类型1 与圆性质有关的证明与计算-【练客中考】2026年新疆新中考数学二轮重难题型培优

题型二与圆有关的证明与计算（必考） 类型1与圆性质有关的证明与计算(2024.22) 例1(2025乌鲁木齐校级模拟)如图，四边形ABCD内接于Q0°，对角线 题干解读 AC,BD交于点E,AC为⊙0的直径®，∠BCA=2∠ACD® ①对角互补； (1)求证：BC=CE; ②∠ABC=LADC=90°； (2)若⊙0的半径为，BC=4,求线段DC的长。 AB =2 AD. 解题突破点 B (1)逆向分析：BC与CE 共三角形→证等腰，尝试 找等角>利用倒角可证 等角； 例1题图 (2)逆向分析：①求DC 的长，利用勾股定理，需 知AD,AC(由半径可求) 的长； ②利用△BCE∽△ADE> BC=BE 4=BE ADAE今AD ,可设 AD=x,则BE=4 ③由BC=CE>过点C作 CT⊥BE于，点T△ECT AACD→Eg=BC AD= AC' 2 即臣-手（中0）的位 →由勾股定理即可求得 DC的长. 新疆数学二轮重难题型培优 23 针对训练 1.如图，三角形ABC内接于⊙O,AB=AC,连接3.如图，AB为⊙0的直径，AE是⊙0的弦， BO并延长交AC于点E,交⊙O于点D,连接 DE=BD,DF⊥AB于点H,交⊙0于点F,连 AO,AD,CD. 接BD,EF,EF交AB于点G (1)求证：A0∥CD; (1)求证：∠B=∠E; (2)若CD=6,anL0AB=3,求AE的长 (2)若BH=3,BD=5,求EF的长. E 第1题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，D是AB上一点，以BD为 直径作⊙0，且点C在⊙0上，⊙0与AC相 交于点E,F为⊙O上一点，点F与点C在直 线AB的两侧，连接BF,CF,DF,ED,CF与 BD相交于点G,∠CFD=∠A. (1)求证：DA=DE; (2)若点F是BFD的中点，cos∠DEA=4 ’ FD=5√2，求FG和AD的长. 第2题图 24 新疆数学二轮重难题型培优题型五与三角形有关的证明与计算 (含尺规作图) 1.证明：略。 2.证明：略. 3.(1)证明：略. (2)解：CE=3. 4.（1)证明：略. (2)解：作图略. 5.解：(1)作图略。 (2)补全图形略，四边形ABCD为矩形.证明略 6.(1)解：∠DCE=60°. (2)证明：略. 7.(1)解：作图略 (2)证明：略 8.(1)解：作图略. （2)证明：略 题型六与四边形有关的证明与计算 (含尺规作图) 1.解：略. 2.解：(1)作图略. (2)22.5. 3.（1)解：作图略 (2)证明：略 4.证明：略. 5.(1)解：AP=AB;AQ平分∠PAB. (2)证明：略 6.(1)证明：略 (2)解：当△ADC满足∠ADC=90°时，四边形 第二部分新到 题型一选填压轴题 例161.（7,8,6)2.4564例2C3.C 4D例3D5A6号或4例4B 7.B8.B9.D例51710.B11.27 12.V10913.25例6205 19 14.A 1525162或2例745-417.A 18.5519.23-2或2例83-1或5+1 2 20.2或2521.①28④22.号 题型二与圆有关的证明与计算 例1(1)证明：略. (2)解：如解图，过点C作CT⊥BE于点T, :©0的半径为好 ∴.AC=5, 新疆数学 OCFD为正方形.理由略。 7.证明：略. 8.（1)证明：略 (2)解：Sacr=85. 题型七解直角三角形的实际应用 1.解：红山塔的高度AB约为10.6m 2.解：该风力发电机塔杆AB的高度约为32m 3.解：月球与地球之间的近似距离PH约为38万 千米. 4.解：内栏墙围成泉池的直径BC的长约为17米. 题型八统计图（表）的分析 1.解：(1)8.5,8. (2)乙 (3)他说得不对，理由略. 2.解：(1)补全频数分布直方图略. ②700. (2)B. (3)不同意小亮同学的说法，因为样本不具有代表 性，不能反映出八年级和九年级的情况 3.解：(1)20,15. (2)建议略。 (3)画树状图略.P(抽取的智能机器人恰是同一型 号智能机器人)=了 艳 4.解：(1)①n=26.②补全折线统计图略.乙组的成 绩比较稳定 (2)n的最大值为24. 题型 (3)25(答案不唯一) 重难题型攻关 设AD=x, 由(1)可知BC=CE=4, E7=7E,LECT=7∠BCA, AE=AC-CE=5-4=1. ∠BCE=∠ADE,∠BEC=∠AED, .△BCE∽△ADE, 小恶能华 x 1, E=专bT=分服=子 AC为⊙0的直径，CT⊥BE, .∠ADC=∠ETC=90°， :∠BCT=7LBCA,∠BCA=2LACD, .∠ECT=∠ACD, .△ECTM△ACD, 2 7-C,即x=4 AD-AC' 参考答案 25 解得=（负位巴合。 经检验，x= 是分式方程的解， 2 AD=x= 2, 在R△ACD中，AD=10, 2,4C=5, 由勾股定理，得DC=√AC-4D=30 2 例1题解图 1.(1)证明：如解图，延长A0交BC于点F. :AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB, :AB=AC,即点A为BAC的中点. :A0是⊙0的半径， .AF⊥BC, ∴∠AFB=90°. :BD是⊙O的直径， .∠BCD=90°，.AO∥CD. 一轮重难题型培优 第1题解图 (2)解：由(1)易得0F=2CD=3. tan LOAB=2=AF 1 BF 设BF=x,则AF=2x, ∴.0A=0B=2x-3. BF2+0F=0B2, ∴.x2+32=(2x-3)2, 解得x=4或x=0(舍去)， ∴.BF=4,AF=8,0A=5, .AC=AB=BF2+AF=√42+82=45. AO∥CD,.△AOE△CDE, 器-隐-名 服晶c-29 2.（1)证明：：∠CBD+∠CED=180°，∠DEA+ ∠CED=180°， ..∠CBD=∠DEA」 :∠CFD=∠A,且∠CFD=∠CBD=∠DEA, ∴.∠A=∠DEA, 26 新疆数学 ∴DA=DE. (2)解：如解图，连接CD,作CL⊥BD于点L,则 ∠BLC=90°， BD是⊙O的直径， .∠BFD=∠BCD=90°， 点F是BFD的中点， .FB=FD, .FB=FD=52, .BD=√FB2+FD=10, 由(1)得∠A=∠CFD=∠CBD=∠DEA, 小0-8S=s∠0D=sLD4-专，4c=nC, ∴BC=号BD=号×10=8，AL=BL, 以-专8C=号×8=是，cD=Bn-BC- √102-82=6， AB-2m-2×号-号 5A0=AB-m-g-10- 5 ∠CBG=∠CFD,∠BCG=∠FCD, △C6△0n,%-8% .CG·FC=BC·CD=8x6=48, :∠FBG=∠FCB,∠GFB=∠BFC, .△GFBM△BFC, 路聪 .FG·FC=FB2=(52)2=50, ∴.CG·FC+FG·FC=FC·(CG+FG)=FC2= 48+50=98, .FC=7√2或-7√2（不符合题意，舍去）， 72FG=50,.FG=252 7 FG的长是252，AD的长是 第2题解图 3.(1)证明：AB为⊙0的直径，且DF⊥AB于点H, .AD=AF,.∠B=LE. (2)解：如解图，连接OD,AD,AD交EF于点M,设 ⊙0的半径为r, .0B=0A=0D=r,AB=2. DF⊥AB,BH=3,BD=5, .在Rt△BDH中，DH=√BD2-B=4, 参考答案 .∴.FH=DH=4, .在Rt△ODH中，OD=r,OH=OB-BH=r-3, DH=4, 由勾股定理，得OD2=O+DH, 即2=(r-3)2+42, 解得名 4B=2-3 由题意知DE=BF .∠F=∠BDH. 在△FHG和△DHB中， r∠F=∠BDH FH=DH ∠FHG=∠DHB=90° .△FHG≌△DHB(ASA), ∴.FG=BD=5,GH=BH=3, AG=AB-6H-阴=答-3-3= 7 :AB为⊙0的直径， .∠ADB=90°，即AD⊥BD .:∠F=∠BDH, .EF∥BD, .AD⊥EF,易得AE=AG, .GM=EM,即GE=2GM. EF∥BD,.△AGM△ABD, 7 小影怨即学 5=25 3 ∴.GM=,.GE=2GM=l4 5 ∴EF=GE+FG=4+5=39 E 第3题解图 例2(1)证明：AP,BP分别切⊙0于点A,B, .OP平分∠AOB, LA0P=分∠A0B 又：∠ADB=7LA0B, ∴.∠ADB=∠AOP. (2)解：如解图，延长A0交⊙0于点F,连接DF,则 ∠ADF=90°， ·AP,BP分别切⊙O于点A,B, ..PA⊥OA C为OP的中点，.PC=OC, 新疆数学 4c=0c=20R 又：AP=10,tan LA0P=A2-=1 A0=2 .A0= (an ZAOP 20,OP AO +AP= AP V20+10=105AC=0C=20p=55, AF=2A0=40 .·AC=OC .∠CA0=∠A0C. 又：∠PA0=∠ADF=90°， .△PA0∽△FDA,.AF=DA' OP AO ·DA=20 ×40=16W5,.CD=DA-AC=11√5. 105 :∠AOP=∠ADB,∠ACO=∠ECD, .△ACO△ECD, 0t-8%DE=15x20=44 OA OC 55 E B 例2题解图 4.(1)证明：如解图，连接0C. CF=CA,.LEBC=LABC. OB=OC,.∠OCB=∠ABC, ∴.∠OCB=∠EBC, .OC∥BE. ED为⊙O的切线， 轮重难题型培优 .OC LDE, ∴.DE⊥BE. 0 第4题解图 (2)解：Dc=号C, ∴.设EC=3a,则DC=5a, .DE=8a, 设⊙0的半径为r,则AB=2r,OD=DA+OA=2+ r,DB=2+2r, 由(1)可知，0C∥BE, .∴.△DCO∽△DEB, DC OD OC 5a 2+r DE-BD=BE8o-24201 ∴.r=3, .⊙0的半径为3， AB=6,DB=8.8=BE' 53 参考答案 27 ·BE=24 5.（1)证明：如解图，连接OD, :直线DE与⊙0相切于点D,AC⊥DE, ∴.∠ODE=∠DEA=90° .∠ODE+∠DEA=180°， .OD∥AC, ∴∠ODA=∠DAC. .0A=0D, .∠OAD=∠ODA, ·.∠DAC=∠OAD, AD平分∠BAC. 第5题解图 (2)解：AC⊥DE于点E,AB是⊙O的直径， .∠DEF=∠ADB=90° :∠EFD+∠AFD=180°，∠AFD+∠DBA=180°， .∠EFD=∠DBA, .△EFD∽△DBA, EF DF 小DB-AB .DB·DF=EF·AB 轮重 由(1)知，∠FAD=∠DAB, .DF=DB, 题型培优 DF2=EF·AB. .DF=3,AB=5, .9=5EF, BF=号 6.(1)证明：如解图，连接BF,则∠ABF=∠ADC. :AB是⊙0的直径，AC与⊙0相切于点A, .AC⊥AB ∴.∠CAB=∠AFB=90°， ∴.∠FAC+∠FAB=90°，∠ABF+∠FAB=90°， ∴.∠FAC=∠ABF=∠ADC. .AC=AD,.∠C=∠ADC, ∴.∠FAC=∠C. :∠FAE+∠FAC=90°，∠FEA+∠C=90°， ∠FAE=∠FEA, .AF EF. D 第6题解图 (2)解：如解图，连接OF,则OF=OA=0B, .∠OFA=∠FAE=∠FEA: 28 新疆数学 .∵∠OAF=∠FAE, △0A△HE0-0 AF2=OA·AE. A5=sin∠ABF=sin∠ADc=simC3 .AB =3AF =20A AP=号0A y06=Ac=01 2, (子02=0A(0A-3. 解得01=号或01=0（不符合题志，合去）， AB=20A=9,0F=0M-是 cP=a=BR=号×}=34c=号-3-2， ∴.CE=2CF=6, .AC=√CE2-AE=√62-22=4√2，FB= √AB2-AF产=√2-32=6√2. ∠ADC=∠OBF,∠C=∠ADC,∠OFB=∠OBF, ∴.∠C=∠OFB, .△ADC△OBF, 小0品 CD=FB:AC_62×42_32 OF 9 -3 2 例3(1)证明：如解图，连接0D, ∴.OB=OD, .∠DBA=∠BDO, AB为⊙0的直径， .∠BCA=∠BDA=90°， 在Rt△BCA和Rt△BDA中， [BA=BA BC BD' .Rt△BCA≌Rt△BDA(HL), .∠CBA=∠DBA. :∠ADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO, .∠ADE=∠BDO. :∠BDO+∠AD0=∠BDA=90°， .∠ADE+∠AD0=90°， 即ED⊥OD. 0D为⊙0的半径， .ED是⊙O的切线. D E B 例3题解图 参考答案 (2)解：.B0=4, AB=2B0=8, .∴.EB=AE+AB=AE+8. 1 tan L CBA=2.LCBA=LDBA, 1 .tan∠DBA= 2 在Rt△ABD中，tan∠DBA=A0=L -BD-2 ∠ADE=∠DBA,∠E=∠E, ∴.△EAD△EDB, ED AE AD ·EB-DEDB' 即，ED=AE、1 AE+8=DE=2, AE-ED.2ED-AE+8. 2ED-ED+8 D-9 7.(1)证明：如解图，连接0C. .OA=OC, .∴.∠OAC=∠OCA. .·AC平分∠DAB, .∠OAC=∠DAC, .∠DAC=∠OCA, .OC∥AD..·CD⊥DA,∴.OC⊥CD 0C为⊙0的半径， .CD是⊙O的切线。 D 第7题解图 (2)解：如解图，设OC交BF于点H, .·AB为⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∴AB=√AC2+BC=√(2V2)2+22=25. .CD⊥DA, .∠ADC=90°， .'.∠ADC=∠ACB .∠DAC=∠CAB .△ADC∽△ACB CD AC22.CD2 BC=AB232=5 CD=26 3 8.(1)证明：如解图，连接OC .·∠CBD=∠ACD ∴.∠A+∠ACB=∠ACB+∠BCD, .∴.∠A=∠BCD. 新疆数学 .OA=OC, .∠A=∠AC0, ∴.∠ACO=∠BCD. AB为⊙O的直径 ∠ACB=90°， ∴.∠AC0+∠BC0=90°， .∠BCD+∠BC0=90°， ∴.∠0CD=90°，∴.0C⊥CD. :0C是⊙0的半径， .CD是⊙O的切线. 第8题解图 (2)解：OE⊥BC于点E, .CE=BE..AO=OB, 50i=24c=7x8=4, 1 .OF=OE +EF =5. .·OF⊥CE,OC⊥CF ∴.∠OCF=∠CE0=∠CEF=90°， ∴.L0CE+∠C0E=∠OCE+LECF=90°， ∴.∠COE=LECF, △0CE∽△CFE,.FE=CE, CE OE ∴.CE=√OE·FE=√4×1=2， .BC=2CE=4, .AB=√AC2+BC=45, .0A=0B=0C=25. 轮重难题型培优 .·∠ACB=∠OEB=90°， .OF∥AC, ∴.△OFD△ACD, OF OD,5 25+BD AC=AD心8=45+BD1 BD=45 3 sin L ADC=OC -25 OD 25+455 3 9.(1)证明：如解图，连接OC.点E是ACB的中点， .AE=BE. .OD LAB .∠B+∠BF0=90. DC=DF,.∠DCF=∠DFC, .·∠BFO=∠DFC, ∴.∠DCF=∠BFO, ∴.∠B+∠DCF=90. .OC=OB .∠B=∠BCO, .∠DCF+∠BC0=90°， 参考答案 29 即∠DC0=90°. :0C是⊙0的半径， .PC是⊙0的切线. 第9题解图 (2)解：ranL0BF=0E=1 Γ0B-2 .设0F=x,则0B=2x, 0E=0B=0C=2x,.EF=x, DC=DF=1+x,0D=2x+1. .·DC2+0C2=0D .(x+1)2+(2x)2=(2x+1)2 解得x=2或x=0(不符合题意，舍去)， .0A=0C=4,0D=5,DC=DF=3. :∠0CP=∠OCD=∠P0D=90, .∠P+∠P0C=∠P0C+∠D0C=90°， .∠P=∠D0C, .△0CD∽△PC0,. %-9%…-是 .PC- 一轮重 oP-0 PA=0P-0A=20-4= 3 31 题型培优 题型三 二次函数综合题 例解：(1)-5，-1. (2)依题意得-m=x2+2mx-2m+3,整理得x2+ 2mx-m+3=0, 故a,b是其两实数根， ∴.a+b=-2m,ab=3-m, 又b=7a, [8a=-2m {7a2=3-m 整理，得7m2+16m-48=0, 解得m-4或n号（不特合超意，合去）： ∴.a=1,b=7,图象f的对称轴为直线x=4, 1≤x≤7， .当x=1或x=7时，y最大， y最大=x2-8x+11=72-56+11=4, 当x=4时，y最小=-5. ∴.最大值与最小值的差为4-(-5)=9. (3)①.y=x2+2mx-2m+3=x2+2m(x-1)+3, ∴.当x=1时，无论m为何实数，都有y=4, 即定点坐标为(1,4)； ②当0≤x≤2时，图象f的对称轴与x轴的交点横 坐标不能大于0小于2.理由如下： :y=x2+2mx-2m+3=(x+m)2-(m2+2m- 30 新疆数学 3), .图象f的对称轴为直线x=-m, 当0≤-m≤2时，抛物线开口向上， 在0≤x≤-m时，y随x的增大而减小， 函数在-m≤x≤2时y随x的增大而增大， 当x=0时，y有最大值， y最大=0+2m×0-2m+3=9, 解得m=-3,抛物线对称轴为直线x=3, 当x=2时，y有最大值， y最大=4+2m×2-2m+3=9, 解得m=1,抛物线对称轴为直线x=-1, .图象f的对称轴与x轴的交点横坐标不在大于0 小于2的范围内. 由于抛物线开口向上，对称轴为直线x=-m< 0时， 函数在0≤x≤2时y随x的增大而增大， .当x=2时，y有最大值，y大=4+2m×2-2m+3 =9， 解得m=1,抛物线对称轴为直线x=-1符合 题意， 当对称轴为直线x=-m>2时，函数在0≤x≤2时 y随x的增大而减小， 当x=0时，y有最大值，y大=0+2m×0-2m+3 =9, 解得m=-3,抛物线对称轴为直线x=3符合 题意， .定点(1,4)到直线x=3和直线x=-1的距离 是2. 1.解：(1)将A(-1,5),B(2,-1)代入y=ax2+bx -1, 公51得8之 1b=-4’ ∴.抛物线的解析式为y=2x2-4x-1. (2)由抛物线解析式可知对称轴为直线x=1. .2<x1<3, .x1关于对称轴对称点x,'范围为-1<x,′<0， 要满足在对于2<x1<3,m<x2<m+1,都有y1 >y2, 则m≥0 lm+1≤2' .0≤m≤1； (3):点D横坐标为3， .yn=2×9-4×3-1=5, .D(3,5), 令x=0,得y=-1, .C(0,-1), 设直线CD的解析式为y=x+n,将C(0,-1), D(3,5)代入， 利5解2 ln=-1' ∴.直线CD的解析式为y=2x-1, 由题可知图象G的解析式为y=2x2-4x-1+t (-1≤x≤2，t>0), 参考答案