类型1 二次函数性质综合题-【练客中考】2026年新疆新中考数学二轮重难题型培优

题型三 二次函数综合题(5年2考) 类型1二次函数性质综合题(2021.23) 例 (2025鸟鲁木齐校级一模)设二次函数y=x2+2mx-2m+3"(m为常 题干解读 数)的图象为f ①抛物线开口向上；化为 【特例感悟】 顶点式可得到对称轴； (1)当m=2。,=3≤x≤0®时，二次函数y=x2+2mx-2m+3(m为常数) 解题突破点 的最小值是 ,最大值是 (1)②可得到抛物线解析 【类比探索】 式、对称轴； (2)当直线y三二m(m<0)与图象∫在第一象限内交于A,B两点（点A在 ③判断对称轴的位置：a 在区间内：对称轴处取得 点B的左边)，点A的横坐标为a,点B的横坐标为。，7a=b,求在a≤ 最小值；离对称轴较远的 x≤b范围内二次函数y=x2+2mx-2m+3(m为常数)的最大值与最小值 点取得最大值；b在区间 的差； 外：离对称轴较近的点取 【纵深拓展】 得最小值，离对称轴较远 (3)①不论m为何实数时，图象f一定会经过一个定点，求出这个定点 的点取得最大值； 坐标； (2)④可联想到a,b是一 ②肖0≤x≤2时，二次函数y三x2+2mw一2m+3(m为常数)的最大值为 元二次方程-m=x2+ 9,那么图象∫的对称轴与x轴的交点横坐标会大于0小于2吗？试说 2mx-2m+3的两个解； 明你的理由，并指出满足条件的对称轴与定点之间的距离。 ⑤同③，利用对称轴，确 定最值位置； (3)⑥分类讨论对称轴位 置：在区间左侧、在区间 内、在区间右侧；由离对 称轴较远的点取得最大 值，代入数值判断解得的 m是否符合要求. 新疆数学二轮重难题型培优 29 针对训练 1.（2025鸟鲁木齐4月测评)抛物线y=ax2+ 2.【概念学习】 bx-1,经过A(-1,5),B(2,-1)两点，与y 在平面直角坐标系中，点M的坐标为(x1, 轴交于点C. y1),若图形F上存在一点N(x2,y2),且满足 (1)求抛物线的解析式； 当x1=2时，MN≤2，则称点M为图形F的 (2)点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上，若对 一个“垂近点”. 于2<x1<3,m<x2<m+1,都有y1>y2,写出 【初步理解】 m的取值范围； (1)如图1，图形F为线段AB,点A(-1,2), (3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为3， B(3,2) 将抛物线在A,B之间的部分（包含点A,B) ①试判断点M(1.5,0) (填“是”或 记为图象G,如果图象G沿y轴向上平移 “不是”)线段AB的“垂近点”； t(t>0)个单位长度后与直线CD只有一个公 ②请在图中画出点M所有可能的位置.（用 共点，求t的取值范围. 阴影部分表示)》 【知识应用】 (2)若图形F为直线y=b,二次函数y=ax2+ 2ax+a- 图象上仅有一个“垂近点”，求 b的值； (3)如图2，若图形F为抛物线y=子-4， 正方形ABCD的边长为2，中心（对角线的交 点)为P(a,0),如果正方形ABCD上存在“垂 近点”，求出a的取值范围。 A 8-7653-2-0i23本567 M -2-可0234衣 图1 图2 第2题图 30 新疆数学二轮重难题型培优 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A4.(2025凉山州)如图，二次函数y=ax2+bx+c (4,0),B(-2,6)两点.点P(x,y0)是线段 的图象经过A(-3,0),B(1,0),C(0,-3) AB上的动点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线 三点 于点Q,且c=-4. (1)求抛物线的解析式； (1)求抛物线的解析式； (2)点P在直线AC下方的抛物线上运动，求 (2)求线段PQ长度的最大值； 点P到直线AC的最大距离； (3)若t≤xo≤t+1,求xo取何值时线段PQ (3)动点Q在抛物线的对称轴上，作射线 的长度最大（可用含t的代数式表示x) QA,若射线QA绕点Q逆时针旋转90°与抛物 线交于点D,是否存在点Q使AQ=QD?若 存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请 说明理由. 312 ! 2 第3题图 1 B -5-4-3-210 23x -5 第4题图 新疆数学二轮重难题型培优 31即∠DC0=90°. :0C是⊙0的半径， .PC是⊙0的切线. 第9题解图 (2)解：ranL0BF=0E=1 Γ0B-2 .设0F=x,则0B=2x, 0E=0B=0C=2x,.EF=x, DC=DF=1+x,0D=2x+1. .·DC2+0C2=0D .(x+1)2+(2x)2=(2x+1)2 解得x=2或x=0(不符合题意，舍去)， .0A=0C=4,0D=5,DC=DF=3. :∠0CP=∠OCD=∠P0D=90, .∠P+∠P0C=∠P0C+∠D0C=90°， .∠P=∠D0C, .△0CD∽△PC0,. %-9%…-是 .PC- 一轮重 oP-0 PA=0P-0A=20-4= 3 31 题型培优 题型三 二次函数综合题 例解：(1)-5，-1. (2)依题意得-m=x2+2mx-2m+3,整理得x2+ 2mx-m+3=0, 故a,b是其两实数根， ∴.a+b=-2m,ab=3-m, 又b=7a, [8a=-2m {7a2=3-m 整理，得7m2+16m-48=0, 解得m-4或n号（不特合超意，合去）： ∴.a=1,b=7,图象f的对称轴为直线x=4, 1≤x≤7， .当x=1或x=7时，y最大， y最大=x2-8x+11=72-56+11=4, 当x=4时，y最小=-5. ∴.最大值与最小值的差为4-(-5)=9. (3)①.y=x2+2mx-2m+3=x2+2m(x-1)+3, ∴.当x=1时，无论m为何实数，都有y=4, 即定点坐标为(1,4)； ②当0≤x≤2时，图象f的对称轴与x轴的交点横 坐标不能大于0小于2.理由如下： :y=x2+2mx-2m+3=(x+m)2-(m2+2m- 30 新疆数学 3), .图象f的对称轴为直线x=-m, 当0≤-m≤2时，抛物线开口向上， 在0≤x≤-m时，y随x的增大而减小， 函数在-m≤x≤2时y随x的增大而增大， 当x=0时，y有最大值， y最大=0+2m×0-2m+3=9, 解得m=-3,抛物线对称轴为直线x=3, 当x=2时，y有最大值， y最大=4+2m×2-2m+3=9, 解得m=1,抛物线对称轴为直线x=-1, .图象f的对称轴与x轴的交点横坐标不在大于0 小于2的范围内. 由于抛物线开口向上，对称轴为直线x=-m< 0时， 函数在0≤x≤2时y随x的增大而增大， .当x=2时，y有最大值，y大=4+2m×2-2m+3 =9， 解得m=1,抛物线对称轴为直线x=-1符合 题意， 当对称轴为直线x=-m>2时，函数在0≤x≤2时 y随x的增大而减小， 当x=0时，y有最大值，y大=0+2m×0-2m+3 =9, 解得m=-3,抛物线对称轴为直线x=3符合 题意， .定点(1,4)到直线x=3和直线x=-1的距离 是2. 1.解：(1)将A(-1,5),B(2,-1)代入y=ax2+bx -1, 公51得8之 1b=-4’ ∴.抛物线的解析式为y=2x2-4x-1. (2)由抛物线解析式可知对称轴为直线x=1. .2<x1<3, .x1关于对称轴对称点x,'范围为-1<x,′<0， 要满足在对于2<x1<3,m<x2<m+1,都有y1 >y2, 则m≥0 lm+1≤2' .0≤m≤1； (3):点D横坐标为3， .yn=2×9-4×3-1=5, .D(3,5), 令x=0,得y=-1, .C(0,-1), 设直线CD的解析式为y=x+n,将C(0,-1), D(3,5)代入， 利5解2 ln=-1' ∴.直线CD的解析式为y=2x-1, 由题可知图象G的解析式为y=2x2-4x-1+t (-1≤x≤2，t>0), 参考答案 ①如解图1，当直线CD和图象G相切时， 令2x2-4x-1+t=2x-1, 整理得2x2-6x+t=0, 此时4=36-81=0，解得4-号 ②如解图2，当图象G与CD只有一个交点时， 设点B平移后的对应点为B',则B'(2,-1+t), 当B落在CD上之前，此时图象G与直线CD只有 一个交点， 将B'(2,-1+t)代入y=2x-1得，-1+t=3, 解得t=4, ..0<t<4: 综上，0<t<4或t=2 图2 第1题解图 2.解：(1)①是. (2)将y=a2+2+a-2化成顶点式， y=a(+102-2 3 1 当a<0时，6=-2+2=2， 7 当a>0时，6=之-2=-2' 6=2或6=-2 7 (3)·点P(a,0)是正方形的中心，正方形的边长为2， .A(a-1,-1),B(a+1,-1),C(a+1,1), D(a-1,1), 设正方形上点M是抛物线y=子-4的“垂近 点”，抛物线上存在点N(xw,yN),使得当xM=xv 时，MN≤2， 当点P在y轴右侧时，a>0, 如解图1，当点M与点D重合时，N(a-1,4(a- 1)2-4), MN=(a-102-4-1=2, 解得a=1+2√7或a=1-2√7（舍）； 如解图2，当点M与点B重合时，N(a+1,4(a+ 1)2-4), ∴Mw=-1-4(a+1)2+4=2, 解得a=1或a=-3(舍)； 当点P在y轴左侧时，a<0, 如解图3，当点M与点C重合时，N(a+1,4(a+ 1)2-4), 新疆数学 MN= 4(a+1)2-4-1=2, 解得a=-1-2√7或a=-1+27(舍)； 如解图4，当点M与点A重合时，N(a-1,子(a 1)2-4), Mw=-1-(a-12+4=2, 解得a=-1或a=3(舍)， ∴.当1≤a≤1+2√7或-1-2√7≤a≤-1时，正方 形ABCD上存在抛物线y=-4的“垂近点”， y 6 5 (M D 1 P 8-76-53-2-可0123本56 -2 A B 3 图1 3 -8-76-53-2-234567元 2A BX(M) -5 轮重难题型培优 图2 以 4 (M D C P 3-2-0123本567元 A B -2 -3 -5 图3 以 5 以 D引 P 8-76-5-320123本567 XA ( -3 图4 第2题解图 参考答案 31 3.解：(1).c=-4, ∴.设抛物线的解析式为y=ax+bx-4, 抛物线过A(4,0),B(-2,6)两点， 6=40-26-4,解得=1 0=16a+4b-4 1b=-3 ∴.抛物线的解析式为y=x2-3x-4; (2)设直线AB的解析式为y=x+b,将点A,B代 入，得0=46+6 l6=-26+6解得 =-1 6=4’ .y=-x+4, :点P(xo,yo)是线段AB上的动点，过点P作PQ 1x轴交抛物线于点Q, P(x0,-x+4),Q(x,x6-3x0-4), PQ=-x+4-(x6-3x0-4)=-(x0-1)2+9, 由题意得-2≤x≤4，且-1<0， .当x。=1时，线段PQ取得最大值为9； (3)PQ=-(x。-1)2+9,-2≤x≤4， .当t≥-2，t+1≤1时， 即-2≤t≤0时，PQ的最大长度在x。=t+1处 取得； 当t<1,t+1>1时， 即0<t<1时，PQ的最大长度在x=1处取得； 当t≥1，t+1≤4时， 轮重难 即1≤t≤3时，PQ的最大长度在x=t处取得； 综上，0=t+1或x0=1或x0=七 4.解：(1)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过 型 A(-3,0),B(1,0),C(0,-3)三点， r9a-3b+c=0 ra=1 a+b+c=0,解得b=2, lc=-3 lc=-3 ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3. (2)设直线AC的解析式为y=x+b,(k≠0) A(-3,0),C(0,-3), 厂-3张*6，=0 6,-3,解得1 lb1=-31 .直线AC的解析式为y=-x-3; 如解图，过点P作PE∥y轴交AC于点E,连接AP, CP, 设P(p,p2+2p-3)(-3<p<0),则E(p,-p-3), .PE=-p-3-(p2+2p-3) =-p-p=-0p+2+: 'SAACP=SAAPE+S△cPE) SG=PE(+PE () 2PE(-x)=2PE·[0-(-3)]=2PE, ∴.当PE有最大值时，SA4cp有最大值 32 新疆数学 pE=-+32+号-1<0，-3<p<0, 当p+是=0，即p=一时，PB有最大值最大 做为号 Sw的最大值为2×号-受 A(-3,0),C(0,-3), .0A=0C=3,∠A0C=90°， .AC=√0A2+0C2=3√2. 设点P到直线AC的距离为h, 32, Sam=分40A 2 :当S△Acp有最大值时，h有最大值， h的最大值为5×27_92 3×81 8, ·点P到直线AC的最大距离为9 8； 123x -5 第4题解图 (3)存在点Q使AQ=QD,点Q的坐标为(-1， -1)或(-1,2). 5.解：(1)①3；②y=x2. (2)由题意可知，当x=2时，点P与点A重合， .AD=2,此时y=22=4, 由题图2可知点P与点C重合时，y=20,即CD2= 20, 在Rt△ACD中，AD2+AC2=CD2,即22+AC2=20, ∴.AC=4, 当点P在AC上运动时，x=AD+AP=2+AP, .AP=x-2, ∴.在Rt△ADP中，DP2=AD2+AP2 =22+(x-2)2=x2-4x+8, .y=x2-4x+8, 即当点P在AC上运动时，y关于x的函数关系式 为y=x2-4x+8(2≤x≤6). (3)0或1；(2,4)或(3,5). (4)由(2)知，AD=2,AC=4. 又：D为AB的中点， 参考答案 .∴.AB=4=AC, 取AC的中点N,连接DN,如解图， B 第5题解图 AN=2AC=2=AD,DN是△ABC的中位线， ∴.DN∥BC. 又.∠A=90°， .△ADN是等腰直角三角形 .·四边形DPEF是正方形， .△MDP是等腰直角三角形， 分析点P的运动规律可知，当点P运动到DP∥ BC,即点P运动到点N处时，点A与点M重合， 点P在线段CV(不含点N)上运动时，点A在 △DFM内部， 当点P运动到点N处时，x=2+2=4, 此时y=x2-4x+8=8; 当x=6时，y=62-4×6+8=20, ∴.点A在△DFM内部时x的取值范围为4<x≤6， y的取值范围为8<y≤20. 6.(1)证明：.△ABC和△ADE是等边三角形， .∴.AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， .∠BAD=∠CAE, 在△ABD与△ACE中， rAB=AC ∠BAD=∠CAE, LAD=AE .∴.△ABD≌△ACE(SAS). (2)解：①.·△ABC是等边三角形， ...AB=AC=BC=2. .AO⊥BC .0B=0C=1, .A0=√AB2-OB2=√3， .A(0,√3) ②：△ADE是等边三角形， .∴.AD=AE,∠DAE=60°， .∴.∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD .∴.∠BAD=∠CAE 在△ABD与△ACE中， rAB =AC ∠BAD=∠CAE. AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS), .∴.∠ACE=∠ABD=60°. :∠ACB=60°， 新疆数学 ∴.∠0CF=60°. ∠F0C=90°，0C=1, .0F=30C=3, .C(1,0),F(0,-3), 设直线EF的解析式为y=x+b(k≠0)， [k+b=0 b=v解得 k=3 =-3 ∴.直线EF的解析式为y=√3x-√3. (3)解：：抛物线与x轴交于B(-1,0),C(3,0) 两点， ∴.BC=4,抛物线的对称轴为直线x=1, 如解图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则H 点的坐标为(1,0)，BH=2, 由翻折得C'B=CB=4, 在Rt△BHC'中，C'H=√CB2-B㎡=√42-22= 23, ·点C'的坐标为(1,25)，an∠CB阴=CH BH 25=万， .LC'BH=60°， 由翻折得∠DBH=7LCBH=30°， 在Rt△BHD中，DH=BH·tan∠DBH=2·tan30° s23 轮 3 点D的坐标为1,2。 题型 连接CC', .BC=BC,∠CBC=60°， 镜 .△CCB为等边三角形.分类讨论如下： ①如解图1，当点P在x轴的上方时，点Q在x轴 上方，连接BQ,C'P. :△PCQ,△CCB为等边三角形， ∴.CQ=CP,BC=C'C,∠PCQ=∠CCB=60°， ∴.∠BCQ=∠CCP, .△BCQ≌△C'CP(SAS), ..BQ=C'P. ·点Q在抛物线的对称轴上， ∴.BQ=CQ, .C'P =CQ=CP. 又：BC'=BC, ∴.BP垂直平分CC. 由翻折可知BD垂直平分CC', ∴.点D在直线BP上 设直线BP的函数解析式为y=kx+b,(k1≠0)， r0=-k1+b1 25-k,+b 则 ,解得 3 3 3 参考答案 33 宀直线B即的两数解析式为y-厚+ 图1 图2 第6题解图 ②如解图2，当点P在x轴的下方时. :△PCQ,△CCB为等边三角形， ∴.CP=CQ,BC=CC',∠CC'B=∠QCP= ∠C'CB=60°， ∴.∠BCP=∠C'CQ, .△BCP≌△C'CQ(SAS), ∴.∠CBP=∠CC'Q. ,BC'=CC',C'H⊥BC, LCGQ-LCCB-30. .∠CBP=30°， 设BP与y轴相交于点E, 在Rt△BOE中，OE=OB·tan∠CBP=OB·tan30°= 一轮重 1x53 3=3, 点E的坐标为(0，- 题型培优 设直线BP的函数解析式为y=mx+n(m≠0)， 0=-m+n m=- 3 则 3 ,解得 3 =n n=- 3 直线BP的函数解析式为y=-气- 3x-31 综上所述，直线BP的函数解析式为y= 3, 3+ 3或 7.解：(1)由题意得，C(0,-3),.D(2,-3), :点A(-1,0),D(2,-3)在抛物线y=ax2+bx- 3上 ÷-6-3s0 1a·22+2b-3=-3’ 解得化2 抛物线的表达式为y=x2-2x-3; y=x2-2x-3=(x-1)2-4, .E(1,-4). (2)由x2-2x-3=0, 得x1=-1,x2=3, 34 新疆数学 B(3,0), 如解图1，作EH⊥CN于H. E(1,-4),C(0,-3), .EH=CH=1, ∴.∠ECH=∠CEH=45°. 0B=0C=3, .∠BC0=45°， ∴.∠BCO=∠ECH. CG=OC,CM=CN, .∴.△OCM≌△GCN(SAS), .NG=OM, ∴.OM+BN=NG+BN≥BG, ∴.当B,N,G三点共线时，OM+BN最小 ∠BCG=90°，BC=32,CG=3, .BG=√(32)2+32=35， ∴.OM+BN的最小值为3√3. (3)如解图2，设EP交AB于F,连接CB,作FW⊥ BC于W. E(1,-4), ∴.F(1,0). A(-1,0), ..OA=OF. .OC⊥AF, ..AC=FC, .∠FC0=∠OCA. ∠0CB=45°， ∴.∠FC0+∠BCF=45. ∠0AP+∠0CA=45°， .∠OAP=∠BCF BF=0B-0F=2,∠0BC=45°， ∴FW=BW=√2. BC=32, .CW=BC-BW=2√2， '.tan OAP tan LBCF=, PF 1 2 PF=2AF=1,P(1,) 当点P在x轴下方时，由对称性可得P'(1,-1). 综上所述，点P的坐标为(1,1)或(1，-1) H DA G 图1 图2 第7题解图 参考答案 2 8.解：(1)把点A(-2,0),C(0,4)代入y=ax2+ +c(a≠0)， 得4a-号+c=0 4 2 解得 a=- 3 Ic=4 lc=4 22 心抛物线的解析式为y三-3x+3x+4 (2)如解图1，过点D作DF∥AB交BC于点F, 当y=0时，有-号+子+4=0， 2 解得x1=-2,x2=3, B(3,0), 设直线BC的解析式为y=kx+b, 代入点B(3,0),C(0,4), 得/3张+60 b=4 4 k=一3 解得 b=4 直线BC的解析式为y=一号+4， 设点D的横坐标为，则D(,-子+子+4)， 3 -，-++4 2 A(-2,0),B(3,0) AB=5. :DF∥AB, .△DEF∽△AEB, DF DE ·AB=AE' DE 1 5 =5DE=5 +2=1 解得t1=1,2=2, 点D的坐标为(1,4)或(2，号： 0 图1 图2 第8题解图 (3)存在点P,使tan LMBP=2, 1 新疆数学 ①如解图2，当PB在MB上方时，过点M作IM⊥ MB交PB于I,过I作IJ⊥y轴于J, 则m∠MB=品=子 :∠JMI+∠JIM=90°，∠JMI+∠OMB=90°， ∴.∠JIM=∠OMB. 又.：∠IJM=∠MOB=90°， ∴.△MI△BMO, IJ JM IM ÷M0-OB-MB' =2 IJ JM 1 W=2M=3 1 2 01=M+0w=克 分， 设直线BI的解析式为y=mx+n, 代人点B3,0),分2， r3m+n=0 得{1 5 2mtn=2 解得m1 ln=3, ∴.直线BI的解析式为y=-x+3, 联立 =号+号4 轮重 2 y=-x+3 1 题型培优 解得 x=-2x=3 或 7 (不合题意，舍去)， y=2 y=0 此时点P的坐标为(-分，子》： ②如解图2，当PB在MB下方时，过点M作KM⊥ MB交P'B于K,过K作KL⊥y轴于L, 同理可得，点P的坐标为(-引忌， 综上所述，点P的坐标为(-，子)或(-沿 4 73、 98 9.解：(1)，抛物线顶点横坐标为-1， 由顶点公式=会中6=-2，即一2是-山， ∴.a=-1, .抛物线的表达式为y=-x2-2x+3. (2)当y=0时，-x2-2x+3=0,即x2+2x-3=0, 解得x=-3或x=1,故A(-3,0), 当x=0时，y=3, 参考答案 35 故B(0,3), 设直线AB的表达式为y=x+b, 将点A(-3,0),B(0,3)代入， 得3张+6= 1b=3 解得1 1b=3 .直线AB的表达式为y=x+3, 向上平移m个单位长度后，直线的表达式为 y=x+3+m, 与抛物线y=-x2-2x+3联立：-x2-2x+3=x+ 3+m, 整理得x2+3x+m=0, 抛物线与直线有交点时，4=32-4×1×m=9-4m ≥0， 解得m≤} 又m>0, 9 “m的取值范围为0<m≤4 (3)存在，点P的横坐标为-2， -3+17-3-17 2 2 10.解：(1)令x=0,则y=3,可得C的坐标为(0,3). 令y=0,则-x2+2x+3=0,解得x=-1或x=3. 故点B的坐标为(3,0)， 轮重难 设直线BC对应函数的表达式为y=kx+b, 放6=3， 解得-1， 13k+b=0. b=3. 型 ∴.直线BC对应函数的表达式为y=-x+3. (2)不存在实数m使得y1+2y2=10,理由如下： 方法一：把M(m,y1),N(m+2,y2)代入二次函数 y=-x2+2x+3中， 可得y1=-m2+2m+3,y2=-(m+2)2+2(m+ 2)+3=-m2-2m+3, .y1+2y2=-m2+2m+3+2(-m2-2m+3)= -3m-2m+9=-3(m+号2+9 3 .-3<0 故当m=-弓时，六+2，有最大值，最大值为 9g≠10 故不存在实数m使得y1+2y2=10; 方法二：由方法一得y1+2y2=-3m2-2m+9. 当y1+2y2=10时，即-3m2-2m+9=10,整理可 得3m2+2m+1=0. ,△=4-12=-8<0 .方程没有实数根。 ∴.不存在实数m使得y1+2y2=10. m号或ml 2 36 新疆数学 题型四几何综合探究题 考向1点的对应关系不确定 例1解：AB=AC=12cm,BC=8cm,D为AB的 中点， BD=2×12=6cm 设点P,Q的运动时间为ts, BP =2t cm,PC=(8-2t)cm. .·AB=AC, .∠B=∠C. ①当△BDP≌△CPQ时，BD=PC,BP=CQ, .6=8-2t,解得t=1, .BP=CQ=2, .点Q的运动速度x=2÷1=2(cm/s); ②当△BDP≌△CQP时，BP=PC,BD=CQ=6, .BC=8 cm, .'BP =4 cm, ∴.6=4÷2=2(s), ∴.点Q的运动速度x=6÷2=3(cm/s) 综上所述，x的值为2或3. 变式1解：：在矩形ABCD中，AB=8,AD=3,E为 CD的中点，PQ⊥AE, .DE=4,∠D=∠PQE=90°， .AE=√AD+DE=5. ①当△PQE△ADE时， 器器 9-9即0s-P0 ~24D.AD=4EP0, .PQ-3AP. :在Rt△APQ中，AQ2+PQ2=AP2, (5-QE)2+PQ2=AP2, (5-号P0)2+Pg=AP, 5-音×号4P+(号p2=aP, 解得P-瓷 ②当△PQE△EDA时， ·品器 0s-子P0, 由①得P0=子AD, 在Rt△APQ中，AQ+PQ2=AP2, (5-×4PP+(3P=AP, 解得AP=4或P=-9(合去)， 综上所述，AP的长为或4 参考答案