6.1 平面向量的概念 （教学设计) 数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦平面向量的概念，涵盖向量与数量的区别、几何及字母表示、零向量与单位向量定义、平行与相等向量关系等核心知识。通过校园导航、外卖配送等生活情境导入，引导学生从“大小+方向”感知向量特征，对比数量概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 此资料亮点在于以生活情境驱动概念建构，通过“导航定位”问题链培养数学抽象与逻辑推理素养。如用“原地不动”类比零向量，“不同路线到达同地”理解相等向量，习题兼顾辨析与应用，助力学生深化理解，也为教师提供结构化教学思路，提升课堂效率。

6.1 平面向量的概念 教学设计 教学内容 本节课是人教A版2019必修第二册第六章“平面向量”中的6.1节“平面向量的概念”。内容包括：基于物理中力、位移、速度等实际背景，抽象出平面向量的基本概念；掌握向量的几何表示与字母表示方法；理解向量的长度（模）、零向量、单位向量等特殊向量的定义；明确平行向量（共线向量）、相等向量的概念及相互关系；通过实例与习题巩固向量相关概念的应用。 内容解析 本节是平面向量的入门内容，是向量运算、向量应用的基础，核心是让学生理解“向量是既有大小又有方向的量”这一本质特征，打破数量仅靠单一实数表示的认知局限。 从知识关联看，本节承接物理中的矢量概念，为后续向量的加法、减法、数乘运算及平面向量基本定理等内容铺垫，是沟通几何与代数的重要桥梁，对提升学生数学抽象、逻辑推理核心素养具有关键作用。 从学习意义看，通过将实际问题中的矢量抽象为数学中的向量，学生能体会数学抽象的过程，掌握“实际情境—概念抽象—表示方法—关系探究—应用巩固”的学习流程，培养用数学眼光观察现实世界的能力。 教学目标 1. 了解向量的物理背景，能识别生活和学科中的向量与数量，明确二者的本质区别。 2. 掌握向量的几何表示与字母表示方法，理解向量的长度（模）的含义，能准确表述向量。 3. 理解零向量、单位向量、平行向量（共线向量）、相等向量的概念，能辨析不同向量间的关系。 4. 经历向量概念的抽象与形成过程，体验数学建模思想，提升数学抽象和逻辑推理核心素养。 目标解析 1. 能举例说明生活中的向量（如拉力、速度）和数量（如年龄、长度），并能准确区分二者（核心看是否有方向）。 2. 给定具体情境，能画出表示向量的有向线段，熟练运用“向量” “”等方式表示向量，能准确读出向量的模（如）。 3. 能根据定义判断给定向量是否为零向量、单位向量，能识别平行向量（共线向量）和相等向量，明确“平行（共线）不一定相等，相等一定平行（共线）”的逻辑关系。 4. 能结合具体问题，运用向量概念分析和解决简单的判断、辨析类问题，清晰阐述推理依据，体现数学抽象和逻辑推理的思维过程。 达成上述目标的标志是： 1. 能独立列举3个以上向量实例和3个以上数量实例，并说明区分理由。 2. 能规范画出有向线段表示指定向量，正确使用两种向量表示方法，准确计算网格中向量的模。 3. 能顺利完成向量概念辨析、相等向量与共线向量判断等习题，正确率不低于80%。 4. 能简述向量概念的抽象过程，说明“有向线段是向量的几何表示，向量是有向线段的数学抽象”的关系。 本节是学生首次系统接触向量知识，此前学生仅接触过数量（如实数、长度、质量等），对“既有大小又有方向的量”的认知较为模糊，但在物理学科中已经学习过力、位移、速度等矢量，这为向量概念的引入提供了良好的认知基础。 学生的优势在于：对实际情境中的矢量有直观感受，容易通过物理背景理解向量的“大小”和“方向”两个核心要素；具备基本的几何图形观察能力，能初步理解有向线段的表示方法。 学生的不足在于：容易混淆向量与数量的概念，可能忽略向量的方向属性；对“零向量与任意向量平行” “平行向量（共线向量）不一定在同一直线上”等特殊规定理解困难；对相等向量“长度相等且方向相同”的双重条件容易遗漏其一。 基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会规范表示向量。教学难点：辨析平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系，理解零向量的特殊性。 知识点一　向量与数量 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小没有方向的量称为数量． [注意]　数量可以比较大小，而向量无法比较大小． 知识点二　向量的表示 具有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A为起点，B为终点的有向线段记作，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作||． 表示法 几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示：向量也可以用字母a，b，c，…表示(印刷用黑体a，b，c，书写用，，) 向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作||． [注意]　向量有两要素，有向线段有三要素，因此这是两个不同的量．向量可以用有向线段表示，但这并不是说向量就是有向线段． 知识点三　向量的有关概念 向量名称 定义 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 平行向量(共线向量) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量；向量a与b平行，记作a∥b，规定：零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量；向量a与b相等，记作a＝b [注意]　(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． (3)判断两个向量的关系：一要判断大小，二要判断方向，如遇上零向量，必须注意其方向的任意性． 课堂导入1：校园导航中的"精准定位" 引入情境 “早上进校门后，小明要去三个地方：先去教学楼3楼办公室交作业，再去操场器材室借篮球，最后去食堂买早餐。” 提问1：如果只告诉小明“走50米”，他能准确到达办公室吗？为什么？（引导学生发现缺少方向，无法定位） 提问2：若补充“从校门口朝正北方向走50米到教学楼”，再“从教学楼朝西南方向走80米到操场”，最后“从操场朝正东方向走100米到食堂”，小明能顺利完成任务吗？（让学生直观感受“大小+方向”的必要性） 追问：校园里还有哪些活动需要同时说明“大小”和“方向”？比如去图书馆找书架、参加体育课的折返跑练习等，这些描述的量和我们之前学的“身高” “体重” “距离”有什么不同？ 【设计意图】贴近学生日常校园生活，场景熟悉易代入，降低抽象概念的理解门槛，让学生在真实情境中直观感知“仅有大小不够，还需方向”的量的特征。 通过连续追问，自然引发学生对比“需要方向的量”与“不需要方向的量”，为向量与数量的概念区分埋下伏笔，紧扣本节课核心起点——向量的“双向要素”。 以“导航定位”为线索，可贯穿整节课：后续学习向量的表示时，可对应“定位路线的描述方法”；学习零向量时，可联想“原地不动（大小为0，方向任意）”；学习平行向量、相等向量时，可拓展“不同路线是否能到达同一地点（相等向量）” “路线是否同向或反向（平行向量）”，实现情境与知识的深度绑定，勾起学生对向量相关知识的探究欲。 课堂导入2：外卖配送中的"高效送达" “外卖骑手接到订单：从餐厅出发，送一份餐到居民楼。” 提问1：餐厅老板只告诉骑手“距离居民楼1200米”，骑手能快速找到收货地址吗？可能会出现什么问题？（引导学生思考：同一距离的地点有无数个，缺少方向会导致效率低下甚至送错） 提问2：若订单备注“餐厅朝东北方向走1200米，到3号楼2单元5楼”，骑手的配送效率会怎样变化？这里的“1200米”和“东北方向”分别对应这个量的什么特征？（让学生明确“大小”和“方向”是描述该类量的关键） 追问：生活中还有哪些类似的“配送场景”？比如快递员送包裹、美团跑腿送文件等，这些场景中描述的“配送路径”，和我们学过的“温度” “时间” “面积”等量，本质区别是什么？ 【设计意图】选取外卖配送这一全民熟悉的生活场景，具有强烈的现实感和代入感，能快速吸引学生注意力，激发主动思考的兴趣。 以“配送效率”为切入点，让学生体会“向量特征”的实际价值——精准描述这类量能解决生活中的实际问题，凸显数学知识的实用性，进而引发学生对“如何规范描述这类量”（向量的表示）、“不同配送路径是否等效”（相等向量）、“路径方向是否一致”（平行向量）等问题的探究欲，自然统领整节课的知识脉络。 通过对比“配送路径描述的量”与“温度、时间等数量”，直接指向本节课的核心矛盾——向量与数量的本质区别，为后续概念抽象、特殊向量辨析、向量关系探究等内容做好铺垫，让整节课的逻辑起点更清晰、更贴近学生认知。 探究点1：向量的实际背景与概念 问题1：观察导入情境中的“位移” “力”，以及物理中的“速度” “加速度”，这些量与我们之前学过的“长度” “质量” “年龄”有什么不同？ 【师生活动】学生分组讨论，列举两类量的实例，教师引导学生归纳共性——“长度” “质量”等仅需一个实数表示（只有大小），“位移” “力”等需要同时说明大小和方向。 归纳总结：在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量（vector），把只有大小没有方向的量称为数量（scalar）。物理学中，向量称为矢量，数量称为标量。 情境导入： 情境一：小船由A地航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？    情境二：小船由A地向东南方向航行15 n mile 到达B地。试问小船能到达B地吗？ 问:位移和距离这两个量有什么不同？ 情境三：物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大。 情境四：物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大。问:你能通过这些物理量得出向量的概念吗？ 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地（速度的大小为10 n mile/h)．这里，如果仅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了．这就是说，位移是既有大小又有方向的量．力、速度、加速度等也是这样的量．对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量． 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用． 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系．在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题． 我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量．本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征． （1） 向量的实际背景与概念 在本章引言中，小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向．又如，物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1)，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2)，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大． 力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性．我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量． 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量． 物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？ 探究点2：向量的几何表示 问题2：数量可以用数轴上的点表示，那么向量该如何表示呢？ （2） 向量的几何表示 由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？ 我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向．于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移．受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向． 通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3)． 通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段记作，线段的长度也叫做有向线段的长度，记作． 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了． 向量可以用有向线段表示，我们把这个向量记作向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．用有向线段表示向量，使向量有了直观形象． 【师生活动】教师以位移为例，说明“从A地到B地的位移”可以用连接A、B两点的线段，加上指向B的箭头表示——箭头体现方向，线段长度体现大小。进而引出有向线段的概念：具有方向的线段叫做有向线段，包含起点、方向、长度三个要素。 定义向量的表示方法： 1. 几何表示：用有向线段表示，以A为起点、B为终点的向量记作，有向线段的长度表示向量的大小（模），记作。 1. 字母表示：印刷时用黑体小写字母，，，…表示；书写时用，，，…表示。 追问：有向线段就是向量吗？ 明确：有向线段是向量的几何表示，向量是有向线段的数学抽象（向量可以脱离有向线段而存在，只要大小和方向不变，不同起点的有向线段可以表示同一个向量）。 探究点3：特殊向量的定义 问题3：向量的大小（模）可以是0吗？可以是1个单位长度吗？ 向量的大小称为向量的长度（或称模），记作．长度为0的向量叫做零向量（zero vector)，记做．长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector)． 向量也可以用字母，，，…表示． 【师生活动】学生结合模的定义思考，教师明确特殊向量的定义： 1. 零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作（印刷体）或（手写体），零向量的方向是任意的。 1. 单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。 追问：单位向量一定相等吗？ 明确：不一定，单位向量的长度都为1，但方向可以不同，只有方向相同的单位向量才相等。 例1 在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km)． 解： 表示A地至B地的位移，且； 表示A地至C地的位移，且． 【变式】如图所示，在平行四边形中成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】在平行四边形中且，且， 所以，. 故选：D 探究点4：向量间的关系（平行向量、相等向量、共线向量） 问题4：观察图中向量，，（教师展示方向相同或相反的一组向量），它们的方向有什么特点？长度一定相等吗？ 【师生活动】学生观察分析，教师定义平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，记作。并规定：零向量与任意向量平行（即对任意向量，都有）。 （3） 相等向量与共线向量 下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors)．如图6.1-5，用有向线段表示的向量与是两个平行向量． 向量与平行，记作． 我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有． 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector)．如图6.1-6，用有向线段表示的向量与相等，记作． 问题5：如果两个向量不仅方向相同，长度也相等，这两个向量是什么关系？ 定义相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作。 追问：相等向量的起点一定相同吗？ 明确：不一定，只要大小和方向相同，无论起点在哪里，都是相等向量（如平行四边形中，）。 问题6：平行向量一定在同一条直线上吗？ 【师生活动】教师通过平移示例说明，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此平行向量也叫做共线向量。 归纳总结：平行向量（共线向量）的核心是方向相同或相反，与起点无关；相等向量的核心是长度相等且方向相同，是特殊的平行向量（共线向量）。 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定． 如图6.1-7，，，是一组平行向量，任作一条与所在直线平行的直线，在上任取一点，则可在l上分别作出，，．这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors)． 例2 如图6.1-8，设O是正六边形ABCDEF的中心． （1）写出图中的共线向量； （2）分别写出图中与，，相等的向量． 解：（1）是共线向量； 是共线向量； 是共线向量． （2） 【变式】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【答案】(1)， (2)， (3)，，，，，， 【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【详解】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 1.（24-25高一上·北京·月考）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 2.（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平面向量的概念与表示 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3.（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】AC 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量 【分析】根据向量的有关定义即可判断选项正误. 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B．两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 4.（多选题）（24-25高一下·河北石家庄·月考）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【知识点】向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 5.（2024高二上·黑龙江佳木斯·学业考试）下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 6.（23-24高一下·湖北武汉·期末）下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若，，则 D．长度相等的两个向量必相等 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量相关概念进行判断，得到答案 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 7.（多选题）（25-26高一上·全国·随堂练习） 下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【答案】AD 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义，结合选项，即可求解. 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量，而质量和路程只有大小， 故选：AD. 8.（多选题）（24-25高一下·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．向量向量长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【答案】ABC 【知识点】相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】根据向量有关概念判断即可. 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 9.（多选题）（24-25高一下·广东东莞·月考）下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】ABD 【知识点】零向量与单位向量 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 10.（多选题）（24-25高一下·福建福州·期中）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【答案】BD 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 【分析】根据向量的有关定义依次判断即可. 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 1.（2025·河北·模拟预测）在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【知识点】向量的模 【分析】设内切圆圆心，将、、分解为从出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重合”的性质，简化向量和为；通过三角形面积与内切圆半径的关系求得，进而计算向量和的模长. 【详解】设点为内切圆圆心，则， 则， 因为是等边三角形，故点也是的重心， 故，故， 由等面积得，则， 故. 故选：B 2.（2026高三·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 【答案】D 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义，结合矩形的性质进行求解即可. 【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点， 所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示： 由题意得：，则，有3对；， 则，有6对； ，有1对；，有1对；，有1对； 共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对， 综上，相等的非零向量共有24对. 故选：D 3.（2025高三·全国·专题练习）下列命题中，正确的是（   ） A．若与都是单位向量，则 B．直角坐标平面上的轴、轴都是向量 C．若用有向线段表示的向量与不相等，则点与不重合 D．海拔、温度、角度都不是向量 【答案】CD 【知识点】零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 【分析】由向量的有关概念判断可得. 【详解】选项A，由于单位向量长度相等，但是方向不确定，故A错误； 选项B，由于只有方向，没有大小，故轴，轴不是向量，故B错误； 选项C，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同，C正确； 选项D，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量，D正确． 故选：CD 4.（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由题意可得，，结合向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. 1. 知识清单： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，与数量的本质区别是是否有方向。 （2）向量的表示：几何表示（有向线段）、字母表示（）；向量的模（，）。 （3）特殊向量：零向量（，方向任意，模为0）、单位向量（模为1，方向任意）。 （4）向量间的关系：平行向量（共线向量，方向相同或相反，零向量与任意向量平行）、相等向量（长度相等且方向相同）。 1. 方法归纳： （1）判断向量相关概念的核心：紧扣“大小”和“方向”两个要素。 （2）寻找相等向量：先找模相等的向量，再判断方向是否相同。 （3）寻找共线向量：先找方向相同或相反的向量，忽略起点差异。 1. 常见误区： （1）混淆向量与数量，忽略向量的方向属性。 （2）认为单位向量一定相等，零向量方向固定。 （3）混淆“平行向量”与“相等向量”，认为平行一定相等。 （4）忽略“零向量与任意向量平行”的特殊规定。 【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。 习题6.1 2,3题 【设计意图】通过布置作业，帮助学生巩固本节课所学知识，提高学生的逻辑推理能力。 【教学建议】教师可以引导学生在课后认真完成作业，鼓励学生在遇到问题时及时向老师或同学请教。 教师可引导学生在课后结合生活实例再次梳理向量概念，鼓励学生小组讨论“零向量的特殊性” “平行与共线的关系”等难点问题，及时纠正认知偏差。 学科网（北京）股份有限公司 $