专题8.4 实数（高效培优讲义）数学新教材人教版七年级下册

本讲义聚焦“实数”核心知识点，系统梳理从有理数到无理数的扩展，涵盖无理数的三种形式、实数的定义与性质分类、实数与数轴的一一对应关系、实数的相反数绝对值倒数性质、大小比较方法及运算规则，搭建完整的数系学习支架。 资料通过“知识点+即学即练+题型典例+综合题”分层设计，如无理数判断培养抽象能力，数轴比较大小发展几何直观，运算练习提升推理意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固查漏，体现数学眼光与思维的培养。

专题8.4 实数 教学目标 1. 掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。 2. 掌握实数的概念及其分类，能够准确的进行分类。 3. 掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。 4. 掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。 5. 掌握实数的大小比较方法，能够准确的判断实数的大小关系。 6. 掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。 教学重难点 1. 重点 （1）无理数的概念及其三种形式； （2）实数与数轴及其实数的相关性质； （3）实数的大小比较及其运算。 2. 难点 （1）实数与数轴的关系以及实数的性质的应用； （2）负实数的大小比较。 知识点01 无理数的概念 1. 无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数。 2. 无理数的三种形式： ①含有 ，且被开方数开方 。 ②π以及化简后含有π的数。 ③具有特定结构的数。如0.1010010001... 【即学即练1】 1．在（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 知识点02 实数及其分类 1. 实数的概念： 与 统称为实数。 2. 实数的分类： ①按定义分类： ②按性质分类： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 【即学即练1】 2．把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨0.3020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 分数： 　 ； 无理数：　 　 ； 是整数而不是负数：　 　 ； 负实数：　 ． 知识点03 实数与数轴的关系 1. 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点是 关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。 2. 利用数轴表示实数的大小： 同有理数一样，数轴上右边的点表示的实数总比数轴上左边的点表示的实数 。 【即学即练1】 3．由图可知，下面选项正确的是（　　） A．c＜a＜0 B．b＜a＜0 C．b﹣a＜0 D．0＜c＜b 【即学即练2】 4．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 知识点04 实数的性质 1. 相反数： 只有 的两个数互为相反数。实数的相反数是 。 若与互为相反数，则 。 2. 绝对值： 实数到原点的距离用 来表示。 ； ①任意实数的绝对值都是一个 ，即|| 0； ②互为相反数的两个数绝对值 。 3. 倒数： 是数的倒数为 。 若与互为倒数，则 。 【即学即练1】 5．下列说法正确的是（　　） A．的相反数为 B．π﹣3.14的绝对值是3.14﹣π C．若x2＝6，则 D．若x3＝6，则 【即学即练2】 6．若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（　　） A．a+b＞c B．a+b+c＜0 C．ab＞c D．bc＞a 知识点05 实数的大小比较 1. 估算法： 先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 2. 作差法比较： 对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则 ； ②若，则 ； ①若，则 ； 3. 平方法比较： 两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数 。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而 。 4. 其他比较方法： 参照有理数的大小比较方法。 【即学即练1】 7．下列实数中，最小的数是（　　） A．1 B．﹣2 C． D．﹣3 【即学即练2】 8．a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 知识点06 实数的简单运算 1. 实数的运算法则： 在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。 注意无理数相加减时，被开方数相同的无理数才能进行加减。 【即学即练1】 9．计算： （1）； （2）． 题型01 对无理数的判断 【典例1】下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.1415 B． C． D． 【变式1】在数，1﹣π，1.212112111⋯（相邻两个2之间依次多一个1），﹣0.16，，0，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】实数，3.14，，﹣3，，，0，203，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型02 对实数进行分类 【典例1】在﹣3，，3.1415926，0.，0.01001000100001⋯中，有理数的个数有（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1】把下列各数的序号填入相应的横线上：①﹣3，②，③，④﹣3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧1.3，⑨1.8080080008⋯（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数：　 　 ；负整数：　 　 ；正有理数：　 　 ；无理数：　 　 ． 【变式2】把下列各数填入相应的集合里． ﹣4.2，50%，0，﹣||，2.1，3.1010010001…，﹣42，，﹣（）． 正数集合：{　 　 …}； 分数集合：{　 　 …}； 负有理数集合：{ …}； 无理数集合：{ 　 …}． 题型03 实数与数轴的关系的应用 【典例1】把数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是（　　） A． B． C． D． 【变式1】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞c＞b B．c﹣a＞b﹣a C．a+b＜0 D．ac2＜bc2 【变式2】如图，在数轴上，点A、B、C分别表示有理数a、b、c． 化简： （1）|c﹣a|+|b﹣c|； （2）|a﹣c|﹣|a+b|﹣|c+b|． 题型04 实数的性质的应用 【典例1】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．与|| D．1与1 【变式1】下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是（　　） 相反数 倒数 绝对值 平方根 2 ①﹣2 ② ③2 ④ A．① B．② C．③ D．④ 【变式2】下面为张小亮的答卷，他的得分应是（　　） 姓名张小亮得分？填空（每小题3分，共15分）． ①的绝对值是． ②2的倒数是﹣2． ③﹣π的相反数是π． ④1的立方根是1． ⑤4的平方根是±2． A．15分 B．12分 C．9分 D．6分 题型05 对实数进行大小比较 【典例1】比较大小：　 　 1． 【变式1】下列实数：，﹣5，，，最小的是（　　） A． B．﹣5 C． D． 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系正确的是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．﹣b＞b＞a＞﹣a C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞﹣b＞﹣a＞b 题型06 实数的简单运算 【典例1】计算：的结果为（　　） A．2 B．4 C． D．3 【变式1】用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b＝b2+a．例如1☆4＝42+1＝17，那么﹣3☆2＝　 　 ． 【变式2】计算： （1）； （2）． 1．实数的相反数是（　　） A． B． C． D．3 2．下列说法错误的是（　　） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 3．下列说法正确的是（　　） A．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数 B．若|a|+a＝0，则a是负数 C．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0 D．立方根是它本身的数有两个 4．如下为小亮的答卷，他的得分应是（　　） 填空（每题20分，共100分） ①的平方根是±3 ②1的绝对值是1 ③3 ④5 ⑤的相反数是2 A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 5．如图，数轴上点N表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 6．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．﹣3与 D．3与|﹣3| 7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．b﹣a＜0 8．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（　　） （1）abc＞0；（2）﹣c＞a＞﹣b；（3）；（4）|c|＞|a| A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．规定：（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（2，1）＝1，[3，4]＝4，则（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x]＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 10．在正实数范围内定义一种运算“⊗”：当x≥y时，x⊗；当x＜y时，，则满足方程x⊗27＝4的x的值是（　　） A．±16 B．1或49 C．1或16 D．16或49 11．比较大小： 　 　 （选填“＜”“＞”或“＝”）． 12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则的值为 　 　 ． 13．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：a*b（a+b＞0）．例如3*2，则6*（6*3）＝ ． 14．已知5的小数部分为a，5的小数部分为b，则a+b＝　 　 ． 15．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　 ． 16．（1）计算：； （2）求下列各式x的值． ①4x2﹣25＝0； ②27（x﹣2）3﹣8＝0． 17．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数” （1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立； （2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根． 18．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ∵，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． （1）求的整数部分和小数部分； （2）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根． 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）m的值是 　 ； （2）求的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与互为相反数，求2c+3d的平方根． 20．两个完全相同的长方形ABCD，EFGH，如图所示放置在数轴上． （1）求长方形ABCD的面积； （2）若长方形ABCD，EFGH分别以每秒3个单位长度，1个单位长度在数轴上同时相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t秒． ①用含t的式子表示点B在数轴上对应的数为　 ，点E在数轴上对应的数为 ； ②在整个运动过程中，S的最大值是　 　 ，持续时间是　 秒； ③当S＝10时，求点E在数轴上表示的数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $专题8.4 实数 教学目标 1. 掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。 2. 掌握实数的概念及其分类，能够准确的进行分类。 3. 掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。 4. 掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。 5. 掌握实数的大小比较方法，能够准确的判断实数的大小关系。 6. 掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。 教学重难点 1. 重点 （1）无理数的概念及其三种形式； （2）实数与数轴及其实数的相关性质； （3）实数的大小比较及其运算。 2. 难点 （1）实数与数轴的关系以及实数的性质的应用； （2）负实数的大小比较。 知识点01 无理数的概念 1. 无理数的概念： 无限不循环小数叫做无理数。 2. 无理数的三种形式： ①含有 根号 ，且被开方数开方 开不尽 。 ②π以及化简后含有π的数。 ③具有特定结构的数。如0.1010010001... 【即学即练1】 1．在（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：4， 无理数有、、﹣1.121121112...（每两个2之间依次多一个1），共3个． 故选：C． 知识点02 实数及其分类 1. 实数的概念： 有理数 与 无理数 统称为实数。 2. 实数的分类： ①按定义分类： ②按性质分类： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 【即学即练1】 2．把下列各数填到相应的横线上（填序号）： ①；②；③；④0.54；⑤；⑥；⑦0；⑧﹣23；⑨0.3020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 分数：　②④　 ； 无理数：　①⑤⑥⑨　 ； 是整数而不是负数：　⑦　 ； 负实数：　②③⑧　 ． 【答案】②④；①⑤⑥⑨；⑦；②③⑧． 【解答】解：∵，， ∴分数：②④； 无理数：①⑤⑥⑨； 是整数而不是负数：⑦； 负实数：②③⑧ 故答案为：②④； ①⑤⑥⑨； ⑦； ②③⑧． 知识点03 实数与数轴的关系 1. 实数与数轴的关系： 实数与数轴上的点是 一一对应 关系。数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。 2. 利用数轴表示实数的大小： 同有理数一样，数轴上右边的点表示的实数总比数轴上左边的点表示的实数 大 。 【即学即练1】 3．由图可知，下面选项正确的是（　　） A．c＜a＜0 B．b＜a＜0 C．b﹣a＜0 D．0＜c＜b 【答案】A 【解答】解：根据数轴可知，c＜a＜0，b﹣a＞0，故A正确，BCD错误． 故选：A． 【即学即练2】 4．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：由条件可知， ∵AB＝AE， ∴， ∵A点表示的数为1， ∴E点表示的数为， 故选：B． 知识点04 实数的性质 1. 相反数： 只有 符号不同 的两个数互为相反数。实数的相反数是 。 若与互为相反数，则 0 。 2. 绝对值： 实数到原点的距离用 || 来表示。 ； ①任意实数的绝对值都是一个 非负数 ，即|| ≥ 0； ②互为相反数的两个数绝对值 相等 。 3. 倒数： 是数的倒数为 。 若与互为倒数，则 1 。 【即学即练1】 5．下列说法正确的是（　　） A．的相反数为 B．π﹣3.14的绝对值是3.14﹣π C．若x2＝6，则 D．若x3＝6，则 【答案】A 【解答】解：A、的相反数为，故此选项符合题意； B、π﹣3.14的绝对值是π﹣3.14，故此选项不符合题意； C、若x2＝6，则，故此选项不符合题意； D、若x3＝6，则，故此选项不符合题意； 故选：A． 【即学即练2】 6．若a，b，c分别表示的相反数、绝对值、倒数，则（　　） A．a+b＞c B．a+b+c＜0 C．ab＞c D．bc＞a 【答案】D 【解答】解：∵a，b＝||，c， ∴a＜0＜c＜b， ∴a+b＝0＜c，a+b+c0，ab＜0＜c，bc＝1＞a， 故A，B，C选项错误，不符合题意，D选项正确，符合题意， 故选：D． 知识点05 实数的大小比较 1. 估算法： 先估算除无理数的大小，在和其他实数进行比较。 2. 作差法比较： 对两个实数进行作差，根据差的情况比较。①若，则 ； ②若，则 ； ①若，则 ； 3. 平方法比较： 两个正实数同时平方，平方后的数越大，则原数 越大 。两个负实数同时平方，平方后的数越大，原数反而 越小 。 4. 其他比较方法： 参照有理数的大小比较方法。 【即学即练1】 7．下列实数中，最小的数是（　　） A．1 B．﹣2 C． D．﹣3 【答案】D． 【解答】解：∵﹣3＜﹣21， ∴最小的数是：﹣3． 故选：D． 【即学即练2】 8．a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（　　） A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b 【答案】C 【解答】解：∵由图可知，b＜0＜a，|a|＜|b|， ∴0＜a＜﹣b，b＜﹣a＜0， ∴b＜﹣a＜a＜﹣b． 故选：C． 知识点06 实数的简单运算 1. 实数的运算法则： 在实数范围内进行加、减、乘除、乘法和开方运算时，运算法则同有理数，先乘方开方，在乘除，最后加减。有括号的先算括号里面的。 注意无理数相加减时，被开方数相同的无理数才能进行加减。 【即学即练1】 9．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）﹣4； （2）﹣1． 【解答】解：（1）原式＝1+2﹣（﹣2）﹣|﹣9| ＝3+2﹣9 ＝﹣4； （2） ＝﹣4+2﹣2﹣（﹣3） ＝﹣2﹣2+3 ＝﹣4+3 ＝﹣1． 题型01 对无理数的判断 【典例1】下列各数中，是无理数的是（　　） A．3.1415 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为2 所以3.1415、、是有理数，是无理数． 故选：C． 【变式1】在数，1﹣π，1.212112111⋯（相邻两个2之间依次多一个1），﹣0.16，，0，中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：是分数，﹣0.16是有限小数，0是整数，是整数，它们不是无理数， 1﹣π，1.212112111⋯（相邻两个2之间依次多一个1），是无限不循环小数，它们是无理数，共3个， 故选：C． 【变式2】实数，3.14，，﹣3，，，0，203，﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1）中，无理数的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解答】解：∵是分数，有理数； 3.14是有限小数，有理数； 是分数，有理数； ﹣3是整数，有理数； ，整数，有理数； ，是无理数，∴是无理数； 0是整数，有理数； 203是整数，有理数； ﹣0.1010010001…是无限不循环小数，无理数． ∴无理数有和﹣0.1010010001…（相邻两个1之间的0的个数逐渐加1），共2个． 故选：A． 题型02 对实数进行分类 【典例1】在﹣3，，3.1415926，0.，0.01001000100001⋯中，有理数的个数有（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解答】解：在﹣3，，3.1415926，0.，0.01001000100001⋯中，有理数有：﹣3，，18%，3.1415926，0.，共有5个， 故选：D． 【变式1】把下列各数的序号填入相应的横线上：①﹣3，②，③，④﹣3.14，⑤，⑥0，⑦，⑧1.3，⑨1.8080080008⋯（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数：　④⑦⑧　 ；负整数：　①③　 ；正有理数：　⑦⑧　 ；无理数：　②⑤⑨　 ． 【答案】④⑦⑧；①③；⑦⑧；②⑤⑨． 【解答】解：分数：④⑦⑧；负整数：①③；正有理数：⑦⑧；无理数：②⑤⑨． 故答案为：④⑦⑧；①③；⑦⑧；②⑤⑨． 【变式2】把下列各数填入相应的集合里． ﹣4.2，50%，0，﹣||，2.1，3.1010010001…，﹣42，，﹣（）． 正数集合：{　50%，2.1，3.1010010001…，，﹣（）　 …}； 分数集合：{　﹣4.2，50%，﹣||，2.1，﹣（）　 …}； 负有理数集合：{　﹣4.2，﹣||，﹣42 …}； 无理数集合：{　3.1010010001…，　 …}． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：正数集合：{50%，2.1，3.1010010001…，，﹣（） …}； 分数集合：{﹣4.2，50%，﹣||，2.1，﹣（） …}； 负有理数集合：{﹣4.2，﹣||，﹣42…}； 无理数集合：{3.1010010001…， …}． 故答案为：{50%，2.1，3.1010010001…，，﹣（） …}；{﹣4.2，50%，﹣||，2.1，﹣（） …}；{﹣4.2，﹣||，﹣42…}；{3.1010010001…， …}． 题型03 实数与数轴的关系的应用 【典例1】把数轴上数字2对应的点向左平移个单位长度，对应的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设移动后对应的数为x， ∴， ， 或（不合题意舍去）， 故选：D． 【变式1】实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a＞c＞b B．c﹣a＞b﹣a C．a+b＜0 D．ac2＜bc2 【答案】D 【解答】解：由数轴得：a＜0＜c＜b，|a|＜|b|， 故选项A不符合题意； ∵c＜b， ∴c﹣a＜b﹣a，故选项B不符合题意； ∵|a|＜|b|，a＜b， ∴a+b＞0，故选项C不符合题意； ∵a＜b，c≠0， ∴ac2＜bc2，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式2】如图，在数轴上，点A、B、C分别表示有理数a、b、c． 化简： （1）|c﹣a|+|b﹣c|； （2）|a﹣c|﹣|a+b|﹣|c+b|． 【答案】（1）a+b﹣2c； （2）2a+2b． 【解答】解：（1）结合数轴可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞|b|， ∴c﹣a＜0，b﹣c＞0， |c﹣a|+|b﹣c|＝a﹣c+b﹣c＝a+b﹣2c； （2）结合数轴可知，c＜a＜0＜b，|c|＞|a|＞|b|， ∴a﹣c＞0，a+b＜0，c+b＜0， |a﹣c|﹣|a+b|﹣|c+b|＝a﹣c+a+b+c+b＝2a+2b． 题型04 实数的性质的应用 【典例1】下列各组数中互为相反数的是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．与|| D．1与1 【答案】C 【解答】解：A．∵，∴﹣3与不是互为相反数，故此选项不符合题意； B．∵，∴﹣3与不是互为相反数，故此选项不符合题意； C．∵，∴与是互为相反数，故此选项符合题意； D．∵ 与不是互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】下列表格中关于有理数“2”的描述，说法错误的序号是（　　） 相反数 倒数 绝对值 平方根 2 ①﹣2 ② ③2 ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【解答】解：2的相反数是﹣2， 2的倒数是， 2的绝对值是2， 2的平方根为， 故答案为：D． 【变式2】下面为张小亮的答卷，他的得分应是（　　） 姓名张小亮得分？填空（每小题3分，共15分）． ①的绝对值是． ②2的倒数是﹣2． ③﹣π的相反数是π． ④1的立方根是1． ⑤4的平方根是±2． A．15分 B．12分 C．9分 D．6分 【答案】B 【解答】解：答卷中只有：②2的倒数是﹣2错误，2的倒数是， ∴他的得分应是4×3＝12分， 故选：B． 题型05 对实数进行大小比较 【典例1】比较大小：　＜　 1． 【答案】＜． 【解答】解：∵3﹣1 4 0， ∴3＜1． 故答案为：＜． 【变式1】下列实数：，﹣5，，，最小的是（　　） A． B．﹣5 C． D． 【答案】B 【解答】解：， ∵， ∴， ∴， ∴最小的是﹣5， 故选：B． 【变式2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则a，b，﹣a，﹣b的大小关系正确的是（　　） A．﹣b＞a＞﹣a＞b B．﹣b＞b＞a＞﹣a C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞﹣b＞﹣a＞b 【答案】A 【解答】解：如图， ∴﹣b＞a＞﹣a＞b， 故选：A． 题型06 实数的简单运算 【典例1】计算：的结果为（　　） A．2 B．4 C． D．3 【答案】A 【解答】解：原式＝﹣1+4﹣1 ＝2， 故选：A． 【变式1】用“☆”定义新运算：对于任意实数a、b，都有a☆b＝b2+a．例如1☆4＝42+1＝17，那么﹣3☆2＝　1　 ． 【答案】1 【解答】解：根据题中的新定义得：﹣3☆2＝4﹣3＝1． 故答案为：1 【变式2】计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2； （2）1． 【解答】解：（1）原式＝2﹣33 ＝2； （2）原式＝3﹣4+（﹣2）+4 ＝1． 1．实数的相反数是（　　） A． B． C． D．3 【答案】B 【解答】解：根据相反数的定义可知： 的相反数为， 故选：B． 2．下列说法错误的是（　　） A．无理数的相反数还是无理数 B．无限不循环小数都是无理数 C．正数、负数统称有理数 D．实数与数轴上的点一一对应 【答案】C 【解答】解：A、无理数的相反数还是无理数，如的相反数是也是无理数，π的相反数﹣π，也是无理数等．故本选项正确； B、无理数就是无限不循环小数，故本选项正确； C、正数、负数和0统称为有理数；故本选项错误； D、实数与数轴上的点一一对应．故本选项正确； 故选：C． 3．下列说法正确的是（　　） A．若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数 B．若|a|+a＝0，则a是负数 C．某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0 D．立方根是它本身的数有两个 【答案】A 【解答】解：A、若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数，正确，符合题意； B、若|a|+a＝0，则a是负数或0，故原命题错误，不符合题意； C、某数的绝对值、算术平方根都是他本身，则这个数是0和1，故原命题错误，不符合题意； D、立方根是它本身的数有三个，故原命题错误，不符合题意． 故选：A． 4．如下为小亮的答卷，他的得分应是（　　） 姓名：小亮 得分： 填空（每题20分，共100分） ①的平方根是±3 ②1的绝对值是1 ③3 ④5 ⑤的相反数是2 A．100分 B．80分 C．60分 D．40分 【答案】D 【解答】解：①的平方根是±，故错误； ②1的绝对值是，故正确； ③3，故正确； ④，故错误． ⑤的相反数是﹣2，故错误． 20×2＝40（分）， ∴小亮的得分为40分， 故选：D． 5．如图，数轴上点N表示的数可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：数轴上点N表示的数大于3，小于4， 因此可能是， 故选：A． 6．下列各组数中，互为相反数的一组是（　　） A．﹣3与 B．﹣3与 C．﹣3与 D．3与|﹣3| 【答案】A 【解答】解：A．﹣3与，是互为相反数，符合题意； B．﹣3与，不是互为相反数，不符合题意； C．﹣3与，不是互为相反数，不符合题意； D．3与|﹣3|＝3，不是互为相反数，不符合题意； 故选：A． 7．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．a+b＞0 C．|a|＞|b| D．b﹣a＜0 【答案】C 【解答】解：根据图示，可得a＜﹣2，0＜b＜1，且|a|＞|b|， ∴选项A不符合题意，选项C符合题意； ∴a+b＜0， ∴选项B不符合题意； ∴b﹣a＞0， ∴选项D不符合题意． 故选：C． 8．实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列各式中正确的个数有（　　） （1）abc＞0；（2）﹣c＞a＞﹣b；（3）；（4）|c|＞|a| A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：实数a、b、c在数轴上的位置如图所示， 根据数轴上的右边的数总大于左边的数，可得c＜﹣2＜b＜0＜1＜a，|c|＞|a|＞|b|， ∴（1）abc＞0，正确； （2）﹣c＞a＞﹣b，正确； （3），错误； （4）|c|＞|a|，正确． 故选：C． 9．规定：（a，b）表示a，b两个数中较小的一个，[a，b]表示a，b两个数中较大的一个．例如（2，1）＝1，[3，4]＝4，则（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x]＝（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】B 【解答】解：（x，x﹣3）+[﹣x，2﹣x] ＝x﹣3+2﹣x ＝﹣1， 故选：B． 10．在正实数范围内定义一种运算“⊗”：当x≥y时，x⊗；当x＜y时，，则满足方程x⊗27＝4的x的值是（　　） A．±16 B．1或49 C．1或16 D．16或49 【答案】B 【解答】解：当x≥27时， ， 解得x＝49； 当x＜27时， ， 解得x＝1； 综上，x的值1或49， 故选：B． 11．比较大小： 　＜　 （选填“＜”“＞”或“＝”）． 【答案】＜． 【解答】解：∵， ∴， 故答案为：＜． 12．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则的值为 　2　 ． 【答案】2． 【解答】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴a+b＝0，cd＝1， 则02． 故答案为：2． 13．对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算：a*b（a+b＞0）．例如3*2，则6*（6*3）＝ 　　 ． 【答案】． 【解答】解：由新定义列出算式得， 则6*（6*3）＝6*1． 故答案为：． 14．已知5的小数部分为a，5的小数部分为b，则a+b＝　1　 ． 【答案】1 【解答】解：∵23， ∴7＜58， ∴a＝572， ∵23 ∴﹣32， ∴2＜53， ∴b＝52＝3， ∴a+b2+31， 故答案为：1． 15．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是　255　 ． 【答案】255． 【解答】解：根据操作过程分别求出255和256进行几次操作如下： ∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 16．（1）计算：； （2）求下列各式x的值． ①4x2﹣25＝0； ②27（x﹣2）3﹣8＝0． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解答】解：（1）原式 ； （2）①∵4x2﹣25＝0， ∴4x2＝25， ∴， ∴； ②∵27（x﹣2）3﹣8＝0， ∴27（x﹣2）3＝8， ∴， ∴， ∴． 17．对于结论：当a+b＝0时，a3+b3＝0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数” （1）举一个具体的例子来判断上述结论是否成立； （2）若和互为相反数，且x+5的平方根是它本身，求x+y的立方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如0，则2+（﹣2）＝0，即2与﹣2互为相反数； 所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立； （2）∵和互为相反数， ∴0， ∴8﹣y+2y﹣5＝0， 解得：y＝﹣3， ∵x+5的平方根是它本身， ∵x+5＝0， ∴x＝﹣5， ∴x+y＝﹣3﹣5＝﹣8， ∴x+y的立方根是﹣2． 18．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ∵，即， ∴的整数部分为2， ∴的小数部分为． （1）求的整数部分和小数部分； （2）已知5a+2的立方根是3，3a+b﹣1的算术平方根是4，c是的整数部分，求3a﹣b+c的平方根． 【答案】（1）的整数部分为4，小数部分为； （2）±4． 【解答】解：（1）∵， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）由条件可知5a+2＝33＝27，3a+b﹣1＝42＝16， ∴a＝5，b＝2， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴c＝3， ∴3a﹣b+c＝15﹣2+3＝16， ∴3a﹣b+c的平方根是±4． 19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）m的值是 　　 ； （2）求的值； （3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+6|与互为相反数，求2c+3d的平方根． 【答案】（1）； （2）2； （3）． 【解答】解：（1）∵点A表示， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可知：， ∴ ＝2； （3）∵|2c+6|与互为相反数， ∴， 2c+6＝0，d﹣4＝0， 解得：c＝﹣3，d＝4， ∴2c+3d ＝2×（﹣3）+3×4 ＝﹣6+12 ＝6， ∴2c+3d的平方根是：． 20．两个完全相同的长方形ABCD，EFGH，如图所示放置在数轴上． （1）求长方形ABCD的面积； （2）若长方形ABCD，EFGH分别以每秒3个单位长度，1个单位长度在数轴上同时相向而行．设两个长方形重叠部分的面积为S，移动时间为t秒． ①用含t的式子表示点B在数轴上对应的数为　﹣4+3t ，点E在数轴上对应的数为　1﹣t ； ②在整个运动过程中，S的最大值是　16　 ，持续时间是　　 秒； ③当S＝10时，求点E在数轴上表示的数． 【答案】（1）24； （2）①﹣4+3t；1﹣t；②；③或． 【解答】解：（1）由图形可得：EF＝5﹣1＝4，AB＝﹣4﹣（﹣10）＝6， ∵两个完全相同的长方形ABCD、EFGH， ∴AD＝EF＝4， ∴长方形ABCD的面积是4×6＝24； （2）①∵长方形ABCD，EFGH分别以每秒3个单位长度，1个单位长度在数轴上同时相向而行， ∴点B在数轴上对应的数为﹣4+3t，点E在数轴上对应的数为1﹣t， 故答案为：﹣4+3t；1﹣t； ②整个运动过程中，S的最大值是4×4＝16， 由题意知移动t秒后， 点A、B、E、F在数轴上分别表示的数是﹣10+3t、﹣4+3t、1﹣t、5﹣t， 当点E与A重合时，﹣10+3t＝1﹣t， 解得：； 当点F与B重合时，﹣4+3t＝5﹣t， 解得：； ∴， ∴整个运动过程中，S的最大值是16，持续时间是秒； 故答案为：； ③分以下两种情况讨论： 情况一：当点E在A、B之间时，BE＝﹣4+3t﹣（1﹣t）＝4t﹣5， ∵S＝10， ∴AD•BE＝4（4t﹣5）＝10， 解得， 点E在数轴上表示的数是； 情况二：当点F在A、B之间时，AF＝5﹣t﹣（﹣10+3t）＝﹣4t+15， ∵S＝10， ∴AD•AF＝4（﹣4t+15）＝10， 解得， 点E在数轴上表示的数是； 综上所述，当S＝10时，求点E在数轴上表示的数为或． $