精品解析：北京市昌平区2025-2026学年上学期九年级期末质量抽测 数学试题

昌平区2025-2026学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，，是上两点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 6. 二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 7. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 如图，已知，其中，，则与的面积比为______． 10. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 11. 若点，在反比例函数的图象上，则______（“”“”“ ”）． 12. 是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为______． 13. 如图，一架无人机在距地面空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 14. 如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 15. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为______． 16. “不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是______． ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 18. 如图，在中，，，．求长及的值． 19. 二次函数的部分图象和对称轴如图所示． （1）求二次函数表达式； （2）该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为______． 20. 如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长． 21. 如图，在中，，，，求长． 22. 如图，在矩形中，求作：经过，两点且与边相切．小明的做法如下： ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②连接，作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，长为半径作圆． 即为所求作的圆． （1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，． 垂直平分， ，． 四边形是矩形， ． ． 为半径， 与相切．（______）（填推理的依据） 垂直平分线段， ______． ． 经过，两点且与边相切． 23. 图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端，以及支撑杆的底端在同一个圆上，，支撑杆另一端是的中点，且，．已知该手机的宽度为，求圆的半径长． 24. 如图，为的直径，是的一条弦，，交于点，延长交于点，连接，过点作的切线分别交，延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求长． 25. 当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； （1）求液滴距离圆心处的沉积厚度； （2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 26. 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线 （1）当时，求抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标； （2）若对于任意，，，，都有，求的取值范围． 27. 已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂线，分别交延长线于点，于点． （1）如图，点与点重合，点与点重合，求证：； （2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”． （1）， ①，，中，点______是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则______； （2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌平区2025-2026学年第一学期初三年级期末质量抽测数学试卷 本试卷共8页，共100分．考试时长120分钟． 一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，，不合题意； B．由可得，，符合题意； C．由可得，，不合题意； D．由可得，，不合题意； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据形如的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：由抛物线可知其顶点坐标为； 故选：C． 3. 如图，是的直径，，是上两点，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，根据可知，再根据圆周角定理可知． 【详解】解：， ， ， ． 故选：A． 4. 已知在中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据勾股定理求出，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可． 【详解】解：∵， ， ， 故选：C． 5. 如图，直线与半径为的相交，且点到直线的距离为，则的值可以是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 直线与半径为的相交，且点到直线的距离，按照即可得到问题的答案． 【详解】解：直线与半径为的相交，且点到直线的距离为， ， 比较四个选项中的数，只有D选项中的，满足题意， 故选：D． 6. 二次函数的图象是由的函数图象经过怎样平移得到的（ ） A. 向左平移3个单位，向上平移5个单位 B. 向右平移3个单位，向上平移5个单位 C. 向左平移5个单位，向下平移3个单位 D. 向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移规律，熟练掌握针对“左加右减”，针对常数项“上加下减”是解题的关键．根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可判断平移方向． 【详解】解：由题意图象是由的函数图象平移而来， 相对于，水平方向向左平移3个单位，垂直方向向上平移5个单位， 故选A． 7. 如图所示是小明的一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点，，都在竖格线上.若线段，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D． ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴， 即， ∴BC=9.6(cm)． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解答本题的关键． 8. 如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分） 9. 如图，已知，其中，，则与的面积比为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10. 请写出一个开口向上且过的二次函数表达式______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像及其性质，熟练掌握二次函数的图像及其性质是解题的关键．根据二次函数图像的性质，开口向上即二次项系数，且函数过点即当时，，得常数项． 【详解】解：设二次函数为，由开口向上得，由过点得， 取，，即函数为，满足条件， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 若点，在反比例函数的图象上，则______（“”“”“ ”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键．根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点的横坐标代入函数解析式求出纵坐标，再比较大小． 【详解】解：对于反比例函数 ， 当 时，； 当 时，． ， ， 故答案为：． 12. 是正方形的外接圆，若的半径为4，则正方形的边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形和圆，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先确定，再结合正方形的性质根据勾股定理求出解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵是正方形的外接圆， ∴， ∴是的直径， ∴． 根据勾股定理，得， 解得或（不符合题意，舍去）． 故答案为：． 13. 如图，一架无人机在距地面的空中进行航拍，当它拍摄地面上的目标时，无人机上摄像头的俯角为，则此时无人机与目标的水平距离为______．（将无人机近似为一个点） 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了俯角的定义，解直角三角形的应用，根据题意可得，，，米，则，即可得解． 【详解】解：如图， 根据题意可得，，，米， ∴（米）， 故答案为：． 14. 如图，小树在路灯的照射下形成影子．若路灯灯泡底端距离地面的高度，，，则小树高度______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴小树高度． 故答案为：8． 15. 如图，是的直径，点，在上，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直径所对的圆周角等于90度，直角三角形两锐角互余等知识，由圆内接四边形的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，最后由直角三角形两锐角互余即可得出． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故答案为：． 16. “不倒翁”是生活中极具趣味性的儿童玩具，也因独特的造型被制作成各种精美的摆件．它的核心设计原理是降低重心．如图是小静在劳动课上制作的简易版不倒翁（上半部分为圆锥，下半部分为球的一部分，底部居中放置一正方体重物，并固定）及其主视图（主视图为轴对称图形）．已知，分别与所在圆相切于点，，点是该圆与地面水平线的切点，圆的半径是，，正方形边长为．所有正确结论的序号是______． ①无论不倒翁如何摇晃的度数始终不变且为； ②； ③点到的距离为； ④不倒翁上面的圆锥形纸筒（粘贴忽略不计）的展开图是圆心角为的扇形． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①设圆心为O，连接，，根据切线的性质求出的度数，再根据圆周角定理可得出的度数，则可判断正误；②先证得平分，则有，再根据锐角三角函数解直角三角形即可求得的长度；③利用垂径定理求得点O到的距离，取的中点Q，的中点为M，点到的距离为，计算出长度即可；④分别求出圆锥底面半径，圆锥的母线长，圆锥底面周长，再根据弧长公式求展开图扇形的圆心角即可判断． 【详解】解：①如图1，设圆心为O，连接，，，，， 由切线性质，得，，故． 在四边形中，，，则圆心角． 由图可知点一直在优弧上，∴．∴①正确． ②∵，，， ∴平分， ∴， 在中，，则， 同理，． ∴，故②正确． ③如图2，取的中点Q，的中点为M， ∵，， ∴， 正方形边长为，底部居中放置，其中心在对称轴上，则点都在对称轴上， ∴点P到的距离即的长度， ∵， ∴． ∴． 故③正确． ④如图3， 圆锥的母线长， 设圆锥底面圆心为，且在上， 在直角三角形中，． ∴圆锥底面周长， 根据弧长公式，，即 因此展开图是圆心角为的扇形，不是． ∴④错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，垂径定理，弧长公式，勾股定理等，综合性很强，清楚各线段之间的关系是解题的关键． 三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27、28题，每小题7分，共68分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是特殊三角函数值的运算，熟练掌握、、对应的三角函数值是解题的关键．先代入各特殊角的三角函数值，再按照四则运算顺序计算即可得出结果． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，，，．求长及的值． 【答案】；． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形．根据余弦函数的定义求出，再结合勾股定理即可求得的长；根据正弦函数的定义计算即可得到答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∵在中，，，， ∴． 19. 二次函数的部分图象和对称轴如图所示． （1）求二次函数的表达式； （2）该二次函数图象与轴正半轴的交点坐标为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式，二次函数图象的对称性： （1）根据顶点坐标设二次函数顶点式，再将代入求出二次项系数即可； （2）求出关于对称轴的对称点即可． 【小问1详解】 解：由图可知，该二次函数图象的顶点坐标为， 设二次函数的表达式为， 将代入上式得， ， 二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由图可知，对称轴为直线，与x轴负半轴的交点为， ， 与轴正半轴的交点坐标为， 故答案为：． 20. 如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，根据矩形的性质，证明，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，． 在中，． ∵E为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，垂足为，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据，得出，由勾股定理得，，解方程即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，，， ， 在中，，， ， 设，则，由勾股定理得，， 解得或（舍去）， 22. 如图，在矩形中，求作：经过，两点且与边相切．小明的做法如下： ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②连接，作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，长为半径作圆． 即为所求作的圆． （1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，． 垂直平分， ，． 四边形是矩形， ． ． 为半径， 与相切．（______）（填推理的依据） 垂直平分线段， ______． ． 经过，两点且与边相切． 【答案】（1）见解析 （2）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 【解析】 【分析】（1）根据题目提供的尺规作图步骤依次作图即可；（2）根据（1）中所作图形，结合证明过程可知填空内容，完善即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：证明：连接，． 垂直平分， ，． 四边形是矩形， ． ． 为半径， 与相切．（经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）（填推理的依据） 垂直平分线段， ， ． 经过，两点且与边相切． 故答案为：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和尺规作垂直平分线，矩形的性质，切线的判定和圆的概念，会尺规作垂直平分线是解题的关键． 23. 图1是某种手机支架，包括夹持杆以及支撑杆．某款手机恰好能够固定在该支架上，如图2所示（将手机看作一个矩形）．此时夹持杆两端，以及支撑杆的底端在同一个圆上，，支撑杆另一端是的中点，且，．已知该手机的宽度为，求圆的半径长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、垂径定理、勾股定理，根据垂径定理可知，设圆的半径长为，则，，根据勾股定理可得方程，解方程即可求出圆的半径． 【详解】解：如下图所示，连接，，则， 设圆的半径长为， 点在线段的垂直平分线上， ，且是的中点， 在上，． ， ，， 在中，， 由勾股定理得，， ， 解得：， 答：圆的半径长为． 24. 如图，为的直径，是的一条弦，，交于点，延长交于点，连接，过点作的切线分别交，延长线于点，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的性质，切线的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）由，是的切线，可得，，又由，可得，从而可得； （2）由可设，，可得圆的半径，则在中，，根据锐角三角函数定义可得，，从而在中，，可得，的长，从而可得的长，由（1）的可得，列出方程即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴． 小问2详解】 解：∵， ∴设，，则． ∵中，，， ∴，，． ∵中，， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴，解得． ∴． 25. 当咖啡滴到桌面上时，随着液体的蒸发，液体边缘会形成一个颜色更深的环状沉积物，而中心区域则相对干净，这就是物理中的“咖啡环效应”，其核心是由于液滴边缘蒸发更快，带动内部液体向边缘流动并沉积溶质． 小华参加了学校某科研社团，在研究“咖啡环效应”时发现，一滴咖啡滴在水平桌面上，自然扩散后形成一个直径为的圆形液滴．小华将液滴的沉积厚度分布用二次函数模型来模拟：设离圆心距离（单位：）处的沉积厚度（单位：）满足函数：；其中，并且已知在圆心处时，沉积厚度为0；在液滴边缘处，沉积厚度最大，为； （1）求液滴距离圆心处的沉积厚度； （2）直径为的圆形咖啡液滴的沉积厚度模型为：（单位：）其中．若沉积厚度超过的区域算作“明显咖啡环”，则液滴与液滴“明显咖啡环”区域的径向宽度（圆环宽度）与相比，______（填“”或“”）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用及解一元二次方程，无理数比较大小，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）利用待定系数法求出解析式即可； （2）当，，分别求出对应的x值，进而可得和的值，再比较即可． 【小问1详解】 解：将 代入得： ， ， ， 将代入得：， 液滴距离圆心处的沉积厚度为； 小问2详解】 解：当时，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， 当，即， 解得，（不符合，舍去）， ∴， ∵，， ∴，即， 故答案为：． 26. 在平面直角坐标系中，点，，在抛物线 （1）当时，求抛物线的顶点坐标以及与轴交点坐标； （2）若对于任意，，，，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式、对称轴和增减性，根据抛物线开口方向分情况讨论，结合对称轴分析函数值的大小关系是解题的关键． （1）代入得抛物线表达式，再配成顶点式求顶点坐标，令即可求得与轴交点坐标； （2）先求得抛物线对称轴，分（开口向上）、（开口向下）讨论：当：利用对称轴找的对称点，结合右侧增减性，由对称点横坐标得；当：结合右侧增减性，由得；综合即得的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，抛物线， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为， 令，得， ∴抛物线与轴交点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为，已知，，需分情况讨论： ①若， ∵， ∴，， （ⅰ）当时， 设点关于对称轴的对称点为， 则，， ∴， ∵当时，随的增大而增大，， ∴， ∴； （ⅱ）当时， ∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为， 又∵， ∴，不符合题意； （ⅲ）当时 ∵当时，随的增大而减小，， ∴， ∴，不符合题意； ②若， ∵，， ∴，； ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∴； 综上，或． 27. 已知，在中，，，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到，过点作的垂线，分别交延长线于点，于点． （1）如图，点与点重合，点与点重合，求证：； （2）如图，用等式表示和的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质与全等三角形的判定及性质，通过构造全等三角形、利用角度和边的关系推导是解题关键． （1）利用等腰三角形边相等的性质，结合直角三角形全等判定（），证明对应边相等； （2）先通过“”证明三角形全等得到边与角的关系，再借助角平分线垂线的条件，用“”证明另一组三角形全等，进而推导边的数量关系． 【小问1详解】 证明：， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 ，证明如下： 如图，连接， 由题意知，，， 在中，，， ， ， ，即， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，对于外的点P和弦，给出如下定义：若弦上存在一点Q，使，则称点P是弦关于的关联点，如果点为上一点，则称是弦关于的“关联角”． （1）， ①，，中，点______是弦关于的“关联点”； ②若是弦关于的“关联角”，，当最大时，则______； （2）直线与x轴，y轴分别交于点E，F，弦关于的“关联角”，若线段上存在“关联点P”，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①根据题中的定义分别作直线和，在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”，据此判断题中所给点坐标并选出符合题意的点坐标即可； ②作平行于且距离为的直线，，在上任取一点P，作，且，利用正弦的定义及勾股定理判断动点的移动情况，进而求得此时的值； （2）设是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作轴与轴交点H，I，判断分析出点C的位置使得，进而确定出点P的运动轨迹，从而确定最后线段与点P的轨迹有交点即可． 【小问1详解】 解：①如图，由题意知，分别作直线和， ∴在两条直线之间及直线上，且在外的点是弦关于的“关联点”， 此时点、符合题意， ∴、是弦关于“关联点”， 故答案为：，； ②如图，作平行于且距离为的直线，， 要使最大，则点P在上角度会更大， 在上任取一点P，作，且， 此时当与相切时，有最大， ∵， ∴， 过点C作， ∴， 当点P往方向运动时，点C也会随之向左运动，此时的值减小，的值增大，的值增大， ∴的值在减小， 当点P落在时，最小，此时最小， ∴最大， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 故答案为：． 小问2详解】 解：如图，设是垂直于y轴的弦，分别过点A，B作轴与轴交点H，I， 此时若点C在上，无限接近于，则当最大时，与相切， 当点P无限接近于时，的最大值超过， ∴点Q越靠近A时，相切状态的的值会越大，当点Q落在点A时，， ∴此时越大时，的值越小， ∵， ∴如图，延长交x轴于点G， 此时，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴当越大时，点P到x轴距离越大， 当时，，此时， ∴点P的轨迹即满足， 如图，作以点O为圆心，4为半径的， 当过点，时，；过点，时，， 当与半径为4的相切时，， ∴b的取值范围是或． 【点睛】本题考查了新定义问题的理解与应用，圆的性质，线段和角度最值等知识点，解答时注意利用数形结合的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $