精品解析：浙江省台州市路桥区2025-2026学年上学期九年级数学期末试题

2025学年第一学期九年级期末试卷数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. 元宝 B. 千问 C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 某运动员的跳高成绩为12米 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 蜡烛在真空中燃烧 3. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 16 7. 阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，且经过，两点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 如图，，分别是矩形边，上两个点，连接，将矩形分为两个全等的四边形，，分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四条边都相切．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小，则的值可以是___．（写出一个即可） 12. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为_____． 13. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 14. 如图，在半径为1的圆中用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案（阴影部分），则“花瓣”图案的周长是___．（结果保留） 15. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 16. 如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合），过点作，垂足为点，则的最小值是_____． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位数学家纪念邮票图案的卡片，，，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机摸取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机摸取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_____； （2）小明从三张卡片中随机摸取了一张，不放回，接着再随机摸取一张，请用画树状图或列表的方法，求小明摸取的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 19. 小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地，之后他按原路返回甲地． （1）求行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式； （2）根据规定：在高速公路上行驶时，最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时．求小王返程行驶时间的取值范围． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上作一点，使以点为圆心，为半径的圆与相切；（保留作图痕迹，标出点，不写作法） （2）在（1）的条件下，作出，与的切点为点．若，，求的半径． 22. 如图1，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，连接． （1）若，求的度数； （2）如图2，当点落在边上时，连接与交于点．求证：是的中点． 23. 在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． （1）求的值及二次函数图象的对称轴； （2）过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 24. 如图，点在的平分线上，以点为圆心作圆，分别交的两边于点，，，，其中，，过点作于点，于点． （1）如图1，求证：； （2）过点作的平行线，与的另一个交点记为点，，． ①如图2，当点在点右侧时，延长交于点．若，求的长； ②若，求半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期九年级期末试卷数学 （满分：120分 考试时间：120分钟） 温馨提示：本卷分试题卷和答题卷两部分，答案一律做在答题卷上，做在试题卷上无效． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列各软件的图案中，是中心对称图形的是（ ） A. 元宝 B. 千问 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； C． 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 B. 某运动员的跳高成绩为12米 C. 任意画一个圆，它是轴对称图形 D. 蜡烛在真空中燃烧 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类以及不可能事件的含义．根据随机事件的定义，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一分析． 【详解】解：A、抛掷一枚质地均匀硬币，正面向上，是随机事件，故该选项符合题意； B、某运动员的跳高成绩为12米，属于不可能事件，故该选项不符合题意； C、任意画一个圆，它是轴对称图形，所以该事件是必然事件，故该选项不符合题意； D、蜡烛在真空中燃烧，属于不可能事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 已知反比例函数的图象经过点，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，明确函数图像经过一个点，这个点的坐标就符合函数解析式是解题关键．把点的坐标代入反比例函数解析式，求出a的值即可． 【详解】解：把点代入得： ． 故选：B． 4. 如图，将绕点顺时针旋转得到，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 先推导出，则，即可解答． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键． 利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案． 【详解】解：， ， 四边形与四边形位似，其位似中心为点O， ，即， ， 故选：C． 7. 阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用倒序相加的方法求出的和，根据题意即可列出方程． 【详解】解：设这群人共有人，则这群人摘的石榴数依次为，设总的石榴数为S， 则①， 又∵② ∴由得， ∴， 又∵平均每人分得10个石榴， ∴总石榴数S也可表示为， 因此方程为， 故选：C． 8. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 9. 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，且经过，两点．下列选项正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．先求得二次函数的解析式为，然后结合二次函数图象和性质依次分析判断选项即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的一个交点为， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为， ∵点，是二次函数图象上的两点， ∴，， ∴， 当时， ∵， ∴，即； 又时，和5，时，和2， ∴当时，；当时，； ∴当时，有， 故选项B正确； 其他选项：A、当时，若，，不满足； C、当时，若，，不满足； D、当时，若，，不满足； 故选项A、C、D错误． 故选：B． 10. 如图，，分别是矩形边，上的两个点，连接，将矩形分为两个全等的四边形，，分别在两个四边形的内部作圆，两个圆与所在四边形的四条边都相切．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切线长定理，得，设，则，设，则即，过点M作于点Q，则四边形是矩形，得到，根据勾股定理，得，解得，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，切线长定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，设与各边的切点依次为， 根据切线长定理，得， 故， ∴， ∵矩形分为两个全等的四边形，，且， ∴， 设，则，设， ∴， 故， 过点M作于点Q， 则四边形是矩形， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， 解得 ∴， 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小，则的值可以是___．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，在反比例函数中，当时，反比例函数的图象分布在第一和第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小，当时，反比例函数的图象分布在第二和第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大． 在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小，则的值是正数，任取一个正数即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的增大而减小， ∴， ∴的值可以是6． 故答案为：6． 12. 若关于的一元二次方程有一个根为1，则的值为_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了方程根的定义．把代入，转化为的方程求解即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得：， 故答案为：5． 13. 某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验，结果如下表所示． 试验的种子数/粒 200 400 600 800 1000 发芽的频率 0.935 0.845 0.883 0.898 0.901 据此估计，这批种子中大约有_____是能发芽的．（精确到个位） 【答案】90 【解析】 【分析】此题主要考查了模拟实验，利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在0.901左右．根据频率稳定性，当试验种子数较大时，发芽频率趋近于概率，取1000粒时的频率0.901作为概率估计值，再计算种子中能发芽的重量． 【详解】解：由试验数据可知，试验种子数为1000粒时，发芽频率为0.901， 该值可作为发芽概率的估计值． 因此，种子中能发芽的种子重量约为，精确到个位为． 故答案为∶． 14. 如图，在半径为1的圆中用等分圆周的方法设计一个“花瓣”图案（阴影部分），则“花瓣”图案的周长是___．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，圆心角，弧长公式，正多边形和圆的综合，掌握知识点是解题的关键． 令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，推导出为等边三角形，得到，则，得到“花瓣”图案的周长是，即可解答． 【详解】解：如图，令圆心为O，花瓣与圆的交点分别为A，B，C，有 ，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 则“花瓣”图案的周长是． 故答案为：． 15. 如图，有长为篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，则花圃的最大面积为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值．如图，设，根据矩形的面积公式得到矩形的面积与x的函数关系，再根据自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：如图， 设，则， ∵，即， ∴， ∴， ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最大值，最大面积为 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，点在边上（不与点，重合），过点作，垂足为点，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，隐圆问题．作于点F，作于点K，利用计算出，证，推出，可得取最大值时，取最小值；点D运动过程中，始终保持，所以点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上，当点E，K，O共线时，取最大值，由此可解． 【详解】解：作于点F，作于点K， 中，，，， ， ， ． ，， ， 又， ， ， 是定值， 取最大值时，取最小值； 点D运动过程中，始终保持， 点E在以中点O为圆心，长为半径的圆上， 当点E，K，O共线时，取最大值，如图， ，， ， ，即， ， ，即最大值为， 此时， 的最小值是， 故答案：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程. （1）根据直接开平方法求解即可； （2）根据配方法求解即可. 小问1详解】 解： 或 ， 【小问2详解】 解： ， 18. 某校数学社团开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位数学家纪念邮票图案的卡片，，，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机摸取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）小安随机摸取了一张卡片，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_____； （2）小明从三张卡片中随机摸取了一张，不放回，接着再随机摸取一张，请用画树状图或列表的方法，求小明摸取的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2）小明摸取的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式求概率，用画树状图法求概率． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意列出表格或画出树状图，得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【小问1详解】 解：小安随机摸取了一张卡片，结果有，，，共3种等可能性结果，卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：列表如下： 19. 小王驾驶汽车从甲地走高速公路前往乙地办事，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地，之后他按原路返回甲地． （1）求行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式； （2）根据规定：在高速公路上行驶时，最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时．求小王返程行驶时间的取值范围． 【答案】（1） （2）小王返程行驶时间的取值范围为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）根据路程不变得到速度与时间的函数关系式； （2）根据速度的范围计算返程时间． 【小问1详解】 解：由题意得， 答：行驶时间（小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：对于函数，，随的减小而增大， 当，， 当时，， ． 答：小王返程行驶时间的取值范围为． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是另一个根的3倍，求这两个根． 【答案】（1）见解析 （2）此方程的两个根为， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据根的判别式证明即可； （2）设方程的两根分别为t，，根据根与系数的关系得，得到，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴此方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：设方程的两根分别为t，， 根据根与系数的关系得， ∴， ∴方程的两根分别为1和3， 即方程的两个根为，． 21. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上作一点，使以点为圆心，为半径的圆与相切；（保留作图痕迹，标出点，不写作法） （2）在（1）的条件下，作出，与的切点为点．若，，求的半径． 【答案】（1）作图见解析 （2）的半径为 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，角平分线性质，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）作的角平分线交于，即为所求，由角平分线定理可知到的距离相等，而，根据切线的判定可知，以点为圆心，为半径的圆与相切； （2）由勾股定理可求，可证，则，可求，设，则，在中，，解方程即可． 【小问1详解】 解：如图，作的角平分线交于，即为所求． 理由：由角平分线定理可知到的距离相等， ∵， ∴到的距离等于， 根据切线的判定可知，以点为圆心，为半径的圆与相切； 【小问2详解】 解：连接，在中，，， ， 与相切于点， ． 又，，， ． ． ． 设，则． 在中，． 解得． 的半径为． 22. 如图1，将矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形，连接． （1）若，求的度数； （2）如图2，当点落在边上时，连接与交于点．求证：是的中点． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查旋转，矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，得到， 推导出，即可解答； （2）过点作，垂足为点，推导出，，得到，则，进而证明，得到，则是的中点，即可解答． 【小问1详解】 解：矩形旋转得到矩形， ，， ， 在矩形中，， 【小问2详解】 证明：如图，过点作，垂足为点， 同（1）得，． ． ， ． ， ∵， ∴， ∵矩形绕点逆时针方向旋转得到矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中点． 23. 在平面直角坐标系中，已知关于的二次函数的图象经过原点和点． （1）求的值及二次函数图象的对称轴； （2）过点作轴的平行线，交二次函数的图象于点，交直线于点． ①若，，且为线段的中点，求的值； ②当时，在点的运动过程中，的最大值为10，求的值． 【答案】（1），对称轴为直线 （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，线段的中点，一次函数的图像与性质，绝对值的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，由二次函数的图象经过点，得到， 即，则对称轴为直线，即可解答； （2）①先求出，，推导出，，由B为线段的中点，得到，求出（舍去）或，即可解答； ②先求出，，得到，当时，有最大值，最大值为，则，解得，即可解答． 【小问1详解】 解：把原点代入，得 ， ∴二次函数， 二次函数的图象经过点， ， 即． 对称轴为直线． 【小问2详解】 解：①， ， 经过点且平行轴， ， 为线段的中点， ． 解得（舍去）或． ． ②，， ，． 又， 当时，有最大值，最大值为． ， 解得． 24. 如图，点在的平分线上，以点为圆心作圆，分别交的两边于点，，，，其中，，过点作于点，于点． （1）如图1，求证：； （2）过点作的平行线，与的另一个交点记为点，，． ①如图2，当点在点的右侧时，延长交于点．若，求的长； ②若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）①；②的半径为或 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质，可得，再证，得，最后根据垂径定理可得答案； （2）①过点作的垂线，垂足为点，先证，再证四边形为矩形，根据直角三角形的性质，证，设，列方程，求出x，最后根据勾股定理可得答案；②延长，，交于点，连接，当点在点的右侧时，先求出的长度，再证，最后根据勾股定理可得答案；当点在点的左侧时，同理可得答案． 【小问1详解】 解：如图1，连接，， ，，平分， ， ，， ， ， 点为圆心，，， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①如图2，过点作的垂线，垂足为点， ，，，， ， ， ， ， ，，， ， 四边形为矩形， 又经过圆心，，， ，， ， ，， ， 设，则， 解得：， ， ； ②延长，，交于点，连接，过点作的垂线，垂足为点， （i）如图3，当点在点的右侧时， 由（2）①，同理可得四边形为矩形，， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， ，， ， ， ； （ii）如图4，当点在点的左侧时， ，， ， 同理，，，， ， ， ， 综上所述，的半径为或． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，解题的关键是做合适的辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $