2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“二次函数、一元二次方程与不等式”核心内容，通过商场利润问题（售价x元时利润≥200元）建立实际情境，引出一元二次不等式，再回顾二次函数图像与方程根的关系（Δ与x轴交点），搭建三者联系的探究支架。 此资料以“情境—探究—应用”为主线，情境导入体现“用数学眼光观察现实世界”，通过y=x²-2x-3图像分析解集培养“数学思维”，摩托车创收问题落实“数学语言表达现实世界”。分层作业满足不同需求，助力学生发展抽象与推理能力，为教师提供清晰流程与实例支撑。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 2.3 二次函数、一元二次方程与不等式 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 理解一元二次不等式的概念，能准确识别一元二次不等式。 2. 掌握二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系，能利用二次函数图象求解一元二次不等式。 3. 掌握一元二次不等式的求解步骤，能求解形如ax2 + bx + c > 0或＜0、≥0、≤0的不等式。 教学内容 教学重点：1.二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系； 2.一元二次不等式的解法。 教学难点：1.理解二次函数图像与一元二次不等式解集之间的对应关系； 2.含参数的一元二次不等式的初步处理（简单参数情况）。 教学过程 1、 情境导入 1.提出实际问题：某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件时，每天可卖出（100 - x）件。设每天的利润为y元，若每天的利润不低于200元，求售价x的取值范围。 2.引导学生分析问题：利润=（售价-进价）×销售量，因此y = (x - 20)(100 - x)。利润不低于200元，即(x - 20)(100 - x)≥200。 3.整理不等式：展开并移项可得-x2 + 120x - 2200≥0，两边同乘-1（注意不等号方向改变）得x2 - 120x + 2200≤0。 4.引出课题：像这样只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式。今天我们就来学习如何求解一元二次不等式，以及它与二次函数、一元二次方程之间的关系。（板书课题：2.3 二次函数与一元二次方程、不等式） 2、 新知探究 1.回顾旧知，铺垫探究 （1）提问学生：回顾二次函数y =ax2 + bx + c（a≠0）的图像是什么形状？它与x轴的交点由什么决定？ （2）学生回答后，教师总结：二次函数的图像是抛物线，当Δ= b2 - 4ac > 0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ=0时，有一个交点（顶点在x轴上）；当Δ< 0时，没有交点。交点的横坐标就是一元二次方程ax2 + bx + c= 0的实数根。 （3）投影展示具体例子：二次函数y = x2 - 2x - 3，求解方程x2 - 2x - 3 = 0，并画出函数图像的草图，标注与x轴的交点。（学生动手计算，教师巡视指导） 2.探究特殊二次函数与一元二次不等式的关系 以二次函数y = x2 - 2x - 3为例，引导学生探究以下问题： （1）方程x2 - 2x - 3= 0的根是什么？（学生回答：x1 = -1，x2 = 3） （2）观察函数图像，当x取哪些值时，y = 0？y > 0？y < 0？（小组讨论，结合图像分析） （3）小组代表发言后，教师总结：当x = -1或x = 3时，y = 0；当x < -1或x > 3时，抛物线在x轴上方，y > 0；当-1 < x < 3时，抛物线在x轴下方，y < 0。 （4）对应到不等式：①x2 - 2x - 3= 0的解集是{-1, 3}；②x2 - 2x - 3 > 0的解集是(-∞, -1)∪ (3, +∞)；③x2 - 2x - 3 < 0的解集是(-1, 3)。 3.探究一般二次函数与一元二次不等式的关系 （1）对于一元二次不等式 或 （其中 ），我们可以通过以下步骤求解： ①解对应的一元二次方程 ，求出其根（即函数的零点）； ②根据判别式 的符号，判断方程根的情况，从而确定二次函数图象与 轴的位置关系； ③结合图象，分析函数值的正负区间，进而写出不等式的解集。 特别地，当时，二次函数图象开口向上，根据的情况，引导学生分三种情况讨论： 若 ，方程有两个不相等的实数根 （设 ），则： 的解集为 ； 的解集为 。 若 ，方程有一个实数重根 ，则： 无解，解集为空集； 的解集为 。 若 ，方程无实数根，图象始终在 轴上方，则： 无解； 的解集为全体实数R。 （2）提问：若a < 0，如何求解一元二次不等式？（引导学生思考：可先将不等式两边同乘-1，转化为a > 0的情况，注意不等号方向改变。 （3）师生共同总结：求解一元二次不等式的核心是“数形结合”，关键是先判断二次项系数的符号、计算判别式、求出方程的根，再结合函数图像确定不等式的解集。 以上规律可通过表格形式归纳（如教材表2.3-1所示），帮助我们系统掌握一元二次不等式的解法结构。 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a>0) 的根 有两相异实根,(<) 有两相等实根= 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 R ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 对于a>0的情况，可简记为：大于0取两边，小于0取中间。 3、 典例分析 例1 求不等式 的解集。 解：方程 ，所以方程有两个根，解得 画出二次函数的图象，结合图象的得不等式 的解集为： 总结：①先求对应方程 的实数根； ②根据二次项系数 的正负判断抛物线开口方向； ③利用图像确定函数值大于零或小于零的区间； ④写出不等式的解集，注意区间的开闭性。 例2 求不等式 的解集。 解：方程，，解得方程有两个相等的实数根 画出二次函数的图象， 结合图象得不等式 的解集为： 例3求不等式 的解集。 解：不等式可化为 因为，所以方程0没有实数根。 画出二次函数的图象，结合图象得 不等式的。 所以原不等式 的解集为。 例4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线。这条流水线生产的摩托车数量 （单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下关系： ， 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？ 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产x辆摩托车，根据题意，得 移项整理，得 对于方程，，方程有两个实数根 画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为。 因为x只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生辰的摩托车数量在51-59辆时，这家工厂能够获得6000元以上的收益。 总结：解决实际问题 ①建立数学模型，列出不等式； ②化为标准形式并求根； ③结合图像确定解集区间； ④根据实际背景（如整数、正数等）进行合理取值。 练习：求下列不等式的解集 （1）；（2）；（3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 四、课堂小结 1. 引导学生回顾本节课的核心内容： （1）一元二次不等式的定义； （2）二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的三者关系（数形结合思想）； （3）一元二次不等式的求解步骤（一判、二算、三求、四定）； （4）实际问题与一元二次不等式的结合。 2. 强调数学思想方法：数形结合、转化与化归、从特殊到一般。 五、课后作业 1. 基础作业：教材第55页习题2.3第1、2、3题； 2. 提升作业：（1）求解不等式(x - 1)(x + 2)(x - 3) > 0（尝试用数轴穿根法）； （2）某工厂生产的产品每件成本为10元，售价为x元，每月销售量为(200 - 5x)件，若每月获利不低于1500元，求售价x的取值范围。 3. 预习作业：预习含参数的一元二次不等式的解法。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $