第1章 平面向量及其应用（单元自测·基础卷）数学湘教版必修第二册

高一数学单元自测答案 第一章 平面向量及其应用·基础通关 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A A D D B C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【详解】 （1）；.6分 （2）向量与平行，设， 由题意可知，向量与不共线，可得，解得…..13 16．（本小题满分15分） 【详解】（1）因为，，， 所以， 由正弦定理得， 所以；…..8分 （2）因为，，所以， 因为，所以……15分 17．（本小题满分15分） 【详解】（1）解：由可得，….2分 所以，，….4分 由正弦定理可得，….5分 、，则，，所以，，故…..7分 （2）解：因为，可设，则，…9分 由余弦定理可得，….11分 解得，故，， 因此，的面积为……15分 18．（本小题满分17分） 【详解】（1）由正弦定理可得,……2分 由于，所以，故，……4分 因为，所以．…….6分 （2）因为，，的面积为，…..8分 所以，…..9分 由（1）知，可得，11分 因为， 所以，……15分 解得，可得的长为．….17分 19．（本小题满分17分） 【详解】（1）因，，且， 于是有，即，………4分 在中，由正弦定理得：，…..6分 而， 于是得，所以或．…….8分 （2）是锐角三角形，由（1）知，，…9分 于是有，且，从而得，….10分 而， 由正弦定理得， 则， ，….12分 则有，….14分 而，则，….15分 即, 所以的取值范围．….17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测 第一章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若是向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义以及向量的定义进行判断即可. 【详解】两个向量相等指的是大小相等且方向相同， 所以是的充分不必要条件。 故选：A. 2．如图所示，在长方形ABCD中，设又，则（    ） A． B．－ C．1 D． 答案：A 【分析】利用平面向量的三角形和平行四边形法则，把向量用表示，即可求的值，从而得的值. 【详解】解： 即，，. 故选：A. 3．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 答案：A 【分析】根据共线向量定理可得为的中点，再根据向量的加法和减法法则，即可得答案； 【详解】，为的中点， ， 故选：A. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且满足，A为钝角，则C等于（    ） A． B． C． D． 答案：D 【分析】利用正弦定理化简得，再根据即得解. 【详解】由正弦定理得， 所以， 所以， 所以或， 所以或（舍）， 又，所以， 所以, 因此. 故选：D. 5．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 答案：D 【分析】根据向量的模，向量平行、垂直的性质以及向量的数量积坐标表示，对各个选项逐个运算检验即可. 【详解】由. 对于A，，故A错误； 对于B，由，得不成立，故B错误； 对于C，由，得不成立，故C错误； 对于D，若，则，符合，故D正确， 故选：D. 6．已知的三边长分别为，，，面积为，且，，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 答案：B 【分析】先利用三角形的面积公式和余弦定理化简整理得到，再利用正弦定理得到，代入已知条件，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化简整理即可得出结果. 【详解】解：因为中，， ，且， 所以， 解得， 因为， 所以. 因为， 所以， 可得， ， 所以， 所以的最大值为2. 故选：B. 7．对任意两个非零向量，，定义新运算：已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 答案：C 【分析】由结合可得，从而求得,可得，确定，再根据即可确定答案. 【详解】解：由题意可得． 因为，所以． 因为，所以， 所以，即， 解得．因为，所以， 所以，则， 则，得， 故, 符合该条件的是3， 故选：C 8．在中，角A、、的对边分别为、、，则以下结论错误的为（    ） A．若，则 B． C．若，则；反之，若，则 D．若，则 答案：D 【分析】根据正弦定理可推得，即，可判断A；根据正弦定理可设，从而可计算，判断B；根据正弦定理边角互化可判断C；根据可得或，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 即，由于B,C为三角形内角，故，则，故A正确； 对于B，根据正弦定理可设， 故，故B正确； 对于C，由可得 （R为外接圆半径），即 ，故； 反之，若，即，即，则，故C正确； 对于D，由于，故或 ,即或， 即或 ，故D错误， 故选：D 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在边长为2的菱形中，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 答案：BC 【分析】根据向量的加减运算，线性运算，数量积的性质以及运算对选项进行逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B， ，因为四边形ABCD为菱形，∠A=60°，所以△ABD，△BCD均为等边三角形，所以，所以，故B正确； 对于C，因为△ABD为等边三角形，所以所在线段为中边上的中线，也即AB边上的高，所以，故C正确； 对于D，因为AD// BC，所以，所以，故D错误. 故选：BC 10．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 答案：ABC 【解析】由题意根据正弦定理，余弦定理逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 显然是等腰三角形，， 说明为锐角，故是锐角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 可得，说明为钝角，故是钝角三角形，故命题正确； 对于选项，当时，，根据正弦定理不妨设，，， 此时，不等构成三角形，故命题错误. 故选：. 11．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 答案：ACD 【分析】建立平面直角坐标系，由向量的坐标运算可得，且，,，再逐一分析各选项即可． 【详解】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，若，则 ． 答案： 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合平面向量数量积的坐标表示公式、平面向量模的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得，所以． 故答案为： 13．如图所示，在中，M是在线段上，，，，则边的长为 . 答案： 【分析】根据，可得，再在中用正弦定理求解即可 【详解】因为，，故，在中由正弦定理有，故 故答案为： 14．在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 . 答案： 【分析】先由向量的坐标运算及模的运算求出关于变量的表达式， 再结合三角函数值域的求法求解即可. 【详解】解：设，则，所以，， 所以，所以 ， 令，则 . 当时，取得最大值； 当时，取得最小值； 故的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知向量m=(1,3),n=(3,2). 已知平面向量、满足，，与的夹角为. （1）求的值； （2）若向量与平行，求实数的值. 答案：（1）；（2）. 【解析】（1）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值； （2）设，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，由此可解得实数的值. 【详解】（1）；.6分 （2）向量与平行，设， 由题意可知，向量与不共线，可得，解得…..13 16．（本小题满分15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)若，，求； (2)若的面积为，，求. 答案：(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，根据正弦定理即可求解； （2）根据面积公式可得，即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 由正弦定理得， 所以；…..8分 （2）因为，，所以， 因为，所以……15分 17．（本小题满分15分）在中，内角、、所对的边分别为、、，向量，，且． (1)求角的大小 (2)若，，求的面积． 答案：(1) (2) 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示结合正弦定理化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用余弦定理结合已知条件可求得、的值，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）解：由可得，….2分 所以，，….4分 由正弦定理可得，….5分 、，则，，所以，，故…..7分 （2）解：因为，可设，则，…9分 由余弦定理可得，….11分 解得，故，， 因此，的面积为……15分 18．（本小题满分17分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 答案：(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解， （2）根据面积公式可得值，结合（1）的结论可得，进而根据向量的模长即可求解． 【详解】（1）由正弦定理可得,……2分 由于，所以，故，……4分 因为，所以．…….6分 （2）因为，，的面积为，…..8分 所以，…..9分 由（1）知，可得，11分 因为， 所以，……15分 解得，可得的长为．….17分 19．（本小题满分17分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量满足：，，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 答案：(1)或 (2) 【分析】（1）根据平行向量的坐标表示得出边与角的关系式，再利用正弦定理即可求出角A； （2）利用正弦定理将边表示成角的形式，即，再根据三角形形状和辅助角公式，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因，，且， 于是有，即，………4分 在中，由正弦定理得：，…..6分 而， 于是得，所以或．…….8分 （2）是锐角三角形，由（1）知，，…9分 于是有，且，从而得，….10分 而， 由正弦定理得， 则， ，….12分 则有，….14分 而，则，….15分 即, 所以的取值范围．….17分 学科网（北京）股份有限公司10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高一数学单元自测 第一章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若是向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，在长方形ABCD中，设又，则（    ） A． B．－ C．1 D． 3．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且满足，A为钝角，则C等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．已知的三边长分别为，，，面积为，且，，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 7．对任意两个非零向量，，定义新运算：已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A、、的对边分别为、、，则以下结论错误的为（    ） A．若，则 B． C．若，则；反之，若，则 D．若，则 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在边长为2的菱形中，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 11．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，若，则 ． 13．如图所示，在中，M是在线段上，，，，则边的长为 . 14．在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（（本小题满分13分）已知向量m=(1,3),n=(3,2). 已知平面向量、满足，，与的夹角为. （1）求的值； （2）若向量与平行，求实数的值. 16．（本小题满分15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)若，，求； (2)若的面积为，，求. 17．（本小题满分15分）在中，内角、、所对的边分别为、、，向量，，且． (1)求角的大小 (2)若，，求的面积． 18．（本小题满分17分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 19．（本小题满分17分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量满足：，，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学单元自测 第一章 平面向量及其应用·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若是向量，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．如图所示，在长方形ABCD中，设又，则（    ） A． B．－ C．1 D． 3．在中，点满足，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且满足，A为钝角，则C等于（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 6．已知的三边长分别为，，，面积为，且，，则的最大值为（    ） A． B．2 C．3 D． 7．对任意两个非零向量，，定义新运算：已知非零向量，满足，且向量，的夹角，若和都是整数，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 8．在中，角A、、的对边分别为、、，则以下结论错误的为（    ） A．若，则 B． C．若，则；反之，若，则 D．若，则 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．如图，在边长为2的菱形中，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是（    ） A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 11．如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，若，则 ． 13．如图所示，在中，M是在线段上，，，，则边的长为 . 14．在平面直角坐标系中，已知点分别为轴，轴上一点，且，若点，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（（本小题满分13分）已知向量m=(1,3),n=(3,2). 已知平面向量、满足，，与的夹角为. （1）求的值； （2）若向量与平行，求实数的值. 16．（本小题满分15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，. (1)若，，求； (2)若的面积为，，求. 17．（本小题满分15分）在中，内角、、所对的边分别为、、，向量，，且． (1)求角的大小 (2)若，，求的面积． 18．（本小题满分17分）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，D为BC的中点，的面积为，求AD的长． 19．（本小题满分17分）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量满足：，，且． (1)求角； (2)若是锐角三角形，且，求的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $