20.1.1勾股定理 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

新人教版数学8年级下册培优备课课件 20.1.1勾股定理 第二十章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： . 时 间：2026年01月19日 . 新疆吐鲁番市托克逊县第一中学 1 1．经历勾股定理的探索过程，感受数形结合的思想． 3．尝试用多种方法验证勾股定理，体验解决问题策略的多样性．（难点） 2．掌握勾股定理，会运用勾股定理解决一些与直角三角形有关的问题．（重点） 学 习 目 标 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？ 在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积. 合 作 探 究 商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足： 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方. 其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？ 合 作 探 究 返回 9 1. 如图为由边长为1的小正方形组成的网格，三个正方形A，B，C的顶点都在格点上，SA＝________，SB＝________，SC＝________，三个正方形面积间的关系可用式子表示为________________． 25 34 SA＋SB＝SC 中考考法 5 1.如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A，B，C的面积之间有什么关系？D，E，F呢？ A C B D F E 图① 图② 合 作 探 究 A C B 图① 正方形A中含有___个小正方形， 即A的面积是____． 正方形B中含有___个小正方形， 即B的面积是___． 正方形C中含有___个小正方形， 即C的面积是____． 观察： 9 9 9 9 18 18 9＋9＝18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 数格子法 合 作 探 究 D F E 图② 正方形D中含有___个小正方形， 即D的面积是____． 正方形E中含有___个小正方形， 即E的面积是___． 正方形F中含有___个小正方形， 即F的面积是___． 4 4 4 4 8 8 4＋4＝8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 观察： 合 作 探 究 2. (4分)如图是用硬纸板做成的四个直角边长分别为a，b，斜边长为c的直角三角形和一个边长为c的正方形所拼成的图形．请利用这个图形证明勾股定理． 中考考法 返回 中考考法 2.对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？ A C B 图① 正方形C的面积可以怎么计算呢？ 提示：以直角三角形斜边为边的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积. 合 作 探 究 A C B 图① 方法一： 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC＝×4×3×4＋1×1＝25 方法二： 把C“补” 成边长为7的正方形 SC＝7×7－×4×3×4＝25 合 作 探 究 正方形A中含有___个小正方形， 即A的面积是___． 正方形B中含有___个小正方形， 即B的面积是___． 正方形C中含有___个小正方形， 即C的面积是____． 16 16 9 9 25 25 16＋9＝25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 观察： A C B 图① 合 作 探 究 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． A B C a b c 合 作 探 究 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名． （在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理） 合 作 探 究 返回 3. C 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，则BC的长为(　　) A．2 B．4 C．8 D．9 中考考法 返回 4. B 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AB＝2，则AD的长为(　　) 中考考法 “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，右图是弦图的示意图． 弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，尝试验证： a2＋b2＝c2． c b a 黄实 朱实 弦图 证明勾股定理的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽的证法. 合 作 探 究 尝试验证：a2＋b2＝c2． 化简得：c2 ＝a2＋b2． S大正方形 ＝S小正方形＋4S直角三角形 c2 ＝(b－a)2＋4·． 这就证明了勾股定理． 证明： c b a 黄实 朱实 弦图 合 作 探 究 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．与上面的方法类似，根据这一图形，尝试证明勾股定理． 化简得：c2 ＝a2＋b2． S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形 (b＋a)2 ＝ c2＋4·． 证明： c b a a b a a b c c c b 合 作 探 究 20 返回 5. B [教材P26练习T3变式]已知平面直角坐标系中有两点A(－3，0)，B(0，－2)，则A，B两点之间的距离是(　　) 中考考法 返回 6. B 如图，AB＝BC＝CD＝2，且BC⊥AB，CD⊥AC，则线段AD的长为(　　) 中考考法 C B A 6 8 F E D 15 17 (1) (2) 例1　如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理， AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB=10. （2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，从而DE2＝DF2-EF2＝172＋152＝64，所以DE=8. 合 作 探 究 ☀方法总结 首先分清斜边和直角边，然后利用“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可求出未知边的长． 合 作 探 究 例2　在Rt△ABC中， ∠C=90°. （1）若a：b=1：2 ，c=5,求a; （2）若b=15，∠A=30°,求a,c. 解： (1)设a=x,b=2x,根据勾股定理建立方程得 x2+(2x)2=52， 解得 (2)∵b=15，∠A=30°, 因此设a=x,c=2x,根据勾股定理建立方程得 (2x)2-x2=152， 解得 合 作 探 究 ☀方法总结 通过三个直角三角形，明确已知的正方形边长和未知的正方形边长之间的关系，从而得到所求正方形的边长，即可得到所求正方形的面积． 合 作 探 究 返回 7. 72 在Rt△ABC中，斜边BC＝6，则BC2＋AB2＋AC2的值为________． 中考考法 8. (8分)[教材P25练习T1变式]在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c． (1)已知b＝2，c＝3，求a的值； 中考考法 解：设a＝3x，则c＝5x.∵a2＋b2＝c2， ∴(3x)2＋322＝(5x)2，解得x＝8(负值已舍去)． ∴3x＝24，5x＝40，即a＝24，c＝40. (2)已知a∶c＝3∶5，b＝32，求a，c的值． 返回 中考考法 29 返回 9. B 如果直角三角形两边长分别为3和4，那么这个三角形的第三边的长是(　　) 中考考法 30 返回 10. B 如图，先以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，再以Rt△ABC的三边为直径向外作半圆，记三个半圆的面积分别为S1，S2，S3，相应的三个正方形的面积分别为S1′，S2′，S3′，则下列关系式中正确的是(　　) A．S1′＋S3′＝2S2′ B．S1＋S2＝S3 C．S1＋S2>S3 D．S1′<S3′－S2′ 中考考法 31 返回 11. 8 中考考法 32 返回 12. [2025东营中考改编]如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2 026的值为______． 中考考法 33 13. (8分)[2025保定期中]如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E为AC上一点，AB＝AE，连接DE．若BD＝5，CD＝13，求AE的长． 中考考法 返回 中考考法 勾股定理 证明 定理 a2+b2=c2 赵爽弦图 课 堂 总 结 证明：由题图可知大正方形的面积可表示为(a＋b)2，也可表示为c2＋4×ab，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，即a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab， ∴a2＋b2＝c2，即直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方． A．1 B． C． D．2 A． B． C． D． A．2 B．2 C．4 D．3 解：∵在△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝3， ∴a＝＝＝. A．5 B．5或 C． D．2 在△ABC中，∠B＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若c－a＝6，b＝2 ，则△ABC的面积为________． 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAD. 又∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED(SAS)， ∴DE＝BD＝5，∠AED＝∠B＝90°，∴∠CED＝90°. 在Rt△CDE中，由勾股定理得CE＝＝12. 设AB＝AE＝x，则AC＝x＋12， 在Rt△ABC中，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2， ∴x2＋(5＋13)2＝(x＋12)2，解得x＝7.5，即AE的长为7.5. $