（单元自检）第二单元 因数和倍数（高频常考易错题单元提升二）-2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测（人教版）

开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第二单元 因数和倍数（高频常考易错题单元提升二） 一、填空题（共20分） 1．（2分）一个数最大因数和最小倍数的和是36，这个数是（ ），它有（ ）个因数。 2．（2分）亮亮和点点玩猜数游戏，亮亮说：“我的这个数是个两位数，是一个奇数，且只有3个因数。”点点说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是201”。亮亮说的这个数是（ ）。点点说的这个数是（ ）。 3．（2分）同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长（ ）cm。 4．（2分）小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是（ ）岁。 5．（2分）李茜、王妙、江泽三人今年的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是27岁，她们中最小的是（ ）岁，最大的是（ ）岁。 6．（2分）表示一个四位整数，那么（ ）；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝（ ）。 7．（2分）截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（ ）辆。 8．（2分）它们两个是质数兄弟，且是紧挨着的两个自然数。它们分别是（ ） 和（ ）。 9．（2分）一个运算程序的运算规则如下图所示。如果输入48，那么结果是（ ）；如果输入了一个数，结果是53，那么这个数是（ ）。 10．（2分）六一儿童节，妈妈给姐弟两人共发了61元的红包。如果姐姐领到的红包数是奇数，那么弟弟领到的红包数是奇数还是偶数？（ ）。 二、判断题（共10分） 11．（2分）3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。（ ） 12．（2分）6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28也是完美数。（ ） 13．（2分）10个完全相同的乒乓球上分别写着数字1～10，从中任意拿出1个，如果是奇数，丫丫赢；如果是偶数，聪聪赢，这个游戏是公平的。（ ） 14．（2分）在三位数4□0的方框里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有2种填法。（ ） 15．（2分）如果“36和a都是9的倍数”，那么“36＋a”的和是合数；如果“a＋3”的和是奇数，那么a是偶数。（ ） 三、选择题（共10分） 16．（2分）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 17．（2分）在数0、25、64、70、671、248、165、77、88、9中，偶数的个数是（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．（2分）在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 19．（2分）有一道有余数的除法算式：A÷B＝C……R。若B是最小的合数，C是最小的质数，则A最大是（    ）。 A．8 B．9 C．10 D．11 20．（2分）在2，5，6，9，13，51，90这些数中，既是奇数又是合数的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 四、操作题（共6分） 21．（6分）一个长方形的面积是30cm2，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有哪些？在方格纸上画出来，并写出30的全部因数。（每个小方格的边长表示1cm） 30的全部因数：（    ）。 五、解答题（共54分） 22．（6分）学校鼓号队进行鼓号操表演，一共有24人出场，每排人数要同样多，如果排数必须在2~12排之间，一共有几种不同的列队方式？ 23．（6分）学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 24．（6分）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 25．（6分）在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 26．（6分）自然数可分为奇数和偶数。 任意3个不同自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 任意3个不同自然数，其中一定有2个数的和是奇数。 你赞同谁的说法？请写出理由。 27．（6分）面包店制作了85个面包，有如图四种包装（每个圆处放一个面包），选哪种包装盒正好可以装完？为什么？（只选一种） 28．（6分）为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象某城市管理部门在公共区域指定了一个长方形场地作为专用停车场。规划后发现这个场地的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是32米，这个长方形停车场的面积是多少平方米？ 29．（6分）小明家的门锁是个密码锁，已知这个密码锁的密码是一个6位数，第一位上的数是最小的质数；第二位上的数是最小合数的2倍；第三位上的数是3的倍数，且是最大的一位数；第四位上的数既是5的倍数又是5的因数；第五位上的数的所有因数是1，7；第六位上的数是第一位上数的3倍。这个密码锁的密码是多少？请写出你的理由。 30．（6分）一个两位数的质数和一个两位数的合数的和、差均为奇数，并且质数、合数的个位上的数字和十位上的数字分别交换后，质数变成合数，合数变成质数。原来的质数和合数各是多少？（已知原来的质数和合数均为15~20之间的数。） 学科网（北京）股份有限公司 $ 开启智慧之门，迎接数学挑战​ 亲爱的同学： 欢迎使用《2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测》。本书专为人教版五年级下册教材设计，旨在成为你整个学期学习过程中最系统、最忠实的备考伙伴，助你从容应对从单元测到大小考的每一次挑战。 一、日常积累，单元为基​​ 我们为每个单元配备了精准的【知识梳理】和【单元复习讲义】，帮助你及时巩固新知，将零散的知识点串联成线。【单元卷】则用于检测学习成效，让你在章节学习后就能进行实战演练，做到“段段清”。​​ 二、阶段诊断，查漏补缺​​ 针对学校常规的【月考】或阶段性测验，本书设有专项训练模块。同时，我们精心提炼了【易错点梳理】，集中呈现高频错误和思维误区，让你在复习时能有的放矢，有效避免“重复踩坑”。​​ 三、冲刺备考，决胜关键​​ 本书的核心部分是针对期中、期末考试的系统规划。【期中、期末备考】部分对半册或全册知识进行整合与深化，突出重难点，提升你的综合运用能力。最后，我们提供了高仿真的【期中卷】与【期末卷】，帮助你熟悉考试节奏，进行最终冲刺。 我们坚信，优秀的成绩源于平日的扎实积累和科学的备考方法。希望你能充分利用本书的体系，将备考融入日常，做到心中有数，脚下有路。祝愿你在本学期的数学学习中，不断进步，在每一次考验中都能自信登场，取得理想的成绩！​​ 编者​乐学数学宝藏库 2025-2026学年五年级数学下册满分培优讲练测 第二单元 因数和倍数（高频常考易错题单元提升二） 一、填空题（共20分） 1．（2分）一个数最大因数和最小倍数的和是36，这个数是（ ），它有（ ）个因数。 【答案】18 6 【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是它本身，已知一个数最大因数和最小倍数的和是36，用36除以2可求出这个数，即36÷2＝18；如果a×b＝c（a、b、c都是不为0的自然数），那么a和b是c的因数，据此从1开始列举写出18的因数。 【解答】36÷2＝18 1×18＝18 2×9＝18 3×6＝18 可知18的因数有1、2、3、6、9、18，共6个。 所以一个数最大因数和最小倍数的和是36，这个数是18，它有6个因数。 2．（2分）亮亮和点点玩猜数游戏，亮亮说：“我的这个数是个两位数，是一个奇数，且只有3个因数。”点点说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是201”。亮亮说的这个数是（ ）。点点说的这个数是（ ）。 【答案】25或49 134 【分析】根据因数一般是成对出现的，而亮亮说的数只有3个因数可知，亮亮说的数可以写成两个相同的数相乘的形式，且这两个相同的数是质数，故两位数中只有5×5＝25和7×7＝49满足条件，即亮亮说的数是25或49。因为一个数最大的因数是它本身，且也是第二大的因数的倍数，201＝3×67＝67＋2×67，所以点点说的这个数是2×67＝134。 【解答】亮亮和点点玩猜数游戏，亮亮说：“我的这个数是个两位数，是一个奇数，且只有3个因数。”点点说：“我的这个数，最大的因数和第二大的因数加起来，和是201”。亮亮说的这个数是25或49。点点说的这个数是134。 3．（2分）同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长（ ）cm。 【答案】26 【分析】根据题意可知，两个长方形的周长相同，面积不同；长方形长和宽的数值都是其面积数值的因素，求出42和36的因数对（写成乘法形式）中，找出“长＋宽”相等的组合，一组“长＋宽”就是绳子长度的一半，再乘2，即可解答。 【解答】42＝1×42＝2×21＝3×14＝6×7 36＝1×36＝2×18＝3×12＝4×9 6＋7＝4＋9＝13 13×2＝26（cm） 同一根绳子，首尾相接后既可以围出面积是42cm2的长方形，又可以围出面积是36cm2的长方形（长和宽都是整厘米数），这根绳子长26cm。 4．（2分）小精灵今年的年龄在10~20岁之间，且它的年龄既是5的倍数，又是45的因数，小精灵今年的年龄是（ ）岁。 【答案】15 【分析】解答这道题需根据5的倍数的特征找出20以内5的倍数，再找出45的所有因数，确定10到20之间5的倍数和45的因数中公有的数即可。据此解答。 【解答】根据分析： 10到20之间的5的倍数：10、15、20。 45的因数：1、3、5、9、15、45。 10到20之间公有的数：15。 所以小精灵今年的年龄是15岁。 5．（2分）李茜、王妙、江泽三人今年的年龄正好是三个连续的奇数，她们的年龄总和是27岁，她们中最小的是（ ）岁，最大的是（ ）岁。 【答案】7 11 【分析】由于是连续的奇数，相邻两个年龄相差2岁；假设最小的年龄是x岁，则另外两人的年龄分别是（x＋2）岁、（x＋4）岁。根据三个连续奇数的总和是27岁，把三人的年龄相加，和等于27，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设最小的年龄为x岁，则另外两人的年龄分别是（x＋2）岁、（x＋4）岁。 （岁） 她们中最小的是7岁，最大的是11岁。 6．（2分）表示一个四位整数，那么（ ）；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝（ ）。 【答案】 5 【分析】已知表示一个四位整数，千位上是2，表示2个1000即2×1000；百位上是a，表示a个100即a×100，十位上是5，表示5个10即5×10；个位上是0，表示0个1即0×1。 如果是3的倍数，根据3的倍数特征“一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数”，再结合a是一个奇数即可能是1、3、5、7、9，逐一验证即可。 【解答】（） 如果是3的倍数，2＋a＋5＋0＝7＋a，且a是一个奇数，那么： 当a＝1时，7＋1＝8，不是3的倍数； 当a＝3时，7＋3＝10，不是3的倍数； 当a＝5时，7＋5＝12，是3的倍数； 当a＝7时，7＋7＝14，不是3的倍数； 当a＝9时，7＋9＝16，不是3的倍数。 填空如下： 表示一个四位整数，那么（）；如果是3的倍数，且a是一个奇数，那么a＝（5）。 7．（2分）截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有（ ）辆。 【答案】3960 【分析】根据2的倍数的特征，一个数的个位如果是偶数，这个数就是2的倍数；根据5的倍数的特征，一个数的个位是0或5，这个数就是5的倍数；根据3的倍数的特征，各个数位的数字之和是3的倍数。据此分析解答。 【解答】这个数是2和5的倍数，说明个位上的数是0 根据3的倍数的特点，百位上最大是9，各个数位的数字之和是3的倍数。 所以，截止2024年12月，某县城投放的共享单车已达3□6□辆，这个四位数既是2的倍数，又是5的倍数，还有因数3。这个县城投放的共享单车最多有3960辆。 8．（2分）它们两个是质数兄弟，且是紧挨着的两个自然数。它们分别是（ ） 和（ ）。 【答案】2 3 【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫质数。 相邻的两个自然数中，必定一个是奇数，一个是偶数（0和1除外）。已知2是质数中唯一的偶数，所 以其中一个数是2，那么与2相邻的另一个质数就是3。 【解答】都是质数且紧挨着的两个自然数分别是2和3。 9．（2分）一个运算程序的运算规则如下图所示。如果输入48，那么结果是（ ）；如果输入了一个数，结果是53，那么这个数是（ ）。 【答案】100 7 【分析】一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。先判断输入的数M是质数还是合数，如果M是质数，代入进行计算；如果M是合数，代入进行计算即可。已知结果是53，不知道输入的数是质数还是合数，则分、两种情况分别计算出两种情况下M的值，判断是否符合题意。据此解答。 【解答】如果输入48，48是合数，那么结果是 当结果是53时，，则，那么，7是质数，符合题意； 当结果是53时，，则，那么，24.5不是自然数，也不是合数，不符合题意； 所以这个数是7。 10．（2分）六一儿童节，妈妈给姐弟两人共发了61元的红包。如果姐姐领到的红包数是奇数，那么弟弟领到的红包数是奇数还是偶数？（ ）。 【答案】偶数 【分析】是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数。已知红包总数（和）为奇数，姐姐红包数（一个加数）为奇数，要判断弟弟红包数（另一个加数）的奇偶性，依据“奇数＋偶数＝奇数”和“奇数＋奇数＝偶数”来分析。 【解答】已知妈妈给姐弟发的红包总数是61元，61是奇数，这相当于姐姐领到的红包数和弟弟领到的红包数相加的和是奇数；又已知姐姐领到的红包数是奇数，根据“奇数＋偶数＝奇数”可知，另一个加数只能是偶数。 六一儿童节，妈妈给姐弟两人共发了61元的红包。如果姐姐领到的红包数是奇数，那么弟弟领到的红包数是偶数。 二、判断题（共10分） 11．（2分）3.6÷0.4＝9，所以3.6是0.4的倍数，0.4是3.6的因数。（ ） 【答案】× 【分析】根据因数和倍数的定义，当且仅当被除数、除数、商均为整数时，才能讨论因数与倍数的关系。本题中3.6和0.4均为小数，不符合整数条件，因此结论错误。 【解答】因数和倍数只在整数范围内讨论。虽然3.6÷0.4＝9成立，但3.6和0.4均为小数，不符合整数要求，因此3.6不是0.4的倍数，0.4也不是3.6的因数。原题说法错误。 故答案为：× 12．（2分）6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是1＋2＋3＝6，像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数），28也是完美数。（ ） 【答案】√ 【分析】根据题目条件，判断28是否是完美数，要先找出28的所有因数，再计算除28外几个因数的和。 【解答】28的因数：1，2，4，7，14，28 1＋2＋4＋7＋14＝28，因此28是完美数。 故答案为：√ 13．（2分）10个完全相同的乒乓球上分别写着数字1～10，从中任意拿出1个，如果是奇数，丫丫赢；如果是偶数，聪聪赢，这个游戏是公平的。（ ） 【答案】√ 【分析】判断游戏是否公平，需比较双方获胜的可能性是否相等。先从1～10中找出奇数和偶数各有几个，如果数量相等，则两人获胜的可能性相等，那么游戏公平；反之，游戏不公平。 整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 【解答】1～10的数字中，奇数有1、3、5、7、9，共5个；偶数有2、4、6、8、10，共5个。 总共有10个球，奇数和偶数的数量相同，因此丫丫和聪聪获胜的可能性相等，所以这个游戏是公平的。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．（2分）在三位数4□0的方框里填入一个数字，使它同时是2、3、5的倍数，最多有2种填法。（ ） 【答案】× 【分析】三位数4□0的个位是0，满足同时是2、5的倍数。只需再满足3的倍数特征，即各数位上的数字之和（4＋□＋0）能被3整除，据此分别填入数字进行计算即可。 【解答】三位数4□0的个位是0，说明它已经是2和5的倍数。根据3的倍数特征，各位数字之和4＋□＋0＝4＋□必须能被3整除。 当□＝2时，4＋2＝6，能被3整除； 当□＝5时，4＋5＝9，能被3整除； 当□＝8时，4＋8＝12，能被3整除。 因此，□可以填2、5、8，共有3种填法。原题中“最多有2种填法”的说法错误。 故答案为：× 15．（2分）如果“36和a都是9的倍数”，那么“36＋a”的和是合数；如果“a＋3”的和是奇数，那么a是偶数。（ ） 【答案】√ 【分析】一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫作合数，36和a都是9的倍数，则36和a都可以写成9和一个数的乘积，36＝9×4，假设a＝9×m，36＋a＝9×4＋9×m＝9×（4＋m）（m是不为0的自然数），说明“36＋a”的和也是9的倍数，即“36＋a”的和一定是合数；由奇数和偶数的运算性质可知，奇数＋偶数＝奇数，a＋3＝奇数，因为3是奇数，所以a一定是偶数，据此解答。 【解答】分析可知，如果“36和a都是9的倍数”，那么“36＋a”的和也是9的倍数，“36＋a”的和一定有一个因数9，9本身就是合数，则“36＋a”的和是合数；如果“a＋3”的和是奇数，那么a是偶数，如：当a＝1时，a＋3＝1＋3＝4，4是偶数，不符合题意；当a＝4时，a＋3＝4＋3＝7，7是奇数，符合题意，所以题目说法正确。 故答案为：√ 三、选择题（共10分） 16．（2分）水墨画近处写实，远处抽象，色彩微妙，意境丰富，是中国绘画的代表。在一次“笔墨丹青，传承经典”活动中，有三幅水墨画获奖，且这三幅水墨画的编码均是36的因数。下面水墨画的编码中，（    ）组可能是获奖作品编码。 A．1、13、18 B．2、6、12 C．4、9、16 D．3、15、18 【答案】B 【分析】在乘法算式a×b＝c（a、b、c均为非0的自然数）中，a、b就是c的因数，c就是a、b的倍数。先列举出36的所有因数，再看三个选项中的3个数是否都是36的因数，据此解答。 【解答】36的因数：1，2，3，4，6，9，12，18，36。 A．1、13、18中，13不是36的因数，所以1、13、18不可能是获奖作品编码。 B．2、6、12都是36的因数，所以2、6、12可能是获奖作品的编码。 C．4、9、16中，16不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 D．3、15、18中，15不是36的因数，所以不可能是获奖作品编码。 故答案为：B 17．（2分）在数0、25、64、70、671、248、165、77、88、9中，偶数的个数是（    ）。 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】偶数：能被2整除的数，即个位是2，4，6，8，0的数，据此解答。 【解答】偶数有：0，64，70，248，88，有5个。 故答案为：D 18．（2分）在四位数150的里填上一个数字，使它能同时被2，3，5整除，最多有（    ）种填法。 A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8； 能被3整除的数的特征：各个数位上的数字之和能被3整除； 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能同时被2，3，5整除的数需要同时满足以上三个条件，即个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除；在四位数150中，个位数字是0，已经满足能被2和5整除的条件，只需考虑各个数位上的数字之和能被3整除；据此解答。 【解答】150中已知数字1、5、0的和为：1＋5＋0＝6；因为6能被3整除，所以里的数字加上6之后仍需是3的倍数；里可填的数字是一位数，找出符合是3的倍数的：6＋0＝6；6＋3＝9；6＋6＝12；6＋9＝15 所以，里可填0、3、6、9，共有4种填法。 故答案为：C 19．（2分）有一道有余数的除法算式：A÷B＝C……R。若B是最小的合数，C是最小的质数，则A最大是（    ）。 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】B是最小的合数，那么B是4，C是最小的质数，那么C是2；根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即余数最大为：除数－1，当余数最大时，被除数最大，进而根据“被除数＝商×除数＋余数”解答即可。 【解答】B是最小的合数，那么B是4，C是最小的质数，那么C是2； 当余数是时，A最大：。 故答案为：D 20．（2分）在2，5，6，9，13，51，90这些数中，既是奇数又是合数的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据奇数与偶数、质数与合数的意义，是2的倍数的数叫做偶数；不是2的倍数的数叫做奇数；一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；据此解答。 【解答】2，5，6，9，13，51，90，这些数中，既是奇数又是合数的数有：9，51。一共有2个。 故答案为：B 四、操作题（共6分） 21．（6分）一个长方形的面积是30cm2，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有哪些？在方格纸上画出来，并写出30的全部因数。（每个小方格的边长表示1cm） 30的全部因数：（    ）。 【答案】（1）见详解； （2）1；2；3；5；6；10；15；30。 【分析】根据30＝1×30＝2×15＝3×10＝5×6，在方格图上分别画出长为30厘米、宽为1厘米；长为15厘米、宽为2厘米；长为10厘米、宽为3厘米；长为6厘米、宽为5厘米的长方形，并写出30的全部因数即可。 【解答】（1） （2）30的全部因数：1；2；3；5；6；10；15；30。 五、解答题（共54分） 22．（6分）学校鼓号队进行鼓号操表演，一共有24人出场，每排人数要同样多，如果排数必须在2~12排之间，一共有几种不同的列队方式？ 【答案】6种 【分析】求一个数因数的方法：哪两个自然数（0除外）相乘的积等于这个数，这些数都是这个数的因数；先写出24的因数，然后排除1与24即可。 【解答】24的因数有1、24、2、12、3、8、4、6，因为排数必须在2~12排之间，则排除1、24，则可以排2排每排12人、排3排每排8人、排4排每排6人、排6排每排4人、排8排每排3人、排12排每排2人，共有6种不同的列队方式。 答：一共有6种不同的列队方式。 23．（6分）学校合唱团有48人准备排练“六一儿童节”节目，如果将这48人平均分成若干个小组，每组人数不少于4人，不多于10人。有几种分法？写出你的方法。 【答案】3种；方法见详解 【分析】由题意可知，小组的个数应是48的因数，根据求一个数因数的方法，求出48的因数，再结合每组人数不得少于4人，不得多于10人，据此解答即可。 【解答】48的因数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。 ①每组4人，分成12组； ②每组6人，分成8组； ③每组8人，分成6组 一共有3种分法。 答：共有3种分法。 24．（6分）小明、小军两人玩游戏，掷骰子定输赢，（骰子6个面的点数分别是1、2、3、4、5、6）。如果朝上的一面是2的倍数小军赢，朝上的一面是3的倍数小明赢。请你评判一下，这样的游戏规则公平吗？为什么？如果不公平请你设计一个公平的游戏规则。 【答案】见详解 【分析】根据可能性的大小与数量的多少有关，数量多则可能性就大，反之就小；2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，所以小军的胜率比小明的胜率大，这个游戏不公平；1、2、3、4、5、6这6个数，分别有3个单数，有3个双数，要使游戏是公平，可以猜单双数。据此解答即可。 【解答】2的倍数有2，4，6共三个数，3的倍数有3，6共两个数，据此可知这个游戏不公平，因为2的倍数和3的倍数的个数不同，赢的可能性必然不同。设计一个公平的游戏规则如下：猜单数和双数，如果单数小明赢，双数小华赢。 【点评】本题考查可能性，明确可能性的大小与数量的多少有关是解题的关键。 25．（6分）在体育课上，有32名同学参加实心球训练，要平均分成五组，至少要再来几名同学？或者离开几名同学？两种情况下，每组各有几名同学？ 【答案】至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 【分析】先计算32名同学平均分成五组时的余数，根据余数确定至少再来或离开的同学数量，进而求出每组的人数。 【解答】（名）（名） 因为平均分组时剩余2名同学，所以让这2名同学离开，此时总人数为：（名） 每组人数为：（名） 因为5 组每组6名剩余2名同学，要使每组人数增加1人（即每组7人），需要的总人数为：（名） 至少再来的同学数为：（名） 每组人数为：（名） 答：至少要再来3名同学，每组有7名同学；或者离开2名同学，每组有6名同学。 26．（6分）自然数可分为奇数和偶数。 任意3个不同自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 任意3个不同自然数，其中一定有2个数的和是奇数。 你赞同谁的说法？请写出理由。 【答案】小花；理由见详解 【分析】把任意给出3个不同的自然数中，是由偶数还是奇数组成的情况罗列出来，再根据：偶数＋偶数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，奇数＋奇数＝偶数，解答即可。 【解答】赞同小花说法。 3个奇数组成：奇数＋奇数＝偶数； 2个奇数和1个偶数组成：奇数＋奇数＝偶数； 1个奇数和2个偶数组成：偶数＋偶数＝偶数； 3个偶数组成：偶数＋偶数＝偶数。 所以任意给出3个不同的自然数，其中一定有2个数的和是偶数。 27．（6分）面包店制作了85个面包，有如图四种包装（每个圆处放一个面包），选哪种包装盒正好可以装完？为什么？（只选一种） 【答案】第4种，原因见详解 【分析】2的倍数特征：个位上的数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数。5的倍数特征：个位上的数字是0或5的数是5的倍数。3的倍数的特征：一个数各个数位上的数字的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。据此解答。 【解答】85÷2＝42（盒）……1（个），2不是85的因数，所以不能选择第一种。 85÷3＝28（盒）……1（个），3不是85的因数，所以不能选择第二种。 85÷4＝21（盒）……1（个），4不是85的因数，所以不能选择第三种。 85÷5＝17（盒），5是85的因数，所以能选择第四种。 选第4种包装正好可以装完，因为5是85的因数。 答：选第4种包装正好可以装完，因为5是85的因数。 28．（6分）为了规范共享单车的摆放，整体提升城市形象某城市管理部门在公共区域指定了一个长方形场地作为专用停车场。规划后发现这个场地的长和宽的数值正好都是质数，并且周长是32米，这个长方形停车场的面积是多少平方米？ 【答案】39平方米或55平方米 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，可知长方形的长、宽之和＝周长÷2，据此求出这个长方形停车场长、宽之和； 再根据质数的意义找出哪两个质数之和等于长、宽之和，那么这两个质数分别是长方形的长、宽；最后根据长方形的面积＝长×宽，求出这个停车场的面积。 【解答】长、宽之和：32÷2＝16（米） 16＝3＋13＝5＋11 13×3＝39（平方米） 11×5＝55（平方米） 答：这个长方形停车场的面积是39平方米或55平方米。 29．（6分）小明家的门锁是个密码锁，已知这个密码锁的密码是一个6位数，第一位上的数是最小的质数；第二位上的数是最小合数的2倍；第三位上的数是3的倍数，且是最大的一位数；第四位上的数既是5的倍数又是5的因数；第五位上的数的所有因数是1，7；第六位上的数是第一位上数的3倍。这个密码锁的密码是多少？请写出你的理由。 【答案】289576；理由见详解 【分析】质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；最小的质数是2； 合数：一个数，除了1和它本数两个因数外，还有其他因数，这样的数叫做合数，最小的合数是4；一个数，最小的倍数和最大的因数是它本身；以及求一个数倍数的方法进行解答。 【解答】第一位：最小的质数是2，是2； 第二位：最小的合数是4；4×2＝8，是8； 第三位：是3的倍数，且是最大的一位数，是9； 第四位：5既是5的倍数，也是5的因数，是5； 第五位：所有因数是1，7，1×7＝7，是7； 第六位：是第一位上数的3倍，2×3＝6，是6。 这个密码锁是289576。 答：这个密码锁是289576。 30．（6分）一个两位数的质数和一个两位数的合数的和、差均为奇数，并且质数、合数的个位上的数字和十位上的数字分别交换后，质数变成合数，合数变成质数。原来的质数和合数各是多少？（已知原来的质数和合数均为15~20之间的数。） 【答案】质数：19；合数：16 【分析】能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。 质数：一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；合数：一个数，除了1和它本身两个因数，这样的数叫做合数； 奇数和偶数的运算性质： ①偶数±偶数＝偶数 ②奇数±奇数＝偶数 ③偶数±奇数＝奇数 据此找出15~20的质数和合数，再进行分析，即可解答。 【解答】15~20的质数有：17，19；合数：15，16，18，20。 17个位上的数字和十位上的数字调换是71，71是质数，不符合题意。 19个位上的数字和十位上的数字调换是91，91是合数，符合题意。 15个位上的数字和十位上的数字调换是51，51是合数；不符合题意。 16个位上的数字和十位上的数字调换是61，61是质数；符合题意。 18个位上的数字和十位上的数字调换是81，81是合数；不符合题意。 20个位上的数字和十位上的数字调换是02，不符合题意。 因为19＋16＝35；35是奇数；19－16＝3；3是奇数，所以原来的质数是19，合数是16。 答：原来的质数是19，合数是16。 学科网（北京）股份有限公司 $