20.1.3利用勾股定理作图与计算（教案）--2025-2026学年人教版数学八年级下册

课题

20.1第3课时   利用勾股定理作图与计算

授课人

教学目标

1.会运用勾股定理在数轴上画出并表示无理数，进一步理解感受数轴上的点与实数一一对应；了解利用勾股定理证明HL定理.

2.进一步理解数学中的数形结合思想，转化思想，学会运用勾股定理解决实际问题.

3.培养学生的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值.

教学重点

运用勾股定理在数轴上标出表示无理数的点，运用勾股定理解决实际问题.

教学难点

无理数也能在数轴上表示出来，理解数轴上的点与实数是一一对应的.

授课类型

新授课

课时

1

教学步骤

师生活动

设计意图

复习导入

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么  a2＋b2＝c2  ．

填空：在Rt△ABC中，∠C＝90°．

      1．若a＝3，b＝4， 则c ＝  5  ；

      2．若a＝2，c＝3， 则b ＝    ；

      3．若c＝13，b＝5，则a ＝  12  ．

如图，已知点 A(4，5)，则OA＝    ；以点O为圆心，OA为半径作弧，则这条弧与x轴正半轴的交点坐标为  （，0）  ．

通过回顾旧知为学习新知做好准备.

探究新知

1.数轴上的无理数

在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

对“斜边直角边”判定定理，从画图感

已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中， ∠C =∠C′ = 90°，AB = A′B′，AC = A′C′．

求证：△ABC≌△A′B′C′．

证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，

根据勾股定理得,

∵ AB=A′B′，AC=A′C′
    ∴ BC=B′C′
    ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS)

点A表示的数字为－2   点B表示的数字为－1

点C表示的数字为1     点D表示的数字为2

实数数轴上的点

那么如何在数轴上表示无理数呢？

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？

能画出长为的线段，就能在数轴上画出表示的点．

能否用勾股定理解决这个问题？

（1）长为的线段可以是直角边长为正整数的直角三角形的斜边吗？

（2）如果可以，直角边的长分别为多少？

直角边的长分别为2，3．

步骤：

1.在数轴上找到点A，使OA＝3；→定点A

2.作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB＝2；→作垂线，定点B

3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则

知上升到严谨证明，感受勾股定理在几何证明中的作用.通过勾股定理构造适当的直角三角形，其斜边长表示某个无理数，进而可以将其表示在数轴上．感受勾股定理在数学中应用的广泛性，培养学生发现和提出问题的能力.

点C即为表示的点．→画弧，定点C

类比上面的方法，在数轴上画出表示，，，的点．

画长为的线段

当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，

即， 依此类推，可以画出长为，，，， ⋯的线段．

利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法：

1.利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边；

2.以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点．

教师提醒：原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无