6.1 平面向量的概念 （教学课件）数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面向量的概念，通过校园导航“缺方向无法定位”和外卖配送“路径选择需方向与大小”的情境导入，引导学生从实际问题抽象向量定义，搭建“具体情境—概念形成—表示方法—特殊向量—向量关系”的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实世界，通过生活情境培养数学抽象，结合几何表示发展直观想象，通过“牛刀小试”和题型训练强化逻辑推理。如用“小明定位”“骑手配送”抽象向量，辨析共线与相等向量，助力学生理解抽象概念，教师可高效实施启发式教学。

人教A版2019必修第二册 6.1 平面向量的概念 第 6 章 平面向量及其应用 学习目标 能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量,了解向量的实际背景.掌握向量与数量的区别. 掌握向量的几何表示,会用字母表示向量,用向量表示点的位置. 理解向量、零向量、单位向量、向量的长度(模)的意义,了解平行向量(共线向量)和相等向量的意义,并会判断向量间共线(平行)、相等的关系. 目录 CATALOG 01.向量的实际背景与概念 03.题型强化训练 02.相等向量与共线向量 04.小结及随堂练习 6.1 平面向量的概念 01 向量的实际背景与概念 导入新知1：校园导航中的"精准定位" “早上进校门后，小明要去三个地方：先去教学楼3楼办公室交作业，再去操场器材室借篮球，最后去食堂买早餐。”提问1：如果只告诉小明“走50米”，他能准确到达办公室吗？为什么？（引导学生发现缺少方向，无法定位） 提问2：若补充“从校门口朝正北方向走50米到教学楼”，再“从教学楼朝西南方向走80米到操场”，最后“从操场朝正东方向走100米到食堂”，小明能顺利完成任务吗？（让学生直观感受“大小+方向”的必要性） 追问：校园里还有哪些活动需要同时说明“大小”和“方向”？比如去图书馆找书架、参加体育课的折返跑练习等，这些描述的量和我们之前学的“身高” “体重” “距离”有什么不同？ 导入新知2：外卖配送中的"高效送达" “外卖骑手接到订单：从餐厅出发，送一份餐到居民楼。” 提问1：餐厅老板只告诉骑手“距离居民楼1200米”，骑手能快速找到收货地址吗？可能会出现什么问题？（引导学生思考：同一距离的地点有无数个，缺少方向会导致效率低下甚至送错） 提问2：若订单备注“餐厅朝东北方向走1200米，到3号楼2单元5楼”，骑手的配送效率会怎样变化？这里的“1200米”和“东北方向”分别对应这个量的什么特征？（让学生明确“大小”和“方向”是描述该类量的关键） 追问：生活中还有哪些类似的“配送场景”？比如快递员送包裹、美团跑腿送文件等，这些场景中描述的“配送路径”，和我们学过的“温度” “时间” “面积”等量，本质区别是什么？ 学习新知 在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后只用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等．还有一些量则不是这样，例如下图中小船的位移，小船由A地向东南方向航行15 n mile到达B地（速度的大小为10 n mile/h)．这里，如果仅指出“由A地航行15 n mile”，而不指明“向东南方向”航行，那么小船就不一定到达B地了.这就是说，位移是既有大小又有方向的量．力、速度、加速度等也是这样的量．对这种既有大小又有方向的量加以抽象，就得到了我们本章将要研究的向量． 学习新知 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景、深刻的数学内涵．向量既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通几何与代数的桥梁，是进一步学习和研究其他数学领域问题的基础，在解决实际问题中发挥着重要作用． 本章我们将通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系．在此基础上，用向量的语言、方法表述和解决现实生活、数学和物理中的一些问题． 学习新知 在本章引言中，小船位移的大小是A，B两地之间的距离15 n mile，位移的方向是东南方向；小船航行速度的大小是10 n mile/h，速度的方向是东南方向．又如，物体受到的重力是竖直向下的（图6.1-1)，物体的质量越大，它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的（图6.1-2)，物体浸在液体中的体积越大，它受到的浮力越大． 学习新知 力、位移、速度等有各自的特性，而“既有大小，又有方向”是它们的共同属性．我们知道，从一支笔、一棵树、一本书……中，可以抽象出只有大小的数量“1”．类似地，我们可以对力、位移、速度……这些量进行抽象，形成一种新的量． 在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量(vector)，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量． 物理学中常称向量为矢量，数量为标量，你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？ 学习新知 数学中，把既有方向，又有大小的量叫做向量（物理中叫矢量）. 如物理中的力、加速度、速度、位移等 数学中，把没有方向，只有大小的量叫做数量（物理中叫标量） 如长度、质量、面积、体积等 向量的定义 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量的概念与表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量的概念与表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量的概念与表示 学习新知 由于数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示，而且不同的点表示不同的数量．那么，该如何表示向量呢？ 我们仍以位移为例，小船以A为起点，B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向．于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移．受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向． 学习新知 通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段(directed line segment)(图6.1-3)． A（起点） B（终点） 有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了． 有向线段的三个要素： 起点、方向、长度 学习新知 长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 向量的模、零向量与单位向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零向量与单位向量 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 平面向量的概念与表示、零向量与单位向量 学习新知 例1：在图6.1-4中，分别用向量表示A地至B，C两地的位移，并根据图中 的比例尺，求出A地至B，C两地的实际距离（精确到1km)． 学习新知 学习新知 解决与向量概念有关问题的方法 02 相等向量与共线向量 6.1 平面向量的概念 学习新知 下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量． 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 . 学习新知 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定． 学习新知 O A B C 这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量. 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断命题的必要不充分条件、平面向量的概念与表示 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 相等向量、零向量与单位向量、平面向量的概念与表示 学习新知 A B C D E F O 学习新知 学习新知 (1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线 向量． (2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． (3)非零向量的共线具有传递性，即向量a，b，c为非零向量，若 a∥b，b∥c，则可推出a∥c. 共线向量与相等向量的判断 03 题型强化训练 6.1 平面向量的概念 能力提升 题型一：向量的有关概念 能力提升 解决与向量概念有关问题的方法 能力提升 题型二：相等向量与共线向量 能力提升 寻找共线向量或相等向量的方法 能力提升 向量的两种表示方法 能力提升 题型三：向量的表示与向量的模 能力提升 题型三：向量的表示与向量的模 能力提升 向量的两种表示方法 04 小结及随堂练习 6.1 平面向量的概念 课堂总结1 大小 方向 起点 终点 大小 课堂总结1 0 0 1个单位 相等 相同 a=b 相同 相反 a∥b 课堂总结1 向量 向量的概念 向量的关系 向量的定义 表示方法 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 平行(共线) 向量 课堂总结1 ①向量及向量的有关概念、表示方法. ②零向量：长度为0的向量。单位向量：长度等于1个单位长度的向量. ③平行向量（共线向量）和相等向量 . ①寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量． ②寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量． ①与起点无关.用有向线段表示向量时,起点可以取任意位置. ②判断一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个因素. ③向量与向量之间不能比较大小. ④零向量与任何向量都平行. ①数学抽象：平面向量的概念. ②逻辑推理：区分平行向量、相等向量和共线向量. ③直观想象：向量的几何表示. 核心 知识 方法总结 易错提醒 核心 素养 平面向量的概念 课堂总结2 作业 1.习题 6.1 第 2,3 题. 6.1 平面向量的概念 练习(第4页) 1．下列量中哪些是向量？ 悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度． 悬挂物受到的拉力，摩擦力，加速度都是向量． 练习(第4页) 2．画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为18 N的力和一个水平向左、大小为28 N的力．（用1 cm长表示10 N） 图(1)表示竖直向下、大小为18 N的力，图(2)表示水平向左、大小为28 N的力． C D (2) 28 N A B (1) 18 N 练习(第4页) 3．指出图中各向量的长度．（规定小方格的边长为0.5） A B C D E F G H 练习(第4页) O N M M O N 练习(习题6.1第5页) 1．在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为 1）中，用直尺和圆规画出下列向量： O B A C 北 练习(习题6.1第5页) A B C D T O M P Q R S 练习(习题6.1第5页) 3．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”），并说明理由． × (1)单位向量的长度都是1，但方向可能不同． √ (3) x 轴和 y 轴都只有方向而没有大小，因此它们不是向量． × 练习(习题6.1第5页) 3．判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错的打“×”），并说明理由． × √ √ (6)因为海拔、温度、角度只有大小，没有方向，所以它们都不是向量． 练习(习题6.1第5页) A B C D M N 模为2的相等向量共有2对． 综上，相等的非零向量共有24对． THANKS 感谢您的聆听 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 1.下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量； 拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 2.（多选题） 下列物理量中，不是向量的是（    ） A．质量 B．速度 C．力 D．路程 【详解】因为向量是既有大小又有方向的量， 而质量和路程只有大小， 故选：AD. 3.下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的 轴、 轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 4.（多选题）下列说法正确的是（   ） A．向量 与向量 的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等， 故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同， 终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 5.（多选题）下列说法正确的是（    ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【详解】A．由向量的定义知，加速度是向量，故正确； B． 两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同， 所以它们的终点不一定相同，故错误； C．由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故正确； D．向量可以用有向线段表示，但两者不同，故错误． 故选：AC． 6.（多选题） 下列说法不正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可知C正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数0只有大小没有方向，故D错误. 故选：ABD. 7.（多选题）下列说法错误的是（ ） A．加速度是向量 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的方向是任意的 D．向量就是有向线段 【详解】对于A，由向量的定义知，加速度是向量，故A正确； 对于B，两个有共同起点，且长度相等的向量，方向不一定相同，所以它们的终点不一定相同，故B错误； 对于C，由零向量的定义知，零向量的方向是任意的，故C正确； 对于D，向量可以用有向线段表示，但两者不同，故D错误． 故选：BD． 【分析】根据平行四边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【答案】D 【详解】在平行四边形 中 且 ， 且 ， 所以 ， . 故选：D 【变式】如图所示，在平行四边形 中成立的是( ). A． B． C． D． 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如： 共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制； 相等向量的核心是方向相同且长度相等； 单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度； 零向量的核心是方向没有限制，长度是0； 规定零向量与任一向量平行． 只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．　　　　 8.下列说法中正确的是（   ） A．两个单位向量一定相等 B．物理学中的重力是向量 C．若 ， ，则 D．长度相等的两个向量必相等 【详解】A选项，两个单位向量方向不同时，不相等，A错误； B选项，物理学中的重力既有大小，又有方向，是向量，B正确； C选项，若，则满足，，但不一定平行，C错误； D选项，长度相等，但方向不同的两个向量不相等，D错误. 故选：B 9.设 ， 为非零向量，则“ ”是“ ”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同， 故不一定成立，故得不到， 若，则，故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 10.（多选题）下列说法正确的是（    ） A．向量 向量 长度相等 B．任一非零向量都可以平行移动 C．零向量都相等 D．向量可以比较大小 【详解】选项A：向量与向量为相反向量，方向相反，长度相等，A正确； 选项B：因为同方向且模相等的向量相等，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，B正确； 选项C：零向量都相等，C正确； 选项D：向量不可以比较大小，D错误． 故选：ABC 【详解】(1)由题意 ， ． (2)由题意，与 的相反向量为： ， ． (3)由题意，与 模相等的向量为： ， ， ， ， ， ， ． 【变式】如图， 为正方形 对角线的交点，四边形 ， 都 是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与 ， 相等的向量； (2)写出与 的相反向量； (3)写出与 模相等的向量. 【例1】下列说法中正确的有(　　). ①单位向量的长度大于零向量的长度； ②零向量与任一单位向量平行； ③因为平行向量也叫作共线向量，所以平行向量所在的直线也一定共线； ④因为相等向量的相等关系具有传递性，所以平行向量的平行关系也具 有传递性； ⑤因为相等向量一定是平行向量，所以平行向量也一定是相等向量． A．①② B．①②④ C．①③⑤ D．①②③ 【解析】①正确，因为单位向量的长度为1，零向量的长度为0.②正确．③错 误，平行向量所在的直线可能不共线．④错误，平行向量的平行关系 不具有传递性．⑤错误，平行向量不一定是相等向量． 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如： 共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制； 相等向量的核心是方向相同且长度相等； 单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度； 零向量的核心是方向没有限制，长度是0； 规定零向量与任一向量平行． 只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．　　　　 【练习2】下列命题：①方向不同的两个向量不可能是共线向量；②长度相 等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若 ，则 .其中正确命题的个数是( ). A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】 对于①,由共线向量的定义可知:方向相反的两个向量也是共线向量,故①错误； 对于②,长度相等,方向相同的向量是相等向量,故②正确； 对于③,平行向量的方向相同或相反,不一定方向相同,所以不一定相等,故③错误； 对于④,若 ,可能只是方向不相同,但模长相等,故④错误. 故选:A (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． (2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量． (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平 面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向 量，如eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(CD,\s\up17(―→))，eq \o(EF,\s\up17(―→))等．　　　　 【练习3】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1) ，点A在点 的正东方向； (2) ，点B在点 的北偏东 方向； (3)求出 的值． 【详解】 (1)所求 向量如图所示： (2)所求 向量如图所示： 【练习3】在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1) ，点A在点 的正东方向； (2) ，点B在点 的北偏东 方向； (3)求出 的值． 【详解】 (3)由图知， 是等腰直角三角形， 所以 ． (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点． (2)字母表示法：为了便于运算可用字母a，b，c表示，为了联系平 面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向 量，如eq \o(AB,\s\up17(―→))，eq \o(CD,\s\up17(―→))，eq \o(EF,\s\up17(―→))等．　　　　 【知识点一】向量的定义与表示 1．定义：既有__________又有__________的量叫做向量． 2．表示方法： (1)几何表示法：用以A为__________，B为__________的有向线段 eq \o(AB,\s\up17(→))表示； (2)字母表示法：在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，手写时， 可写成带箭头的小写字母， eq \o(a,\s\up17(→))， eq \o(b,\s\up17(→))， eq \o(c,\s\up17(→))…. 3. 向量的模：向量的__________叫做向量的长度(或模)，如a， eq \o(AB,\s\up17(→))的模分别 记作|a|，| eq \o(AB,\s\up17(→))|. 【知识点二】特殊向量 1．零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作__________． 2．单位向量：长度等于__________长度的向量，叫做单位向量． 3．相等向量：长度__________且方向__________的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作__________． 4．平行向量或共线向量：方向__________或__________的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量a平行于b，记作__________．规定：零向量与任意向量平行． $