第1章 平面向量及其应用（复习讲义）数学湘教版必修第二册

该高中数学复习讲义以“平面向量及其应用”为核心，按“概念-运算-应用”逻辑主线构建知识体系。通过表格呈现线性运算法则，思维导图梳理向量与三角知识脉络，常用结论专栏归纳共线、中点等性质，突出重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固向量概念与运算，能力题结合几何、三角综合应用，如向量共线定理证明三点共线、正余弦定理解三角形实际问题，培养数学思维与模型意识。配套变式训练和易错点解析，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

第1章 平面向量及其应用（复习讲义） 1．理解平面向量的概念、两个向量相等的含义及向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的充要条件． 3．理解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 4．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 5．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 6．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 7．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、物理问题以及其他一些实际问题． 8．掌握正弦定理、余弦定理，能用正弦定理、余弦定理解三角形．会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量． 2．零向量：长度为0，方向任意． 3．单位向量：长度为1个单位长度的向量． 4．平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量．规定0与任意向量平行(共线)． 5．相等(反)向量：长度相等且方向相同(反)的向量． 二、平面向量的线性运算 1．线性运算的法则 法则 加法 　 减法 数乘 大小：|λa|＝|λ||a|； 方向：λ>(<)0时，λa与a的方向相同(反). 2．运算律 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、平面向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【常用结论】 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． (2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则 ①＋＋＝0； ②＝(＋)； ③＝(＋)＝(＋)． (3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2. (4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)． 四、平面向量基本定理 1．定理：对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(e1，e2是两个不共线向量)． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3．注意点：(1)同一向量在不同基底下的表示是不同的； (2)由定理内容可知，对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则 五、平面向量的坐标运算 1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)， (3)λa＝(λx1，λy1)， (4)|a|＝. 2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ＝(x2－x1，y2－y1)，＝. 六、平面向量共线的坐标表示 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 2．当x2y2≠0时，a∥b等价于＝. 【常用结论】 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 七、两向量的夹角 1．定义：＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．共线与垂直：当θ＝0时，a，b同向；当θ＝π时，a，b反向；当θ＝时，a⊥b. 3．注意点：分析两个向量的夹角，要求两个向量的起点重合，不重合时可以通过“平移”实现． 八、平面向量的数量积 1．数量积：a·b＝|a||b|cos θ(a与b为非零向量，θ为向量a，b的夹角)．零向量与任一向量的数量积为0. 2．投影向量：如图，＝a，＝b, MM1⊥ON，是向量a在向量b上的投影向量． 3．运算律： 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．注意点：由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量． 九、平面向量数量积的性质 非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2. 1．模：|a|＝＝. 2．夹角：cos θ＝＝. 3．垂直的充要条件： a⊥b⇔ a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0. 【常用结论】 (1)|a＋b|＝|a－b|⇔a⊥b；|a|＝|b|⇔(a＋b)⊥(a－b)． (2)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时a·b>0，但夹角不是锐角)； 两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时a·b<0，但夹角不是钝角)． 十、余弦定理 1．定理： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C． 2．推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝. 十一、正弦定理 1．定理： ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 2．变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2R·sin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 十二、三角形的面积公式 1．S△ABC＝aha(ha为边a上的高)． 2．S△ABC＝absin C＝bc·sin A＝acsin B． 3．S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 【常用结论】 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin； (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C． 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 3．三角形解的个数 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 4．S△ABC＝，p＝(a＋b＋c)． 十三、测量中的几个有关术语 名称 图形表示 仰角 俯角 方位角 方向角 坡角θ 坡比i 题型一 平面向量的有关概念 【例1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D.3 【变式1-1】设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 【变式1-2】给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________． 【变式1-3】(多选题)下列命题正确的是(　　) A．若a，b同向，则有|b＋a|＝|b|＋|a| B．若a，b不共线，则有|a＋b|>|a|＋|b| C．对任意两个向量a，b，总有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若三向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，则此三向量围成一个三角形 题型二 向量加、减法的几何意义 【例2】设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| 【变式2-1】设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________． 题型三 向量的线性运算 【例3】在△ABC中，＝2，且E为AC的中点，则＝(　　) A．－＋ B．－ C．－－ D.＋ 【变式3-1】在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　) A．＋ B．＋ 【变式3-2】在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 【变式3-2】在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 题型四 根据向量线性运算求参数 【例4】如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　) A.＋ B.－ C.＋ D.－ 【变式4-2】如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为(　　) A．1 B. C. D. 【变式4-3】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________． 题型五 平面向量共线定理的应用 【例5】设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 【变式5-1】设两个非零向量a与b不共线． 若＝a＋b，＝a＋mb，＝3(a－b)， 则m为何值时，A，B，D三点共线？ 【变式5-2】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　) A. B. C. D. 【变式5-3】设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________． 题型六 已知向量的坐标进行坐标运算 【例6】已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 【变式6-1】平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________． 【变式6-2】已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A. B. C. D. 【变式6-3】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________． 题型七 利用两向量共线求参数或坐标 【例7】已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________． 【变式7-1】已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 【变式7-2】已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　) A．－ B. C. D. 【变式7-3】知a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． 题型八 平面向量数量积的运算 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________． 【变式8-1】1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． 【变式8-2】在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝________． 题型九 平面向量的模 【例9】已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，则|2a－b|＝(　　) A.　　 B．2 C. D．10 【变式9-1】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【变式9-2】已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________． 题型十 平面向量的夹角 【例10】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　) A.　　　 B. C. D. 【变式10-1】若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【变式10-2】已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ， 则cos θ＝________． 题型十一 两向量垂直问题 【例11】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． 【变式11-1】已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　) A. B. C．6 D．4 【变式11-2】已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________． 题型十二 已知向量的投影向量 【例12】已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量是　　　　　,向量e在向量a上的投影向量是　　　　　　.  【变式12-1】已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是　　　　.  【变式12-2】已知|a|=3,|b|=5,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则a在b上的投影向量为　　　　.   题型十三 平面向量与三角函数 【例13】（已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈R. (1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值； (2)当θ∈[0，]时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围． 【变式13-1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))， n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影． 题型十四 利用正、余弦定理求解三角形的边长 【例14】在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b＝a＋2，c＝b＋2，C＝120°. (1)求边长a； (2)求AB边上的高CD的长． 【变式14-1】如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－， ∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________． 【变式14-2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若23cos2A＋cos 2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求b的值； (2)若a＝，A＝，求b＋c的取值范围． 题型十五 利用正、余弦定理求解三角形的角 【例15】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A(sin C－cos C)＝cos B，a＝2，c＝，则角C的大小为________． 【变式15-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin BsinC． (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sinC． 【变式15-2】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 题型十六 计算三角形的面积 【例16】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝， c＝2，则△ABC的面积等于(　　) A. B．2 C. D. 【变式16-1】在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　) A. B． C. D. 【变式16-2】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(b,-a)与n=(cos A,sin B)垂直. (1)求A; (2)若B+=A,a=2,求△ABC的面积. 题型十七 已知三角形的面积解三角形 【例17】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S， a2＋b2－c2＝2S. (1)求cos C； (2)若acos B＋bsin A＝c，a＝，求b. 【变式17-1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2＋c2－a2＝bc. (1)求sin A的值； (2)若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长． 【变式17-2】已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，b＝1，若△ABC的面积为，则a的长为________． 题型十八 三角形形状的判定 【例18】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求角A的大小; (2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状. 【变式18-1】在△ABC中,若(a-ccos B)b=(b-ccos A)a,判断△ABC的形状. 【变式18-2】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=acos C,试判定△ABC的形状. 基础巩固通关测 1．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　) A．1 B. C. D. 3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 4．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　) A．－3 B．3 C．2 D．－2 5．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　) A．－2　　 B．－4 C．－3 D．－1 6.已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 7．在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若＝m＋n，则(　　) A．m＝，n＝ B．m＝，n＝ C．m＝，n＝ D．m＝，n＝ 8．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，4)　　 B．(4，＋∞) C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞) 9．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．2 B. C．2 D．4 10．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　) A．2　 B. C．0 D．－ 11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则·＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．12 12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 13．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　　) A．－ B. C．－ D. 14．如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　) A．13 B．7 C．5 D．3 15．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________． 16．已知在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 17．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则A＝(　　) A．60°　　　　　　　　　 B．30°或90° C．60°或120° D．90°. 18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2b－acos C＝0，sin A＝3sin(A＋C)，则＝(　　) A. B． C. D. 19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若2B=A+C，且a＝1，b＝， 则S△ABC＝(　　) A. B． C. D．2 20．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝ 且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　) A．5＋ B．12 C．10＋ D．5＋2 21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝2ac，则a＝________． 能力提升进阶练 1．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　) A．1　　　 B．－ C．1或－ D．－1或－ 2．在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 3．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　) A．(2，0)　 B．(0，－2) C．(－2，0) D．(0，2) 4.已知P＝，Q＝是两个向量集合，则P∩Q等于(　　) A. B. C. D. 5．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 6．在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上的一点，且＝3，则·的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 7．已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　) A. B. C. D. 8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 9．在△ABC中,已知=,且2sin Asin B=2sin2C. (1)试判断△ABC的形状; (2)求的取值范围. 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________． 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b. (1)求角C; (2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值． 21 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 平面向量及其应用（复习讲义） 1．理解平面向量的概念、两个向量相等的含义及向量的几何表示． 2．掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义，掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的充要条件． 3．理解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． 4．能用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 5．理解平面向量数量积的概念及其物理意义，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义． 6．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 7．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、物理问题以及其他一些实际问题． 8．掌握正弦定理、余弦定理，能用正弦定理、余弦定理解三角形．会运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 一、向量的有关概念 1．向量：既有大小又有方向的量． 2．零向量：长度为0，方向任意． 3．单位向量：长度为1个单位长度的向量． 4．平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量．规定0与任意向量平行(共线)． 5．相等(反)向量：长度相等且方向相同(反)的向量． 二、平面向量的线性运算 1．线性运算的法则 法则 加法 　 减法 数乘 大小：|λa|＝|λ||a|； 方向：λ>(<)0时，λa与a的方向相同(反). 2．运算律 a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)； λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、平面向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【常用结论】 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋)． (2)若G是△ABC的重心，D是BC边的中点，则 ①＋＋＝0； ②＝(＋)； ③＝(＋)＝(＋)． (3)在四边形ABCD中，若E为AD的中点，F为BC的中点，则＋＝2. (4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，点A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. (5)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(|a|2＋|b|2)． 四、平面向量基本定理 1．定理：对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2(e1，e2是两个不共线向量)． 2．基底：若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3．注意点：(1)同一向量在不同基底下的表示是不同的； (2)由定理内容可知，对于一组基底e1，e2，若a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则 五、平面向量的坐标运算 1．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有： (1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， (2)a－b＝(x1－x2，y1－y2)， (3)λa＝(λx1，λy1)， (4)|a|＝. 2．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： ＝(x2－x1，y2－y1)，＝. 六、平面向量共线的坐标表示 1．设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0. 2．当x2y2≠0时，a∥b等价于＝. 【常用结论】 (1)若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (2)已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. (3)已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. 七、两向量的夹角 1．定义：＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 2．共线与垂直：当θ＝0时，a，b同向；当θ＝π时，a，b反向；当θ＝时，a⊥b. 3．注意点：分析两个向量的夹角，要求两个向量的起点重合，不重合时可以通过“平移”实现． 八、平面向量的数量积 1．数量积：a·b＝|a||b|cos θ(a与b为非零向量，θ为向量a，b的夹角)．零向量与任一向量的数量积为0. 2．投影向量：如图，＝a，＝b, MM1⊥ON，是向量a在向量b上的投影向量． 3．运算律： 对于向量a，b，c和实数λ，有 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 4．注意点：由a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，两边不能约去同一个向量． 九、平面向量数量积的性质 非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其夹角为θ，则a·b＝x1x2＋y1y2. 1．模：|a|＝＝. 2．夹角：cos θ＝＝. 3．垂直的充要条件： a⊥b⇔ a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＝0. 【常用结论】 (1)|a＋b|＝|a－b|⇔a⊥b；|a|＝|b|⇔(a＋b)⊥(a－b)． (2)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时a·b>0，但夹角不是锐角)； 两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时a·b<0，但夹角不是钝角)． 十、余弦定理 1．定理： a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C． 2．推论： cos A＝， cos B＝， cos C＝. 十一、正弦定理 1．定理： ＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)． 2．变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2R·sin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C． 十二、三角形的面积公式 1．S△ABC＝aha(ha为边a上的高)． 2．S△ABC＝absin C＝bc·sin A＝acsin B． 3．S△ABC＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)． 【常用结论】 1．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin＝cos；(4)cos＝sin； (5)tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C． 2．三角形中的射影定理 在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B． 3．三角形解的个数 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b a>b 解的个数 一解 两解 一解 一解 4．S△ABC＝，p＝(a＋b＋c)． 十三、测量中的几个有关术语 名称 图形表示 仰角 俯角 方位角 方向角 坡角θ 坡比i 题型一 平面向量的有关概念 【例1】设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　　 D.3 【答案】D 【详解】选D.向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 【变式1-1】设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　) A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b| 【答案】C 【详解】选C.因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D. 当a＝2b时，＝＝，故“a＝2b”是“＝”成立的充分条件． 【变式1-2】给出下列命题： ①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形； ④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中真命题的序号是________． 【答案】③ 【详解】①是错误的，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点． ②是错误的，|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b的方向不一定相等或相反． ③是正确的，因为＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形． ④是错误的，当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． ⑤是错误的，当λ＝μ＝0时，a与b可以为任意向量，满足λa＝μb，但a与b不一定共线． 【变式1-3】(多选题)下列命题正确的是(　　) A．若a，b同向，则有|b＋a|＝|b|＋|a| B．若a，b不共线，则有|a＋b|>|a|＋|b| C．对任意两个向量a，b，总有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若三向量a，b，c，满足a＋b＋c＝0，则此三向量围成一个三角形 【答案】AC　 【详解】由向量加法的三角不等式对于任意向量都有|a＋b|≤|a|＋|b|(其中当a，b中有一个为0或a，b同向时不等式取等)，可以判断AC正确，B错误， D中当a＝b＝c＝0时，三向量围不成一个三角形，故错误． 题型二 向量加、减法的几何意义 【例2】设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则(　　) A．a⊥b B．|a|＝|b| C．a∥b D．|a|>|b| 【答案】A 【详解】依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A. 【变式2-1】设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________． 【答案】 【详解】方法一：如图，设＝a，＝b，利用平行四边形法则得＝a＋b， 因为|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，所以△OAC为正三角形，所以||＝|a－b|＝2××|a|＝. 方法二：因为a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，所以(a＋b)2＝1，所以1＋1＋2a·b＝1，所以a·b＝－，所以|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝1＋1－2×(－)＝3，所以|a－b|＝. 题型三 向量的线性运算 【例3】在△ABC中，＝2，且E为AC的中点，则＝(　　) A．－＋ B．－ C．－－ D.＋ 【答案】A 【详解】 方法一：如图，连接AD.＝－＝－(＋)＝－－(－) ＝－＋. 方法二：＝＋＋＝－＋ ＝(＋)－＋＝－＋. 方法三：如图，作＝，以，为基底将分解，＝＋＝x＋y， 则＝x＋y，易知x<0，y>0，排除B，C，D选项，故选A. 方法四：不妨令△ABC为直角三角形，C＝90°，AC＝2，BC＝3，以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，则C(0，0)，A(2，0)，B(0，3)，D(0，2)，E(1，0)，所以＝(－2，3)，＝(－2，0)，＝(1，－2)，易得＝－＋，故选A. 【变式3-1】在等腰梯形ABCD中，＝－2，M为BC的中点，则＝(　　) A．＋ B．＋ C．＋ D．＋ 【答案】B　 【详解】因为＝－2，所以＝2.又M是BC的中点，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋. 【变式3-2】在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA．记＝m，＝n，则＝(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 【答案】B 【详解】如图， ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋－， 所以＝－，即＝3－2＝3n－2m. 【变式3-2】在四边形ABCD中，＝，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，则(　　) A.＝＋ B.＝＋ C.＝＋ D.＝＋ 【答案】B 【详解】如图 在四边形ABCD中，如图所示，因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．由已知得＝，由题意知△DEF∽△BEA，则＝，所以＝＝(－)＝×＝， 所以＝＋＝＋＝＋，故选B. 题型四 根据向量线性运算求参数 【例4】如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】法一：根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋. 因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3. 法二：因为＝2，所以－＝2(－)，整理，得＝＋＝＋(＋)＝＋，以下同法一． 法三：如图，延长AD，BC交于点P，则由＝得DC∥AB，且AB＝4DC. 又＝2，所以E为PB的中点，且＝. 于是，＝(＋)＝＝＋.以下同法一． 法四：如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0. 由＝r＋s，得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，所以解得 所以2r＋3s＝1＋2＝3. 【变式4-1】如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE，则用向量，表示为(　　) A.＋ B.－ C.＋ D.－ 【答案】B 【详解】选B. 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得＝－＝－＝(＋)－ ＝－ ＝－. 【变式4-2】如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点P在线段BN上且＝＋，则实数m的值为(　　) A．1 B. C. D. 【答案】D 【详解】选D. ＝＋＝＋(－)＝m＋，设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ，因为＝，所以＝(1－λ)＋λ＝＋λ，则解得故选D. 【变式4-3】在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若＝x＋(1－x)，则x的取值范围是________． 【答案】 【详解】 设＝y，因为＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋y). 因为＝3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)． 所以y∈， 因为＝x＋(1－x)， 所以x＝－y，所以x∈. 答案： 题型五 平面向量共线定理的应用 【例5】设两个非零向量a与b不共线． (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线． 【详解】　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5， 所以，共线，又它们有公共点B， 所以A，B，D三点共线． (2)因为ka＋b与a＋kb共线， 所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b. 又a，b是两个不共线的非零向量， 所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0. 所以k＝±1. 【变式5-1】设两个非零向量a与b不共线． 若＝a＋b，＝a＋mb，＝3(a－b)， 则m为何值时，A，B，D三点共线？ 【详解】＋＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， 即＝4a＋(m－3)b. 若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使＝λ， 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)， 所以解得m＝7. 故当m＝7时，A，B，D三点共线． 【变式5-2】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于点K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】选A.因为＝，＝， 所以＝，＝2. 由向量加法的平行四边形法则可知， ＝＋， 所以＝λ＝λ(＋) ＝λ＝λ＋2λ， 由E，F，K三点共线，可得λ＝，故选A. 【变式5-3】设两个非零向量a与b不共线，若a与b的起点相同，且a，tb，(a＋b)的终点在同一条直线上，则实数t的值为________． 【答案】 【详解】因为a，tb，(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，且a与b的起点相同， 所以a－tb与a－(a＋b)共线，即a－tb与a－b共线， 所以存在实数λ，使a－tb＝λ，所以解得λ＝，t＝. 答案： 题型六 已知向量的坐标进行坐标运算 【例6】已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，则c＝(　　) A．(－23，－12) B．(23，12) C．(7，0) D．(－7，0) 【答案】A 【详解】3a－2b＋c＝(23＋x，12＋y)＝0，故x＝－23，y＝－12，故选A. 【变式6-1】平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C(－1，c)(c>0)，且||＝2，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ的值为________． 【答案】－1 【详解】因为||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因为c>0，所以c＝.因为＝λ＋μ，所以(－1，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)，所以λ＝－1，μ＝， 所以λ＋μ＝－1. 【变式6-2】已知平行四边形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【详解】选D.因为＝＋＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以＝＝，所以＝. 【变式6-3】在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为________． 【答案】3 【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，2)，D(0，2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝，因为P在圆C上，所以P(1＋cos θ，2＋sin θ)，＝(1，0)，＝(0，2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，所以λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3，tan φ＝2. 题型七 利用两向量共线求参数或坐标 【例7】已知平面向量a，b，c，a＝(－1，1)，b＝(2，3)，c＝(－2，k)，若(a＋b)∥c，则实数k＝________． 【答案】－8. 【详解】由题意，得a＋b＝(1，4)，由(a＋b)∥c，得1×k＝4×(－2)，解得k＝－8. 【变式7-1】已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三个顶点A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，则点D的坐标为________． 【答案】(2，4) 【详解】因为在梯形ABCD中，AB∥CD，DC＝2AB，所以＝2.设点D的坐标为(x，y)，则＝(4，2)－(x，y)＝(4－x，2－y)，＝(2，1)－(1，2)＝(1，－1)，所以(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，所以解得故点D的坐标为(2，4)． 【变式7-2】已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k的值是(　　) A．－ B. C. D. 【答案】A 【详解】　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．因为A，B，C三点共线，所以，共线，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 【变式7-3】知a＝(1，0)，b＝(2，1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． 【详解】(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为ka－b与a＋2b共线，所以2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)法一：因为A，B，C三点共线， 所以＝λ，即2a＋3b＝λ(a＋mb)， 所以，解得m＝. 法二：＝2a＋3b＝2(1，0)＋3(2，1)＝(8，3)， ＝a＋mb＝(1，0)＋m(2，1)＝(2m＋1，m)． 因为A，B，C三点共线， 所以∥.所以8m－3(2m＋1)＝0， 即2m－3＝0，所以m＝. 题型八 平面向量数量积的运算 【变式8-1】 【变式8-2】 【变式8-3】 【例8】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝________． 【答案】12 【详解】　法一：因为·＝2·，所以·－·＝·， 所以·＝·. 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||·||cos，化简得||＝2.故·＝·(＋)＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos＝12. 法二：如图，建立平面直角坐标系xAy. 依题意，可设点D(m，m)，C(m＋2，m)，B(n，0)，其中m＞0，n＞0，则由·＝2·，得(n，0)·(m＋2，m)＝2(n，0)·(m，m)，所以n(m＋2)＝2nm，化简得m＝2.故·＝(m，m)·(m＋2，m)＝2m2＋2m＝12. 【变式8-1】1．已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1＝e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则b1·b2＝________． 【答案】－6 【详解】b1·b2＝(e1－2e2)·(3e1＋4e2)＝3|e1|2－2e1·e2－8|e2|2.其中|e1|2＝|e2|2＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|·cos＝1×1×＝，所以b1·b2＝－6. 【变式8-2】在▱ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，＝2，则·＝________． 【答案】24 【详解】法一：·＝(＋)·(＋)＝·＝2－2＝×82－×62＝24. 法二(特例图形)：若▱ABCD为矩形，建立如图所示坐标系， 则N(4，6)，M(8，4)． 所以＝(8，4)，＝(4，－2) 所以·＝(8，4)·(4，－2)＝32－8＝24. 答案：24 题型九 平面向量的模 【例9】已知向量a＝(－1，2)，b＝(1，3)，则|2a－b|＝(　　) A.　　 B．2 C. D．10 【答案】C法一：因为a＝(－1，2)，所以2a＝(－2，4)，因为b＝(1，3)，所以2a－b＝(－3，1)，所以|2a－b|＝，故选C. 法二：在直角坐标系xOy中作出平面向量a，2a，b，2a－b，如图所示，由图易得|2a－b|＝，故选C. 【变式9-1】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC中点，则||等于(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b， 所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2. 【变式9-2】已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为__________． 【答案】5 【详解】建立平面直角坐标系如图所示 ，则A(2，0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则＋3＝(2，－y)＋3(1，b－y)＝(5，3b－4y)． 所以|＋3| ＝(0≤y≤b)． 当y＝b时，|＋3|min＝5. 题型十 平面向量的夹角 【例10】已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则a＋2b与b的夹角是(　　) A.　　　 B. C. D. 【答案】A 【详解】因为|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋1＋4×1××cos＝3，所以|a＋2b|＝. 又(a＋2b)·b＝a·b＋2|b|2＝1××cos＋2×＝＋＝， 所以cos〈a＋2b，b〉＝＝＝， 所以a＋2b与b的夹角为. 【变式10-1】若向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】k<3 【详解】因为2a－3b与c的夹角为钝角， 所以(2a－3b)·c<0，即(2k－3，－6)·(2，1)<0，所以4k－6－6<0，所以k<3. 【变式10-2】已知正方形ABCD，点E在边BC上，且满足2＝，设向量，的夹角为θ，则cos θ＝________． 【答案】－ 【详解】法一：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，则||＝，||＝2，·＝·(－)＝||2－||2＋·＝×22－22＝－2，所以cos θ＝＝＝－. 法二：因为2＝，所以E为BC的中点．设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则点A(0，0)，B(2，0)，D(0，2)，E(2，1)，所以＝(2，1)，＝(－2，2)，所以·＝2×(－2)＋1×2＝－2，故cos θ＝＝＝－. 答案：－ 题型十一 两向量垂直问题 【例11】已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________． 【答案】　 【详解】因为⊥，所以·＝0. 又＝λ＋，＝－， 所以(λ＋)·(－)＝0， 即(λ－1)·－λ2＋2＝0， 所以(λ－1)||||cos 120°－9λ＋4＝0. 所以(λ－1)×3×2×(－)－9λ＋4＝0.解得λ＝. 【答案】　 【变式11-1】已知向量||＝3，||＝2，＝m＋n，若与的夹角为60°，且⊥，则实数的值为(　　) A. B. C．6 D．4 【答案】A 【详解】选A.因为向量||＝3，||＝2，＝m＋n，与夹角为60°，所以·＝3×2×cos 60°＝3， 所以·＝(－)·(m＋n) ＝(m－n)·－m||2＋n||2 ＝3(m－n)－9m＋4n＝－6m＋n＝0，所以＝，故选A. 【变式11-2】已知与的夹角为90°，||＝2，||＝1，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，且·＝0，则的值为________． 【答案】 【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，所以＝(0，2)，＝(1，0)，＝(1，－2)．设M(x，y)，则＝(x，y)，所以·＝(x，y)·(1，－2)＝x－2y＝0，所以x＝2y，又＝λ＋μ，即(x，y)＝λ(0，2)＋μ(1，0)＝(μ，2λ)，所以x＝μ，y＝2λ，所以＝＝.答案： 题型十二 已知向量的投影向量 【例12】已知|a|=4,e为单位向量,它们的夹角为,则向量a在向量e上的投影向量是　　　　　,向量e在向量a上的投影向量是　　　　　　.  【答案】-2e　-a 【详解】向量a在向量e上的投影向量是|a|cos θ e=4cos =-2e.因为与向量a方向相同的单位向量为=a,所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cos θ·=cos ·a=-a. 【变式12-1】已知|a|=4,|b|=6,a与b的夹角为60°,则向量a在向量b上的投影向量是　　　　.  【答案】b 【详解】向量a在向量b上的投影向量是 |a|cos 60°=4××b=b. 【变式12-2】已知|a|=3,|b|=5,a·b=-12,且e是与b方向相同的单位向量,则a在b上的投影向量为　　　　.  【答案】-e 【详解】设a与b的夹角为θ,则cos θ===-, 所以a在b上的投影向量为|a|cos θ·e=3×(-)e=-e. 题型十三 平面向量与三角函数 【例13】（已知两个不共线的向量a，b满足a＝(1，)，b＝(cos θ，sin θ)，θ∈R. (1)若2a－b与a－7b垂直，求|a＋b|的值； (2)当θ∈[0，]时，若存在两个不同的θ，使得|a＋b|＝|ma|成立，求正数m的取值范围． 【详解】(1)由条件知|a|＝2，|b|＝1，又2a－b与a－7b垂直， 所以(2a－b)·(a－7b)＝8－15a·b＋7＝0，所以a·b＝1. 所以|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋2＋1＝7，故|a＋b|＝. (2)由|a＋b|＝|ma|，得|a＋b|2＝|ma|2. 即|a|2＋2 a·b＋3|b|2＝m2|a|2， 即4＋2a·b＋3＝4m2，7＋2(cos θ＋sin θ)＝4m2. 所以4sin＝4m2－7. 由θ∈[0，]，得θ＋∈[，]， 因为存在两个不同的θ满足题意，所以数形结合知4sin(θ＋)∈[6，4)，即6≤4m2－7＜4，即≤m2＜，又m＞0，所以≤m＜. 即实数m的取值范围为. 【变式13-1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))， n＝(cos B，－sin B)，且m·n＝－. (1)求sin A的值； (2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影． 【详解】(1)由m·n＝－， 得cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－， 所以cos A＝－.因为0<A<π， 所以sin A＝＝＝. (2)由正弦定理＝， 得sin B＝＝＝， 因为a>b，所以A>B，则B＝， 由余弦定理得＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1. 故向量在方向上的投影为 ||cos B＝ccos B＝1×＝. 题型十四 利用正、余弦定理求解三角形的边长 【例14】在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b＝a＋2，c＝b＋2，C＝120°. (1)求边长a； (2)求AB边上的高CD的长． 【详解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4， 由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3. (2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由三角形的面积公式得 absin ∠ACB＝c×CD， 所以CD＝＝＝， 即AB边上的高CD＝. 法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7， 由正弦定理得＝＝， 即sin A＝， 在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝， 即AB边上的高CD＝. 【变式14-1】如图，在直角梯形ABDE中，已知∠ABD＝∠EDB＝90°，C是BD上一点，AB＝3－， ∠ACB＝15°，∠ECD＝60°，∠EAC＝45°，则线段DE的长度为________． 【答案】6 【详解】在Rt△ABC中，因为AB＝AC·sin ∠ACB，所以3－＝AC·sin 15°，又sin 15°＝，所以可得AC＝2. 又易知∠AEC＝30°，所以在△ACE中，由正弦定理＝，得EC＝4.于是在Rt△CDE中，由∠ECD＝60°，可得DE＝EC·sin 60°＝4×＝6. 答案：6 【变式14-2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. (1)若23cos2A＋cos 2A＝0，且△ABC为锐角三角形，a＝7，c＝6，求b的值； (2)若a＝，A＝，求b＋c的取值范围． 【详解】(1)因为23cos2 A＋cos 2A＝23cos2 A＋2cos 2A－1＝0，所以cos2 A＝， 又A为锐角，所以cos A＝， 而a2＝b2＋c2－2bccos A，即b2－b－13＝0， 解得b＝5(负值舍去)，所以b＝5. (2)法一：因为＝＝2，由正弦定理可得b＋c＝2(sin B＋sin C)＝2＝2·sin， 因为0<B<，所以<B＋<，所以<sin≤1，所以b＋c∈(，2]． 法二：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A可得b2＋c2－3＝bc， 即(b＋c)2－3＝3bc≤(b＋c)2，当且仅当b＝c时取等号， 所以b＋c≤2，又由两边之和大于第三边可得b＋c>，所以b＋c∈(，2]． 题型十五 利用正、余弦定理求解三角形的角 【例15】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A(sin C－cos C)＝cos B，a＝2，c＝，则角C的大小为________． 【答案】 【详解】因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos(A＋C)，所以cos Asin C＝sin Asin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，又A∈(0，π)所以A＝，又＝，即＝，所以sin C＝，因为c<a，所以0<C<，故C＝. 【变式15-1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin BsinC． (1)求A； (2)若a＋b＝2c，求sinC． 【详解】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc. 由余弦定理得cos A＝＝. 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°. (2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－. 由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故 sin C＝sin(C＋60°－60°) ＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60° ＝. 【变式15-2】在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝2，求BC. 【详解】(1)在△ABD中，由正弦定理得＝. 由题设知，＝， 所以sin∠ADB＝. 由题设知，∠ADB<90°， 所以cos∠ADB＝＝. (2)由题设及(1)知， cos∠BDC＝sin∠ADB＝. 在△BCD中，由余弦定理得 BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC ＝25＋8－2×5×2× ＝25. 所以BC＝5. 题型十六 计算三角形的面积 【例16】△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝120°，sin C＝， c＝2，则△ABC的面积等于(　　) A. B．2 C. D. 【答案】A 【详解】由正弦定理＝，得b＝＝＝.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得7＝a2＋4＋2a，解得a＝1或a＝－3(舍去)，所以S△ABC＝acsin B＝×1×2×＝，故选A. 【变式16-1】在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，则△ABC的面积等于(　　) A. B． C. D. 【答案】D 【详解】选D.在△ABC中，cos B＝，b＝2，sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋4a2－2a·2a·＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝acsin B＝×1×2×＝.故选D. 【变式16-2】△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(b,-a)与n=(cos A,sin B)垂直. (1)求A; (2)若B+=A,a=2,求△ABC的面积. 【详解】(1)因为m⊥n, 所以m·n=b·cos A-a·sin B=0, 即bcos A=asin B, 由正弦定理得sin Bcos A=sin Asin B, 又sin B≠0, 所以cos A=sin A, 所以tan A=, 又0<A<π,所以A=. (2)由B+=A及(1)得B=, 所以C=π--=. 由正弦定理得c===2, 所以S△ABC=acsin B=×2×2sin = 2sin(-)=2×(×-×)=-1, 所以△ABC的面积为-1. 题型十七 已知三角形的面积解三角形 【例17】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，a2＋b2－c2＝2S. (1)求cos C； (2)若acos B＋bsin A＝c，a＝，求b. 【详解】(1)因为S＝absin C，a2＋b2－c2＝2S， 所以a2＋b2－c2＝absin C， 在△ABC中，由余弦定理得cos C＝＝＝， 所以sin C＝2cos C， 又sin2C＋cos2C＝1，所以5cos2C＝1，cos C＝±， 又C∈(0，π)，所以sin C>0，所以cos C>0，所以cos C＝. (2)方法一：在△ABC中，由正弦定理得sin Acos B＋sin Bsin A＝sin C， 因为sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＋sin Bsin A＝sin Acos B＋cos Asin B，即sin Bsin A＝cos Asin B， 又A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，sin A＝cos A，得A＝. 因为sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， 所以sin B＝sin Acos C＋cos Asin C＝×＋×＝. 在△ABC中，由正弦定理得b＝＝＝3. 方法二：因为acos B＋bsin A＝c， acos B＋bcos A＝c， 所以acos B＋bsin A＝acos B＋bcos A， 即sin A＝cos A，又A∈(0，π)，所以A＝. 在△ABC中，由正弦定理得c＝＝＝2. 因为b＝ccos A＋acos C， 所以b＝2×＋×＝3. 方法三：求A同方法一或方法二． 在△ABC中，由正弦定理得c＝＝＝2， 由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，得b2－2b－3＝0，解得b＝－1(舍去)或b＝3. 所以b＝3. (或由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得b2－4b＋3＝0，解得b＝1或b＝3.因为当b＝1时，a2＋b2－c2＝－2<0，不满足cos C>0或a2＋b2－c2＝－2≠2S，所以应舍去，故b＝3) 【变式17-1】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且b2＋c2－a2＝bc. (1)求sin A的值； (2)若△ABC的面积为，且sin B＝3sin C，求△ABC的周长． 【详解】(1)因为b2＋c2－a2＝2bccos A，所以2bccos A＝bc， 所以cos A＝， 所以在△ABC中，sin A＝＝. (2)因为△ABC的面积为，所以bcsin A＝bc＝， 所以bc＝6. 因为sin B＝3sin C，所以由正弦定理得 b＝3c， 所以b＝3，c＝2， 所以a2＝b2＋c2－2bccos A＝6，所以a＝. 所以△ABC的周长为2＋3＋. 【变式17-2】已知钝角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，b＝1，若△ABC的面积为，则a的长为________． 【答案】 【详解】因为△ABC的面积S＝bcsin A，所以＝×1×sin A，所以sin A＝，所以cos A＝±，当cos A＝时，由a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝，此时△ABC为直角三角形(舍去)； 当cos A＝－时，由a2＝b2＋c2－2bccos A得a＝，经检验，a＝符合题意． 综上，a＝. 题型十八 三角形形状的判定 【例18】已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,(a+b+c)(b+c-a)=3bc. (1)求角A的大小; (2)若b+c=2a=2,试判断△ABC的形状. 【详解】(1)因为(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 所以a2=b2+c2-bc, 而a2=b2+c2-2bccos A,所以2cos A=1, 所以cos A=. 因为A∈(0,π),所以A=. (2)在△ABC中,a2=b2+c2-2bccos A, 且a=,所以()2=b2+c2-2bc·=b2+c2-bc,① 又因为b+c=2,与①联立,解得bc=3, 所以所以b=c=, 于是a=b=c=,即△ABC为等边三角形. 【变式18-1】在△ABC中,若(a-ccos B)b=(b-ccos A)a,判断△ABC的形状. 【详解】由余弦定理,原式可化为 (a-c·)b=(b-c·)a, 整理得,(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 故a2+b2-c2=0或a2=b2, 即a2+b2=c2或a=b, 故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 【变式18-2】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=acos C,试判定△ABC的形状. 【详解】法一　(从角的关系判断) 因为b=acos C, 由正弦定理得sin B=sin Acos C, 因为B=π-(A+C), 所以sin (A+C)=sin Acos C, 即sin Acos C+cos Asin C=sin A cos C, 所以cos Asin C=0, 因为A,C∈(0,π),所以cos A=0,所以A=, 所以△ABC为直角三角形. 法二　(从边的关系判断) 因为b=acos C, 由余弦定理,得b=a·. 化简,得b2+c2=a2, 所以△ABC为直角三角形. 基础巩固通关测 1．在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 【答案】B 【详解】选B.因为＝，所以＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b，故选B. 2．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ等于(　　) A．1 B. C. D. 【答案】D. 【详解】选D.由题意易得＝＋＝＋， 所以2＝＋，即＝＋. 故λ＋μ＝＋＝. 3．已知向量a，b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c与d同向 B．k＝1且c与d反向 C．k＝－1且c与d同向 D．k＝－1且c与d反向 【答案】D 【详解】选D.由题意可设c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，(λ－k)a＝(λ＋1)b.因为a，b不共线，所以所以k＝λ＝－1，所以c与d反向，故选D. 4．如图，在△ABC中，＝，＝，若＝λ＋μ，则的值为(　　) A．－3 B．3 C．2 D．－2 【答案】B 【详解】选B.因为＝＋， ＝＝(－)＝－＝×－＝－， 所以＝＋＝＋； 又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝； 所以＝×＝3.故选B. 5．在平面直角坐标系中，已知向量a＝(1，2)，a－b＝(3，1)，c＝(x，3)，若(2a＋b)∥c，则x＝(　　) A．－2　　 B．－4 C．－3 D．－1 【答案】D 【详解】选D.因为a－b＝(3，1)，所以a－(3，1)＝b，则b＝(－4，2)．所以2a＋b＝(－2，6)．又(2a＋b)∥c，所以－6＝6x，x＝－1.故选D. 6.已知向量，和在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 【答案】A. 【详解】选A.如图所示，建立平面直角坐标系， 则＝(1，0)，＝(2，－2)，＝(1，2)． 因为＝λ＋μ，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)， 所以解得所以λ＋μ＝2.故选A. 7．在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点，若＝m＋n，则(　　) A．m＝，n＝ B．m＝，n＝ C．m＝，n＝ D．m＝，n＝ 【答案】A. 【详解】选A.在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BE的中点， 则＝＋，＝＋， 故＝＋， ＝＋. 由于＝m＋n， 所以m＝，n＝. 故选A. 8．已知平面直角坐标系内的两个向量a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb(λ，μ为实数)，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，4)　　 B．(4，＋∞) C．(－∞，4)∪(4，＋∞) D．(－∞，＋∞) 【答案】C 【详解】选C.平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝λa＋μb，由平面向量基本定理可知，向量a，b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不共线向量．又因为a＝(m，3m－4)，b＝(1，2)，则m×2－(3m－4)×1≠0，即m≠4，所以m的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)． 9．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1，0)，B(0，1)，C为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC＝，|OC|＝2，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A．2 B. C．2 D．4 【答案】A 【详解】选A.因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又因为＝λ＋μ，所以(，)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2. 10．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m). 若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　) A．2　 B. C．0 D．－ 【答案】B 【详解】选B.因为a·b＝(1，)·(3，m)＝3＋m， 又a·b＝××cos， 所以3＋m＝××cos，所以m＝. 11．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则·＝(　　) A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【详解】选C.·＝(＋)·(－)＝(＋)·(2－)＝2||2＋·－||2＝8＋2×2×－4＝6. 12．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD的顶点D被阴影遮住，找出D点的位置，·的值为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】选B.以点A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，A(0，0)，B(4，1)，C(6，4)，根据四边形ABCD为平行四边形，可以得到D(2，3)，所以·＝(4，1)·(2，3)＝8＋3＝11.故选B. 13．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠DAB＝90°，AB＝2，AD＝1，若点Q满足＝2，则·＝(　　) A．－ B. C．－ D. 【答案】D 【详解】选D.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)． 又＝2，所以Q， 所以＝，＝， 所以·＝＋1＝.故选D. 14．如图，AB是半圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则·等于(　　) A．13 B．7 C．5 D．3 【答案】C 【详解】选C.连接AP，BP，则＝＋，＝＋＝－，所以·＝(＋)·(－)＝·－·＋·－||2＝－·＋·－||2＝·－||2＝1×6－1＝5. 15．向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________． 【答案】 【详解】因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，所以(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即a2－2a·b＝0，b2－2a·b＝0，所以b2＝a2＝2a·b，cos〈a，b〉＝＝＝.因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝. 答案： 16．已知在△ABC中,bsin B=csin C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状. 【详解】由正弦定理===2R, 得sin A=,sin B=,sin C=. 因为bsin B=csin C,所以b·=c·, 所以b2=c2,所以b=c, 因为sin2A=sin2B+sin2C, 所以()2=()2+()2, 所以a2=b2+c2,所以A=90°, 所以△ABC为等腰直角三角形. 17．在△ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则A＝(　　) A．60°　　　　　　　　　 B．30°或90° C．60°或120° D．90° 【答案】B 【详解】选B.由正弦定理＝得＝，所以sin C＝，因为AB>AC，所以C＝60°或120°，当C＝60°，B＝30°时，A＝90°；当C＝120°，B＝30°时，A＝30°. 18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知2b－acos C＝0，sin A＝3sin(A＋C)，则＝(　　) A. B． C. D. 【答案】D 【详解】选D.因为2b－acos C＝0，所以由余弦定理得2b－a×＝0，整理得3b2＋c2＝a2　①.因为sin A＝3sin(A＋C)＝3sin B，所以由正弦定理可得a＝3b　②，由①②可得c＝b，则＝＝.故选D. 19．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若2B=A+C，且a＝1，b＝，则S△ABC＝(　　) A. B． C. D．2 【答案】C 【详解】选C.因为2B=A+C，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，得c＝2或c＝－1(舍去)，所以由正弦定理得S△ABC＝acsin B＝，故选C. 20．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝ 且2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于(　　) A．5＋ B．12 C．10＋ D．5＋2 【答案】A 【详解】选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sin B＝3sin C，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝＝bc·sin A，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A＝7，所以a＝，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A. 21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若acos B＋bcos A＝2ac，则a＝________． 【答案】 【详解】由题设及正弦定理得sin Acos B＋sin Bcos A＝2asin C，所以sin(A＋B)＝2asinC． 又A＋B＋C＝π，所以sin C＝2asin C，又sin C≠0，所以a＝. 答案： 能力提升进阶练 1．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d反向共线，则实数λ的值为(　　) A．1　　　 B．－ C．1或－ D．－1或－ 【答案】B 【详解】选B.由于c与d反向共线，则存在实数k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]．整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.由于a，b不共线，所以有整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－. 2．在△ABC中，点D是边BC上任意一点，M是线段AD的中点，若存在实数λ和μ，使得＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　) A. B．－ C．2 D．－2 【答案】B 【详解】选B.如图，因为点D在边BC上，所以存在t∈R，使得＝t＝t(－)．因为M是线段AD的中点，所以＝(＋)＝(－＋t－t)＝－(t＋1)·＋t. 又＝λ＋μ，所以λ＝－(t＋1)，μ＝t， 所以λ＋μ＝－.故选B. 3．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a在另一组基底m＝(－1，1)，n＝(1，2)下的坐标为(　　) A．(2，0)　 B．(0，－2) C．(－2，0) D．(0，2) 【答案】D 【详解】选D.因为a在基底p，q下的坐标为(－2，2)， 即a＝－2p＋2q＝(2，4)， 令a＝xm＋yn＝(－x＋y，x＋2y)， 所以即 所以a在基底m，n下的坐标为(0，2)． 4.已知P＝，Q＝是两个向量集合，则P∩Q等于(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】选A.设a＝(x，y)，则P＝{(x，y)|{x＝1，　 　,y＝m，m∈R)}，所以集合P是直线x＝1上的点的集合．同理，集合Q是直线x＋y＝2上的点的集合，即P＝，Q＝，所以P∩Q＝.故选A. 5．已知非零不共线向量，，若2＝x＋y，且＝λ(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是(　　) A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0 【答案】A 【详解】选A.由＝λ，得－＝λ(－)， 即＝(1＋λ)－λ. 又2＝x＋y， 所以消去λ得x＋y－2＝0，故选A. 6．在△ABC中，AC＝2AB＝2，∠BAC＝120°，O是BC的中点，M是AO上的一点，且＝3，则·的值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 【答案】A 【详解】选A.因为||2＝＝(||2＋||2＋2·)＝(12＋22＋2×1×2×cos 120°)＝，所以||＝，所以||＝.因为||2＝||2＋||2－2||·||·cos 120°＝4＋1－2×2×1×＝7，所以||＝，||＝，所以·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝－＝－，故选A. 7．已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60°，则△OBC的面积为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【详解】选A.因为＋＋＝0，所以O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC.因为·＝2，所以||·||·cos∠BAC＝2，因为∠BAC＝60°，所以||·||＝4.又S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，所以△OBC的面积为，故选A. 8．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 【答案】B 【详解】选B.如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2(y－)2－，当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值为－. 9．在△ABC中,已知=,且2sin Asin B=2sin2C. (1)试判断△ABC的形状; (2)求的取值范围. 【详解】(1)由已知及正弦定理得 ==, 所以b2-a2=ab,① 又2sin Asin B=2sin2C, 由正弦定理得 2ab=2c2,② 由①②得b2=a2+c2, 所以△ABC是以B为直角顶点的直角三角形. (2)由正弦定理得==sin A+sin C=sin A+cos A=sin(A+), 因为0<A<, 所以<A+<. 所以<sin(A+)≤1, 所以1<sin(A+)≤, 即的取值范围为(1, ]. 10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________． 解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc， 所以(acos B＋bcos A)＝c， 由正、余弦定理可得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，所以2cos Csin(A＋B)＝sin C，即2cos Csin C＝sin C， 又sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，B＝－A， 所以由正弦定理＝＝，可得a＝，b＝， 因为a＋b＝2，所以＋＝2， 整理得c＝＝＝， 因为A∈，所以A＋∈，可得 sin∈，所以c＝∈[1，2)． 答案：[1，2) 11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccos B＝2a＋b. (1)求角C; (2)若△ABC的面积S＝c，求ab的最小值． 解：(1)法一：由2ccos B＝2a＋b及余弦定理，得2c·＝2a＋b，得a2＋c2－b2＝2a2＋ab，即a2＋b2－c2＝－ab， 所以cos C＝＝＝－， 又0<C<π，所以C＝. 法二：因为＝＝， 所以由已知可得2sin Ccos B＝2sin A＋sin B， 则有2sin Ccos B＝2sin(B＋C)＋sin B， 所以2sin Bcos C＋sin B＝0，因为B为三角形的内角，所以sin B≠0，所以cos C＝－. 因为C为三角形的内角，所以C＝. (2)因为S＝absin C＝c，所以c＝ab. 又c2＝a2＋b2－2abcos C＝a2＋b2＋ab， 所以＝a2＋b2＋ab≥3ab，ab≥12，当且仅当a＝b时取等号． 故ab的最小值为12. 21 / 41 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $