或2√2. 7.解：(1)四边形BDB'E是菱形，理由如下： 由折叠的性质可得BD=B'D,BE=B'E, 轮重难 ∠B'DE=∠BDE, .B'D∥BC ∴.∠B'DE=∠BED, 型培优 .∠BDE=∠BED, .BD =BE, ∴BE=BD=B'D=B'E, ∴四边形BDB'E是菱形. (2)①DE⊥A'E,理由如下： 如解图，由(1)知四边形BDB'E是菱形， .BD =B'E =B'D. 由折叠的性质得到AD=A'D, AD =2BD. .A'D=2BD=2B'D=2B'E. .B'D=A'B'=B'E. ∠1=∠2，∠3=4. ∠1+∠2+∠3+∠4=180°， .∠2+∠3=90°， .DE⊥A'E; B 第7题解图 44 新疆数学 ②s或 8.解：(1)四边形DEGF是菱形，理由如下： 将△DEF沿EF翻折得到△GEF, ∴.DE=GE,DF=GF. DF =DE, ∴.GE=DE=DF=GF, ∴.四边形DEGF是菱形. (2)四边形GFHN是平行四边形，理由如下： .·将△BMW沿MN翻折得到△HMN, .∴.BN=HN,BM=HM. BN BM, .∴.HN=BN=BM=HM, .∴.四边形BMHN是菱形， ∴.NH∥BC. E为边AD的中点，M为边BC的中点， DE-ZAD,BMBC. .·四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC, ∴.DE=BM,DE∥BM. 四边形DEGF是菱形， ∴.DE=FG,FG∥AD, ∴.FG=DE=BM=HN,FG∥NH, .四边形GFHN是平行四边形 (3)四边形GFN能成为轴对称图形，的值为} 欧务 9.解：(1)AM=BN.理由如下： 四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=∠C=90°，AB=BC, .∴.∠BAM+∠AMB=90° 'AM⊥BN, ∴.∠AMB+∠CBN=90°， .∴.∠BAM=∠CBN, ∴.△ABM≌△BCN(ASA), .AM=BN. (2)CH=mER.理由如下： 如解图，过点E作EM⊥DC于点M,过点G作GN ⊥BC于点N,记GW,EF的交点为K, 四边形ABCD是矩形，EM∥AD∥BC, GN∥AB∥DC, .·.EM⊥GN,EM=AD=BC,GN=AB=DC. 又：EF⊥HG,∠GKF=∠EKN, .∴.∠HGN=∠MEF, .·.Rt△GNH∽Rt△EMF, 参考答案 CH GN_AB-m EF EM BCn 即GH=mEF G D NH 第9题解图 (3)AB的长为12-6√3或12+6√5. 10.解：(1)0D=CG+0E. (2)不成立，0D=CG-OE, 证明：如解图，过点C作CQ⊥OA于点Q, B D E 第10题解图 OC平分∠AOB,CD⊥OB,CQ⊥OA, ∴.CQ=CD. 在Rt△QOC和Rt△DOC中， OC=OC,CO=CD, .∴.Rt△QOC≌Rt△DOC(HL), .0Q=0D. .·DE⊥OA,CG⊥DE,CQ⊥OA, ∴.∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE=CG, .OD =0Q=QE-OE =CG-OE. (320的值为写 11.解：(1)60. (2)∠AEB=30°+∠CAD.证明如下： :将△ACD沿AD折叠得到△AED, .AE=AC,∠CAD=∠EAD. .·∠ABC=30°，AB=AC, .AB=AE=AC,∠BAC=120°， .∠BAE=120°-2∠CAD, ·∠ABB=180°-(1209-2∠CAD)=30°+∠C4D. 2 (3)如解图，连接OA, AB=AC,点O是BC的中点， .∴.OA⊥BC. ∠ABC=∠ACB=30°，AC=4, ..A0=2,0C=23 ySa=7DC:A0=, 新疆数学 .'DC=x. 在Rt△A0D中，AD2=0D2+A02=(2√5-x)2+ 4=x2-45x+16, .y关于x的函数解析式为y=x2-43x+16. 第11题解图 12.解：(1)BD⊥DG,理由如下； 在正方形ABCD和正方形AEFG中， ∴.AB=AD,AE=AG,∠BAD=∠EAG=90°， ∴.∠BAE=∠DAG=90°-∠DAE, .△BAE≌△DAG(SAS), .∠ABE=∠ADG ,:∠ABD+∠ADB=90°， ∴.∠ADG+∠ADB=90°，即∠BDG=90°， ..BD⊥DG (2)2a+8 8； (3)当点E在线段BD上时，如解图1，过点E作 EK⊥AD于点K. G 重 E 题型培优 B 图1 图2 第12题解图 四边形ABCD是正方形， .∴.∠ADE=45°， .△DEK为等腰直角三角形， .DK=EK=DE·sin45o=号2x, .AK=AD-DK=8 2, 在Rt△AKE中， AE2=EK2 +AK? =9到+8- =x2-8√2x+64, .S=AE2=x2-8√2x+64; 当点E在BD延长线上时，如解图2，过E作EL1 参考答案 45