第1章 平面向量及其应用（知识清单）数学湘教版必修第二册

该高中数学单元知识清单系统梳理了“平面向量及其应用”核心内容，涵盖向量概念、线性运算、共线定理、基本定理、坐标运算、数量积及解三角形等知识范畴，搭建了从基础概念到定理应用再到实际解题的递进式学习支架。 清单以“清单梳理+易错点剖析+例题解析”形式构建知识体系，分类呈现向量线性运算、数量积性质等内容，突出知识逻辑性与完整性。通过12个易错点专项分析培养数学思维，如向量共线定理理解偏差等例题解析，助力学生精准突破难点，教师可据此设计分层教学，提升课堂效率与学生自主学习能力。

第1章 平面向量及其应用 清单01 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ． (2)零向量：长度为 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 的向量． (4)平行向量：方向相同或 的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向 的向量． (6)相反向量：长度相等且方向 的向量． 3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 ． 清单02 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 清单03 平面向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 ． 清单04 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 ． 清单05 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝( )，a－b＝( )， λa＝( )，|a|＝ ． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝( )， ||＝ ． 清单06 平面向量共线的坐标表示 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔ ． 2．当x2y2≠0时，a∥b等价于＝. 清单07 两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则 就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b ；若θ＝180°，则a与b ；若θ＝90°，则a与b ． 清单08平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos_θ的乘积 清单09 平面向量数量积的性质 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 清单10 余弦定理正弦定理 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝ ； b2＝ ； c2＝ 变形形式 a＝ ， b＝ ， c＝ ； sin A＝ ，sin B＝ ， sin C＝ ； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ . 清单11 三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝ ＝absinC． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 易错点1 对向量共线定理认识不准确 例题.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 易错点2 对向量线性运算不熟致错 例题.点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　) A．－＋　　　　　 B．－－ C.－ D.＋ 易错点3 对向量三角不等式认识不清致错 例题.已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________． 易错点4 忽视基底中基向量不共线致错 例题.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________． 易错点5 弄不清单位向量反向的含义出错 例题.已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量反向的单位向量为________． 易错点6 用同向成积表示向量时，忽视起点与终点致误 例题.若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为________． 易错点7 没有找准向量的夹角致误 例题.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________． 易错点8 不理解向量的数量积的几何意义致误 例题.已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________． 易错点9 向量的数量积的有关性质应用不准确致误 例题.设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积为________． 易错点10 利用正弦定理求角时解的个数弄错 例题.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 易错点11 在△ABC中角与角的正弦关系弄错 例题.在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________． 易错点12 判断三角形形状时弄错 例题.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．4 D．6 2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A．c＝2b－a B．c＝2a－b C．c＝a－b D．c＝b－a 3．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量 4．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充分必要条件为(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______， ＝______(用a，b表示)． 6．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－) 7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 8．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 9．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________. 10．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　) A．－a2　　　B．－a2 C.a2 D.a2 11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 12．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　) A．－ B．－ C. D. 13．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝(　　) A. B．1 C．4 D．3 14．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________. 15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝， 且b＜c，则b＝(　　) A．3　　B．2 C．2 D. 16．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4　　　B．2　　　C.　　　D. 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角C＝(　　) A. B. C. D. 18．已知△ABC的面积为，且C＝30°，BC＝2，则AB＝(　　) A．1 B. C．2 D．2 19．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B＜csin C，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 6 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 平面向量及其应用 清单01 向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 3.两个向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 清单02 平面向量的线性运算 1．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 清单03 平面向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 清单04 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 清单05 平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝． (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝． 清单06 平面向量共线的坐标表示 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0． 2．当x2y2≠0时，a∥b等价于＝. 清单07 两向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角． (2)范围：设θ是向量a与b的夹角，则0°≤θ≤180°. (3)共线与垂直：若θ＝0°，则a与b同向；若θ＝180°，则a与b反向；若θ＝90°，则a与b垂直． 清单08平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则|a||b|·cos_θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影 |a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影|b|cos_θ的乘积 清单09 平面向量数量积的性质 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 清单10 余弦定理正弦定理 正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos_A； b2＝c2＋a2－2cacos_B； c2＝a2＋b2－2abcos_C 变形形式 a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B， c＝2Rsin_C； sin A＝，sin B＝， sin C＝； a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； ＝ cos A＝； cos B＝； cos C＝ . 清单11 三角形的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absinC． (3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 易错点1 对向量共线定理认识不准确 例题.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立．故前者是后者的充分不必要条件． 易错点2 对向量线性运算不熟致错 例题.点D是△ABC的边AB上的中点，则向量＝(　　) A．－＋　　　　　 B．－－ C.－ D.＋ 答案：A 易错点3 对向量三角不等式认识不清致错 例题.已知向量a，b，若|a|＝2，|b|＝4，则|a－b|的取值范围为________． 解析：当a与b方向相同时，|a－b|＝2，当a与b方向相反时，|a－b|＝6，当a与b不共线时，2<|a－b|<6，所以|a－b|的取值范围为[2，6]．此题易忽视a与b方向相同和a与b方向相反两种情况． 答案：[2，6] 易错点4 忽视基底中基向量不共线致错 例题.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝，c＝(－1，1)．在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为________． 解析：易知a∥b，a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2. 答案：2 易错点5 弄不清单位向量反向的含义出错 例题.已知A(－5，8)，B(7，3)，则与向量反向的单位向量为________． 解析：由已知得＝(12，－5)，所以||＝13，因此与反向的单位向量为－＝. 答案： 易错点6 用同向成积表示向量时，忽视起点与终点致误 例题.若P1(1，3)，P2(4，0)且P是线段P1P2的一个三等分点，则点P的坐标为________． 解析：由题意得＝或＝，＝(3，－3)．设P(x，y)，则＝(x－1，y－3)，当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝2，y＝2，即P(2，2)；当＝时，(x－1，y－3)＝(3，－3)，所以x＝3，y＝1，即P(3，1)． 答案：(2，2)或(3，1) 易错点7 没有找准向量的夹角致误 例题.已知△ABC的三边长均为1，且＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________． 解析：因为a，b＝b，c＝a，c＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1，所以a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos 120°＝－，所以a·b＋b·c＋a·c＝－. 答案：－ 易错点8 不理解向量的数量积的几何意义致误 例题.已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为________． 解析：＝(2，1)，＝(5，5)，由定义知，在方向上的投影为＝＝. 答案： 易错点9 向量的数量积的有关性质应用不准确致误 例题.设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积为________． 解析：a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝. 答案： 易错点10 利用正弦定理求角时解的个数弄错 例题.在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　) A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 解析：选C.由正弦定理得＝， 所以sin B＝＝＝>1. 所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在． 易错点11 在△ABC中角与角的正弦关系弄错 例题.在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________． 解析：sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B； sin A>sin B⇔a>b⇔A>B. 答案：A＝B　A>B 易错点12 判断三角形形状时弄错 例题.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________． 解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin BcosB， 即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B， 即A＝B或A＋B＝， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案：等腰三角形或直角三角形 1．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若＋＝λ，则λ＝(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．4 D．6 解析：根据向量加法的运算法则可知，＋＝＝2，故λ＝2. 答案：B 2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，则下列等式成立的是(　　) A．c＝2b－a B．c＝2a－b C．c＝a－b D．c＝b－a 解析：依题意得－＝2(－)， 即＝－＝b－a. 答案：D 3．若向量a与b不相等，则a与b一定(　　) A．有不相等的模 B．不共线 C．不可能都是零向量 D．不可能都是单位向量 解析：若a与b都是零向量，则a＝b，故选项C正确． 答案：C 4．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充分必要条件为(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 解析：∵A、B、C三点共线，∴∥，设＝m(m≠0)，∴∴λμ＝1， 故选D. 答案：D 5．已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于O，且＝a，＝b，则＝______， ＝______(用a，b表示)． 解析：如图，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 答案：b－a　－a－b 6．下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(，－) 解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，故选B. 答案：B 7．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，＝x＋y，且＝2，则(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：由题意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝ ＋，所以x＝，y＝. 答案：A 8．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三点共线，则m的值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)， ＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0， ∴m＝1.故选A. 答案：A 9．在△ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则＝________. 解析：＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)．＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 10．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则·＝(　　) A．－a2　　　B．－a2 C.a2 D.a2 解析：由已知条件得·＝·＝a·acos 30°＝a2，故选D. 答案：D 11．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 解析：设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝， ∴θ＝. 答案：C 12．设向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：a＋2b＝(－1＋2m,4)，2a－b＝(－2－m,3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－， 所以a·b＝－1×＋2×1＝. 答案：D 13．若向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|a＋2b|＝2，则|b|＝(　　) A. B．1 C．4 D．3 解析：因为|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝22＋8·|b|·cos 60°＋4|b|2＝(2)2， 所以|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1.故选B. 答案：B 14．已知向量a＝(－2,3)，b＝(3，m)，且a⊥b，则m＝________. 解析：因为a⊥b，所以a·b＝－2×3＋3m＝0， 解得m＝2. 答案：2 15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cos A＝， 且b＜c，则b＝(　　) A．3　　B．2 C．2 D. 解析：由a2＝b2＋c2－2bccos A，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4，∵b＜c，∴b＝2. 答案：C 16．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　) A．4　　　B．2　　　C.　　　D. 解析：在△ABC中，根据正弦定理，得＝， ∴AC＝＝＝2. 答案：B 17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，则角C＝(　　) A. B. C. D. 解析：由＝，得a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得cos C＝＝，所以C＝.故选A. 答案：A 18．已知△ABC的面积为，且C＝30°，BC＝2，则AB＝(　　) A．1 B. C．2 D．2 解析：由题意得，S△ABC＝AC·BC·sin C＝AC×2×＝，解得AC＝2.由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos C＝4＋12－2×2×2×＝4，所以AB＝2.故选C. 答案：C 19．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若asin A＋bsin B＜csin C，则△ABC的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析：根据正弦定理可得a2＋b2＜c2.由余弦定理得cos C＝＜0，所以角C是钝角，故选C. 答案：C 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $