专题8.1 平方根（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

专题8.1 平方根 教学目标 1. 掌握平方根的定义并能够熟练的求一个数的平方根。 2. 掌握平方根的性质，并能够熟练地利用平方根的相关性质解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1）平方根的概念； （2）平方根的性质。 2. 难点 （1）求一个数的平方根； （2）根据正数的两个平方根的关系求字母或求这个正数； （3）利用平方根解方程。 知识点01 平方根的概念 1. 平方根的概念： 如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 ，也叫做的二次方根。表示为 。其中叫做二次根号，叫做被开方数。读作 ； 2. 求一个数的平方根： 求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方运算互为逆运算。 即，则。可表示为，。 【即学即练1】 1．求下列各数的平方根： （1）225； （2）1600； （3）； （4）0.36； （5）0.0144． 【即学即练2】 2．求出下列等式中x的值： （1）12x2＝36； （2）64（x+1）2＝49． 知识点02 平方根的性质 1. 平方根的性质： ①正数的平方根有 个，分别是 与 ，他们互为 。 ②规定0的平方根是 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。 ③负数没有平方根。 【即学即练1】 3．实数1﹣3a有平方根，则a可以取的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【即学即练2】 4．下列各数中，平方根只有一个的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 【即学即练3】 5．下列各数没有平方根的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【即学即练4】 6．已知一个正数的两个平方根分别是3a﹣2和a﹣3，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【即学即练5】 7．已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 题型01 求一个数的平方根 【典例1】求下列各数的平方根： （1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）． 【变式1】若（8﹣x）2+|y﹣1|＝0，则x+y的平方根是（　　） A．9 B．±9 C．3 D．±3 【变式2】若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8 【变式3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a+1 C．a2+1 D．± 题型02 利用平方根的关系求字母的值 【典例1】若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【变式1】一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则这个正数是　 　 ． 【变式2】已知正实数x的两个平方根分别是m+1和m﹣3，求m和正实数x的值． 【变式3】已知某正数的两个平方根分别为2a+5和3﹣4a． （1）求a的值． （2）求这个正数． 题型03 利用平方根解方程 【典例1】a2＝16，则a是（　　） A．4或﹣4 B．﹣4 C．4 D．8或﹣8 【变式1】运用平方根的定义探究下列问题： （1）若x2＝25，则x＝　 　 ； （2）解方程：（2y﹣1）2＝25． 【变式2】求下列各式中x的值． （1）； （2）（x﹣2）2＝169． 【变式3】已知一个正实数x的两个平方根分别是m和m+n，且m2x+（m+n）2x＝50，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 1．9的平方根是（　　） A．3 B．±3 C．± D．±81 2．|﹣25|的平方根是（　　） A．25 B．±25 C．±5 D．5 3．下列各数没有平方根的是（　　） A．3 B． C．0 D．﹣2 4．在数﹣5，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．用等式表示“81的平方根等于±9”，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．﹣16的平方根是﹣4 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 7．已知（x﹣1）2＝9，则x的值为（　　） A．4 B．2或﹣4 C．﹣2或4 D．﹣4 8．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是a和a﹣8，那么这段婺江的宽度是（　　） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 9．已知|a|＝3，b2＝16，且a＞b，则a+b的值为（　　） A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7 10．对于实数a，小丁说：“a+1有平方根．”小张说：“﹣a不一定有平方根．”小刘说：“a2+2一定有平方根．”他们中说法正确的是（　　） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 11．若一个数的一个平方根是，则这个数是 　 ． 12．一个正数的两个平方根分别是3m+2和2﹣m，则m的值为　 　 ． 13．正数m的两个平方根分别是3﹣x和3x+5，那么这个正数m的值为　 　 ． 14．若3﹣x的平方根只有一个，则x的值是　 ． 15．若（a2+b2﹣2）2＝64，则a2+b2＝　 　 ． 16．新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根． 解：∵（±8）2＝64， ∴64的平方根是±8． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根： （1）100； （2）； （3）1.21． 17．求下列各式中x的值： （1）（x﹣3）2＝121； （2）（2x+7）2﹣9＝0． 18．已知实数x的平方根是m和m+a． （1）当a＝4时，求m的值； （2）若m2+（m+a）2＝18，求a﹣m的值． 19．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若x2＝9，则x＝3或x＝﹣3． （1）如果一个正数的平方根分别为a+2和2a﹣11，求这个正数； （2）已知自由下落物体的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系为，g表示重力加速度，其标准值为g＝9.8米/秒2．若有一个物体从离地19.6米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 20．小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． （1）【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①|﹣2|＝2，|2|＝2： ②（﹣3）2＝9，32＝9； ③若|x|＝4，则x＝　 　 ； ④若x2＝16，则x＝　 　 ； （2）[知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有　 　 个，它们互为　 　 ； 平方等于一个正数的数有　 个，它们互为　 　 ； （3）[知识运用]运用上述结论解答：已知|x+1|＝1，（y+2）2＝25，其中x＜0，y＞0，求x+y的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平方根 教学目标 1. 掌握平方根的定义并能够熟练的求一个数的平方根。 2. 掌握平方根的性质，并能够熟练地利用平方根的相关性质解决相应的题目。 教学重难点 1. 重点 （1）平方根的概念； （2）平方根的性质。 2. 难点 （1）求一个数的平方根； （2）根据正数的两个平方根的关系求字母或求这个正数； （3）利用平方根解方程。 知识点01 平方根的概念 1. 平方根的概念： 如果一个数的平方等于，则这个数就叫做的 平方根 ，也叫做的二次方根。表示为 。其中叫做二次根号，叫做被开方数。读作 正负根号 ； 2. 求一个数的平方根： 求一个数的平方根的运算就做开平方，与平方运算互为逆运算。 即，则。可表示为，。 【即学即练1】 1．求下列各数的平方根： （1）225； （2）1600； （3）； （4）0.36； （5）0.0144． 【答案】（1）±15； （2）±40； （3）±； （4）±0.6； （5）±0.12． 【解答】解：（1）∵（±15）2＝225， ∴225的平方根是±15； （2）∵（±40）2＝1600， ∴1600的平方根是±40； （3）∵（±）2， ∴的平方根是±； （4）∵（±0.6）2＝0.36， ∴0.36的平方根是±0.6； （5）∵（±0.12）2＝0.0144， ∴0.0144的平方根是±0.12． 【即学即练2】 2．求出下列等式中x的值： （1）12x2＝36； （2）64（x+1）2＝49． 【答案】（1）； （2）或． 【解答】解：（1）两边同时除以12得，x2＝3， ∴； （2）∵64（x+1）2＝49， ∴， ∴或， ∴或． 知识点02 平方根的性质 1. 平方根的性质： ①正数的平方根有 2 个，分别是 与 ，他们互为 相反数 。 ②规定0的平方根是 0 。所以0的平方根只有一个，就是它本身。 ③负数没有平方根。 【即学即练1】 3．实数1﹣3a有平方根，则a可以取的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解答】解：∵实数1﹣3a有平方根， ∴1﹣3a≥0， 解得a， 故选：A． 【即学即练2】 4．下列各数中，平方根只有一个的数是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．4 【答案】B 【解答】解：根据题意得，0的平方根是0，正数的平方根有两个，且互为相反数；负数没有平方根； 故选：B． 【即学即练3】 5．下列各数没有平方根的是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解答】解：﹣1没有平方根，0的平方根是0，1的平方根是±1，2的平方根是±， 故选：A． 【即学即练4】 6．已知一个正数的两个平方根分别是3a﹣2和a﹣3，则a的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：根据题意得，3a﹣2+a﹣3＝0， 解得a， 故选：C． 【即学即练5】 7．已知一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7，则m的值是（　　） A．﹣5 B．5 C．﹣25 D．25 【答案】D 【解答】解：∵一个正数m的两个平方根分别是2n+1和n﹣7， ∴2n+1+n﹣7＝0， 3n﹣6＝0， 3n＝6， n＝2， ∴2n+1＝2×2+1＝4+1＝5， ∴正数m的值为：52＝25， 故选：D． 题型01 求一个数的平方根 【典例1】求下列各数的平方根： （1）49； （2）； （3）2； （4）0.36； （5）． 【答案】（1）±7； （2）±； （3）±； （4）±0.6； （5）±． 【解答】解：（1）∵（±7）2＝49， ∴49的平方根是±7； （2）∵， ∴的平方根是； （3）∵ ∴的平方根是； （4）∵（±0.6）2＝0.36 ∴0.36的平方根是±0.6； （5）∵， ∴的平方根是． 【变式1】若（8﹣x）2+|y﹣1|＝0，则x+y的平方根是（　　） A．9 B．±9 C．3 D．±3 【答案】D 【解答】解：根据题意可知，（8﹣x）2≥0，|y﹣1|≥0， ∴8﹣x＝0，y﹣1＝0， 解得：x＝8，y＝1， ∴x+y＝8+1＝9， ∴x+y的平方根是． 故选：D． 【变式2】若﹣3xmy和5x3yn的和是单项式，则（m+n）3的平方根是（　　） A．8 B．﹣8 C．±4 D．±8 【答案】D 【解答】解：∵﹣3xmy和5x3yn的和是单项式， ∴﹣3xmy和5x3yn是同类项， ∴m＝3，n＝1， ∴（m+n）3＝（3+1）3＝64，64的平方根为±8． 故选：D． 【变式3】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（　　） A．± B．a+1 C．a2+1 D．± 【答案】D 【解答】解：由题意可知：该自然数为a2， ∴该自然数相邻的下一个自然数为a2+1， ∴a2+1的平方根为±． 故选：D． 题型02 利用平方根的关系求字母的值 【典例1】若m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：∵m+4与m﹣2是同一个正数的两个平方根， ∴m+4+m﹣2＝0， 解得m＝﹣1， 故选：D． 【变式1】一个正数的平方根是7﹣2a和5a﹣1，则这个正数是　121　 ． 【答案】121． 【解答】解：由题意，得7﹣2a+5a﹣1＝0， ﹣2a+5a＝1﹣7， 3a＝﹣6， 解得a＝﹣2， 则一个平方根＝7﹣2a＝7﹣2×（﹣2）＝11， 所以这个正数为112＝121． 故答案为：121． 【变式2】已知正实数x的两个平方根分别是m+1和m﹣3，求m和正实数x的值． 【答案】m＝1，x＝4． 【解答】解：∵正实数x的两个平方根分别是m+1和m﹣3， ∴（m+1）+（m﹣3）＝0， 解得：m＝1， ∴m+1＝2， ∴x＝22＝4． 【变式3】已知某正数的两个平方根分别为2a+5和3﹣4a． （1）求a的值． （2）求这个正数． 【答案】（1）a＝4； （2）这个正数是169． 【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别为2a+5和3﹣4a， ∴2a+5+3﹣4a＝0， 解得a＝4； （2）由（1）得a＝4， ∴2a+5＝2×4+5＝13， ∵132＝169， ∴这个数是169． 题型03 利用平方根解方程 【典例1】a2＝16，则a是（　　） A．4或﹣4 B．﹣4 C．4 D．8或﹣8 【答案】A 【解答】解：16的平方根为±4． 故选：A． 【变式1】运用平方根的定义探究下列问题： （1）若x2＝25，则x＝　±5　 ； （2）解方程：（2y﹣1）2＝25． 【答案】（1）±5； （2）y＝3或y＝﹣2． 【解答】解：（1）x2＝25， x＝±5； 故答案为：±5； （2）（2y﹣1）2＝25， 2y﹣1＝±5， 2y﹣1＝5或2y﹣1＝﹣5， y＝3或y＝﹣2． 【变式2】求下列各式中x的值． （1）； （2）（x﹣2）2＝169． 【答案】（1）； （2）x＝15或x＝﹣11． 【解答】解：（1）根据平方根定义解方程可得： 由得x2＝6， ∴； （2）根据平方根定义解方程可得： 由（x﹣2）2＝169得x﹣2＝±13， 即x﹣2＝13或x﹣2＝﹣13， ∴x＝15或x＝﹣11． 【变式3】已知一个正实数x的两个平方根分别是m和m+n，且m2x+（m+n）2x＝50，则x的值为（　　） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】A 【解答】解：根据题意可得， m2＝x，（m+n）2＝x， m2x+（m+n）2x＝50， x2+x2＝50， 2x2＝50， x＝5，x＝﹣5（舍去）． 故选：A． 1．9的平方根是（　　） A．3 B．±3 C．± D．±81 【答案】B 【解答】解：∵±3的平方是9， ∴9的平方根是±3． 故选：B． 2．|﹣25|的平方根是（　　） A．25 B．±25 C．±5 D．5 【答案】C 【解答】解：|﹣25|＝25， 25的平方根是±5，即|﹣25|的平方根是±5， 故选：C． 3．下列各数没有平方根的是（　　） A．3 B． C．0 D．﹣2 【答案】D 【解答】解：∵负数没有平方根， ∴在数3，，0，﹣2中，﹣2没有平方根， 选项D符合题意， 故选：D． 4．在数﹣5，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：在数﹣5，0，，2006，20.80中，有平方根的数有：0，，2006，20.80，共4个． 故选：D． 5．用等式表示“81的平方根等于±9”，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：用等式表示“81的平方根等于±9”为， 故选：B． 6．下列说法中正确的是（　　） A．任何数都有平方根 B．﹣16的平方根是﹣4 C．0的平方根是0 D．4的平方根是2 【答案】C 【解答】解：A、负数没有平方根，选项说法错误，不符合题意； B、﹣16没有平方根，选项说法错误，不符合题意； C、0的平方根是0，选项说法正确，符合题意； D、4的平方根是±2，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 7．已知（x﹣1）2＝9，则x的值为（　　） A．4 B．2或﹣4 C．﹣2或4 D．﹣4 【答案】C 【解答】解：（x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3， x＝3+1或x＝﹣3+1， x＝4或x＝﹣2． 故选：C． 8．婺江是金华的母亲河，其水面宽度在不同地段有所差异．某段婺江的宽度是一个正数（单位：米），它的平方根是a和a﹣8，那么这段婺江的宽度是（　　） A．4米 B．16米 C．25米 D．36米 【答案】B 【解答】解：根据题意得a+a﹣8＝0， 解得a＝4， ∴这个正数是42＝16， 即这段婺江的宽度是16米， 故选：B． 9．已知|a|＝3，b2＝16，且a＞b，则a+b的值为（　　） A．1或7 B．﹣1或7 C．1或﹣7 D．﹣1或﹣7 【答案】D 【解答】解：由条件可知a＝±3，b＝±4， ∵a＞b， ∴a＝±3，b＝﹣4， ∴a+b＝﹣1或a+b＝﹣7， 故选：D． 10．对于实数a，小丁说：“a+1有平方根．”小张说：“﹣a不一定有平方根．”小刘说：“a2+2一定有平方根．”他们中说法正确的是（　　） A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定 【答案】C 【解答】解：根据题意可知，当a＜﹣1时，a+1没有平方根，小丁说法错误，不符合题意； 当a为正数时，﹣a没有平方根，小张说法正确，符合题意； ∵a2+2＞0，∴一定有平方根，小刘说法正确，符合题意． 故选：C． 11．若一个数的一个平方根是，则这个数是 　　 ． 【答案】． 【解答】解：． 故答案为：． 12．一个正数的两个平方根分别是3m+2和2﹣m，则m的值为　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【解答】解：由题可知， 3m+2+2﹣m＝0， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 13．正数m的两个平方根分别是3﹣x和3x+5，那么这个正数m的值为　49　 ． 【答案】49． 【解答】解：∵正数m的两个平方根分别是3﹣x和3x+5， ∴3﹣x+3x+5＝0， 解得：x＝﹣4． ∴3x+5＝3×（﹣4）+5＝﹣7， ∴m的值为（﹣7）2＝49． 故答案为：49． 14．若3﹣x的平方根只有一个，则x的值是　3　 ． 【答案】3 【解答】解：由于3﹣x的平方根只有一个，而0的平方根只有0， 所以3﹣x＝0， 解得x＝3， 故答案为：3． 15．若（a2+b2﹣2）2＝64，则a2+b2＝　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：根据平方根的性质，得： a2+b2﹣2＝8 或 a2+b2﹣2＝﹣8， 若a2+b2﹣2＝﹣8，则 a2+b2＝﹣6． 若a2+b2﹣2＝8，则 a2+b2＝10； 由于a2+b2 是平方和，具有非负性，即 a2+b2≥0， 因此a2+b2＝﹣6 不成立，舍去； 故a2+b2＝10． 故答案为：10． 16．新修订的教科书对于数与式的运算过程和格式进行了很好的示范，例如求64的平方根． 解：∵（±8）2＝64， ∴64的平方根是±8． 请你按照上述格式求出下列各数的平方根： （1）100； （2）； （3）1.21． 【答案】（1）±10； （2）； （3）±1.1． 【解答】解：（1）∵（±10）2＝100， ∴100的平方根是±10； （2）∵， ∴的平方根是； （3）∵（±1.1）2＝1.21， ∴1.21的平方根是±1.1． 17．求下列各式中x的值： （1）（x﹣3）2＝121； （2）（2x+7）2﹣9＝0． 【答案】（1）x＝14或x＝﹣8； （2）x＝﹣2或x＝﹣5． 【解答】解：（1）直接开平方得x﹣3＝±11， x＝14或x＝﹣8． （2）移项得（2x+7）2＝9， 2x+7＝±3， x＝﹣2或x＝﹣5． 18．已知实数x的平方根是m和m+a． （1）当a＝4时，求m的值； （2）若m2+（m+a）2＝18，求a﹣m的值． 【答案】（1）﹣2； （2）﹣9或9． 【解答】解：（1）当a＝4时，m+a＝m+4， ∵m+m+4＝0， ∴m＝﹣2， 即m的值为﹣2； （2）∵m+m+a＝0， ∴a＝﹣2m， 把a＝﹣2m代入m2+（m+a）2＝18，得 m2+（m﹣2m）2＝18， 解得m＝±3， 当m＝3时，a＝﹣2×3＝﹣6， ∴a﹣m＝﹣6﹣3＝﹣9， 当m＝﹣3时，a＝﹣2×（﹣3）＝6， ∴a﹣m＝6﹣（﹣3）＝9， ∴a﹣m的值为﹣9或9． 19．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若x2＝9，则x＝3或x＝﹣3． （1）如果一个正数的平方根分别为a+2和2a﹣11，求这个正数； （2）已知自由下落物体的高度h（单位：米）与下落时间t（单位：秒）的关系为，g表示重力加速度，其标准值为g＝9.8米/秒2．若有一个物体从离地19.6米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】（1）25； （2）2秒． 【解答】解：（1）由题意得（a+2）+（2a﹣11）＝0， 解得a＝3， a+2＝3+2＝5，2a﹣11＝2×3﹣11＝﹣5， ∴（±5）2＝25， 即这个数为25； （2）当g＝9.8，h＝19.6时，19.6， 解得t＝2（t＝﹣2舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为2秒． 20．小聪学习了有理数后，对知识进行归纳总结． （1）【知识呈现】根据所学知识，完成下列填空． ①|﹣2|＝2，|2|＝2： ②（﹣3）2＝9，32＝9； ③若|x|＝4，则x＝　±4　 ； ④若x2＝16，则x＝　±4　 ； （2）[知识归纳]根据上述知识，你能发现的结论是： 绝对值等于一个正数的数有　两　 个，它们互为　相反数　 ； 平方等于一个正数的数有　两　 个，它们互为　相反数　 ； （3）[知识运用]运用上述结论解答：已知|x+1|＝1，（y+2）2＝25，其中x＜0，y＞0，求x+y的值． 【答案】（1）±4；±4； （2）两，相反数；两，相反数； （3）1． 【解答】解：（1）③若|x|＝4，则x＝±4； 若x2＝16，则x＝±4； 故答案为：±4；±4； （2）根据上述知识，你能发现的结论是：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数；平方等于一个正数的有两个，它们互为相反数． 故答案为：两，相反数；两，相反数； （3）∵|x+1|＝1，（y+2）2＝25， ∴x+1＝±1，y+2＝±5， 解得：x＝0或x＝﹣2，y＝3或y＝﹣7． ∵x＜0，y＞0， ∴当x＝﹣2，y＝3时，x+y＝﹣2+3＝1． 故答案为：1． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $