浙江省宁波市部分学校2025-2026学年高一上学期期末考试数学试卷

2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.与终边相同的角为（     ） A. B. C. D. 2. 已知点在角的终边上，则（     ） A. B. C. D. 3. （     ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（     ） A. B. C. D. 5. 以下函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（     ） A. B. C. D. 6. 某尖拱结构是由两段不同圆心的圆弧组成的对称图形.如图，和所在圆的圆心都在线段上，若，，则的长度为（     ） A. B. C. D. 7. 函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列说法正确的是（     ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 以下两个函数与，其中可以通过平移得到的是（     ） A. ， B. ， C. D. ， 10. 已知函数向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则关于的说法正确的是（     ） A. 为函数的一个零点 B. 函数的图象关于对称 C. 方程在上有三个解 D. 函数在上单调递减 11. 已知函数. 若与的图象有且只有三个交点，，，且，则（     ） A. B. 当时，在上恒成立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则 ． 13. 已知函数在的最大值和最小值分别为，则 ． 14．已知关于的方程在上有两个不同的实数解，，则 ． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．已知，为锐角，，． （1）求的值；（2）求的值． 16. 已知函数 满足： ① 相邻两条对称轴的距离为 ；② 在 处取得最大值2。 （1）求 的解析式及其单调递增区间； （2）若 ，求满足 的 的值。 17. 已知函数 为奇函数。函数 满足 ，且 。 （1） 求 和 的解析式； （2） 若 在区间 上的最小值为2，求 的值。 18. 已知函数 （1） 若 ，求 的值； （2） 若 在 上有两个不等的实数根，求 的取值范围； （3） 在 上恒成立，求 的取值范围。 19.已知的最小正周期为 （1）求函数的表达式与最值； （2）求证：函数有且只有一个零点； （3）将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数纵坐标变为原来的，得到函数，求证：，其中为（2）中函数的零点. 2025学年第一学期期末考试 高一年级数学试卷答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D B A D C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.3 13.2 14. 四、解答题：本题共5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. 已知，为锐角，，。 （1）求的值；（2）求的值。 【答案】（1）；（2）。 【解析】 （1）。 （2）因为所以 又因为 所以，则。 所以 16. 已知函数 满足： ① 相邻两条对称轴的距离为 ；② 在 处取得最大值2. （1）求 的解析式及其单调递增区间. （2）若 ，求满足 的 的值 【答案】（1） （2）. 【解析】 （1）由题意可知， 由 ，得 因为 在 处取得最大值2 所以 ，且 ，即 ， 则 ， 由 得 所以 . 令 得 ， 所以 的单调递增区间为 . （2）由 ，得 因为 所以 所以 ，解得 17. 已知函数 为奇函数，函数 满足 ，且 （1）求 和 的解析式. （2）若在区间上的最小值为2，求的值. 【答案】（1） ，；（2） . 【解析】 （1） 因为为奇函数，则 解得 检验：当时，有 所以恒成立. 所以 将上式代入，得 当时，，所以 当时，满足上式，所以. （2） 令，则； 所以 令，由，则 ①当时， 解得 ②当时，，无解 ③时，，解得，这与矛盾 综上，. 18.已知函数 （1）若，求的值. （2）若在上有两个不等的实数根，求的取值范围. （3）在上恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 或；（2） ；（3） 【解析】 （1） 因为，所以，即 解得或. （2）由题意可知 ，解得 所以的取值范围为。 （3）令 由题意可知，在上恒成立 【必要性探路】当时，由，即 解得。 下证：当 在上恒成立 ①当时， 由函数与在上均单调递增 所以在上单调递增，所以恒成立。 ②当时 要证在上恒成立，即证恒成立。 【变更主元】令 由于，所以 则在单调递增 所以 下证在恒成立。【很松 作差，放缩均可，在处不动即可】 【方式1】因为 要证，只要证，即证，即证 由于在恒成立 所以 【方式2】由基本不等式知 下证 即证 由显然在恒成立，得证。 【方式3】 因为，所以，，得证 19. 已知的最小正周期为 （1）求函数的表达式与最值. （2）求证：函数有且只有一个零点； （3）将函数横坐标先向左平移个单位，再将得到的函数横坐标变为原来的，得到函数，求证：，其中为（2）中函数的零点 【答案】（1），，；（2）略（3）略 【解析】（1）因为 由，所以，，。 （2）由题意可知，定义域 ①当时，单调递增，且， 所以存在唯一的，使得。 ②当时，由，所以，而 所以在恒成立 综上，存在唯一的，使得，且。 （3）由题意可知， ①下证不等式右边：（*） 因为，代入上式 要证（*）式成立，只要证【消去三角，得到对数的不等式亦可】 令，则 上式化为证，即证：由显然成立 ②下证不等式左边：因为，所以 所以，所以 所以 下证，即证，即。 由于，所以，所以。得证。 学科网（北京）股份有限公司 $