5.1导数的概念及其意义（共2课时）课件-2025-2026学年高二上学期 数学人教A版选择性必修第二册

导数 微积分的核心内容之一 定量地刻画了函数的局部变化 02 求曲线的切线 03 求函数的最大值与最小值。 04 求长度，面积，体积和重心等。 01 物体运动的路程作为时间的函数 物体在任意时刻的速度与加速度 物体的加速度作为时间的函数 速度与路程 第一课时 一元函数的导数及其应用 导数的概念及其意义 01 物体运动的路程作为时间的函数 物体在任意时刻的速度与加速度 物体的加速度作为时间的函数 速度与路程 汽车起步得好快啊！ 在0-4s的运动过程中汽车的位移s（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系如下： 这里的“好快”是一种怎样的快呢？ 能否定量刻画这种速度的变化呢？ 研究位移关于时间的变化率 01 物体运动的路程作为时间的函数 物体在任意时刻的速度与加速度 物体的加速度作为时间的函数 速度与路程 在0-4s的运动过程中汽车的位移s（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系如下： 瞬时速度是某一时刻的速度，没有计算公式 0-2s内的平均速度？ 平均速度 汽车在1s时瞬时速度是多少？ 变化率 函数的平均变化率 对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+Δx,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时,x的变化量Δx；y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0). 叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 01 物体运动的路程作为时间的函数 物体在任意时刻的速度与加速度 物体的加速度作为时间的函数 速度与路程 在0-4s中的运动过程中汽车重心离家的位移s（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系如下： 瞬时速度是某一时刻的速度，没有计算公式 平均变化率 0-2s内的平均速度？ 汽车在1s时瞬时速度是多少？ 在0-4s中的运动过程中汽车重心离家的位移s（单位：m）和时间t（单位：s）的函数关系如下： 0s 2s 1s 3s 4s 0m 1m 4m 9m 16m 0-2s内的平均速度？ 汽车在1s时瞬时速度是多少？ 精彩 例1已知函数f(x)=x3-2x+1,求: (1)f(x)从0.1到0.3的平均变化率. (2)f(x)在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率. 0s 2s 1s 3s 4s 0m 1m 4m 9m 汽车在1s时的瞬时速度是多少？ 16m 从运动变化的观点来看 不断缩小时间间隔， 使得平均速度趋近瞬时速度 当趋近于0时， 无论从t小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1， 平均速度都无限趋近于2 注意：这里的 但 为什么？ 数学中，把这个“2” 叫做： 记为 极限 思考 试求汽车在2s时的瞬时速度 试求汽车起步的这0-4s中的任意某个时刻 的瞬时速度 思考 试求汽车在2s时的瞬时速度 试求汽车起步的这0-4s中的任意某个时刻 的瞬时速度 第一步,求时间的增量Δx=x2-x1; 第二步,求位移的增量Δy=f(x2)-f(x1); 求瞬时速度的思路 瞬时变化率 ②取极限 令Δx无限趋近于零，得到瞬时速度为： ①求平均速度 ! ! ! (P65)教材 例1 设 f(x)=,求 f’(1) 精彩 例2 (1)求函数y=x+在x=1处的导数. (2)若函数f(x)=ax2+c,且f'(1)=2,求a的值. 第二课时 一元函数的导数及其应用 导数的概念及其意义 ! ! ! 02 求曲线的切线 如何定义抛物线 在点（1,1）处的切线？ 在点的附近取一点 考察抛物线的割线 变化情况。 (1,1)处的切线 割线 当点Q无限趋近于点，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置就叫做抛物线在点（1,1）处的切线。 运动 变化 (1,1)处的切线 割线 当点Q无限趋近于点，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置就叫做抛物线在点（1,1）处的切线。 Q:这个极限“2”和这条曲线有什么内在联系？ (1,1)处的切线 割线 当点Q无限趋近于点，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置就叫做抛物线在点（1,1）处的切线。 设点Q()),则 割线的斜率即 当点Q无限趋近于点，割线无限趋近于， 于是此时可以用割线的斜率来近似代替切线的斜率，即得切线斜率为： 2 前面 对应的几何意义就是抛物线在点(1,1)处的切线斜率 抛物线 在任意一点处的切线斜率是？ = = =2 第一步,设所求点（x0，f(x0)）的邻近点为（x0 +Δx ， f(x0 +Δx ) ） 第二步,求x、y的增量分别为： Δx= x0 +Δx –x0;Δy=f(x0 +Δx )-f(x0); 求切线斜率的思路 ②取极限 令Δx无限趋近于零，得到瞬时速度为： ①求割线斜率 抛物线 在任意一点处的切线斜率是？ = = =2 平均速度→瞬时速度 割线斜率→切线斜率 两类变化率的问题 位移关于时间的变化率 f(x)关于x 的变化率 不同点 相同点 平均速度→瞬时速度 割线斜率→切线斜率 两类变化率的问题 一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度； 另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率. 都采用了 由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法； 问题的答案也有一样的表示形式. 导数 导数的概念 如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限, 称y=f(x)在x=处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=处的导数(瞬时变化率), 记作y=f '(x) 或 ,即 导数的几何意义 Δx,Δy可正可负,Δy也可以为零,但Δx不能为零.平均变化率 可正、可负、可为零. 导数 导数的概念 导数的几何意义 如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x)),如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.则割线P0P的斜率 精彩 例4 已知函数f(x)=x2-x. (1)求f'(x). (2)求函数f(x)在x=1处的切线方程. 我们把比值,即 第三步,求平均速度. 第三步,求割线斜率. k0==f'(x0). k=. $