精品解析：山东省枣庄市第三中学2025-2026学年高三上学期10月学情诊断测试数学试题

枣庄三中2026届高三10月学情诊断测试 高三数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 复数的实部是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的概念即可求解. 【详解】由得，实部为， 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式及两角差的余弦公式直接计算即可. 【详解】由已知，则， 又， 当时，， 当时，. 故选：C. 3. “集合A、B满足：”的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由得，进而求解. 【详解】由, 故选：D. 4. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，向量，满足，，， 所以， 则在上的投影向量为. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则当时，的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】先根据推出周期为4，再根据奇函数推出时的表达式，再根据周期性推出时的表达式，再用二次函数求最大值. 【详解】由题意知，即， 则， 所以函数是以4为周期的周期函数， 又当时，，且是定义在上的奇函数， ∴时，， ∴当时，， 所以当或6时，函数的最大值为． 故选：D． 6. 已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，由得，进而得，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设，由有， 所以，又点在圆上，所以， 即，所以点在以为半径，圆心为的圆上， 由圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为：， 故选：A. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】当时，画出曲线与的图象即可得解. 【详解】当时，曲线与的图象如图所示， 由图可知，当时，曲线与的交点个数为4. 故选：B. 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数研究函数的性质，确定方程的解的情况，然后结合二次方程根的分布知识求参数范围． 【详解】， 时，，当时，，递减，时，，递增， 时，，时，，是极小值， 时，，在上是增函数， 时，，时，，且， 作出函数的大致图象，如图， 由图象知时，无实解，时，有一解，时，有两解，时，有三解， 方程有四解， 则方程有两解且， 记， 则，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查用导数研究方程根的问题，解题方法是把函数的性质与二次方程根的分布知识结合起来求解，即利用导数研究函数的性质得出方程的解的情况，再利用二次方程根的分布知识求解，这对于把作为一个整体，方程是关于这个整体的二次方程可适用． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，其中，，，，且，，则 B. 若（）为纯虚数，则 C. 若关于的方程，，的一个虚根为，则 D. 若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据复数不能比较大小即可判断；对于B：根据纯虚数的概念列式求解；对于C：可知另一个虚根为，利用韦达定理运算求解；对于D：可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知，不可能均为实数，故不能比较大小，故A错误； 对于选项B：若（）为纯虚数， 则，解得，故B正确； 对于选项C：若关于的方程，，的一个虚根为， 则另一个虚根为， 可得，所以，故C错误； 对于选项D：若，，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第三象限，故D正确； 故选：BD. 10. 数列前项和为，且满足则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据递推公式列出前几项，即可判断A；分为奇数、偶数求出，即可判断B，利用分组求和法计算C、D. 【详解】对于A，因为， 所以，，，故A正确； 对于B，由，有，， 两式相加，得，又，所以，为偶数； 由，得，也即，为奇数， 所以故B正确； 对于C，数列的前项和记为， 则 ，故C正确； 对于D，由B可知： ， 则，故D错误， 故选：ABC． 11. 定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”．若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“正弦方差”的定义写出的解析式，利用和角公式和辅助角公式，将其化成正弦型函数，结合正弦函数的图象性质求得的取值范围. 【详解】依题意， ， ，得，故，即. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 13. 已知函数，且满足，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义证明的奇偶性，根据指数型复合函数的单调性判断的单调性，结合函数的奇偶性和单调性解不等式即可求解. 【详解】因为，所以为奇函数， ， 又在R上单调递增，所以在R上单调递增， 所以为R上的增函数. 因为，为奇函数， 所以， 又为R上的增函数，所以，即， 解得或，即实数m的取值范围为. 故答案为： 14. 已知函数，且，则___________，若恒成立，则整数的最大值为___________． 【答案】 ①. 1 ②. 1 【解析】 【分析】根据代入解方程即可得；利用导数判断的单调性，利用零点代换可得，结合对勾函数可得，根据恒成立问题分析求解即可. 【详解】因为，即， 可得，解得； 因为的定义域为，且， 又因为在上单调递增，可知在上单调递增， 且，， 则在内存在唯一零点， 即，可得，， 当，则；当时，则； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，， 可知在内单调递增，又， 则，即， 若恒成立，则，所以整数的最大值为1. 故答案为：1；1. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，，． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和可得，结合三角恒等变换可得； （2）根据同角三角关系求，进而可得，利用正弦定理可得，进而可求面积. 【小问1详解】 因为，且，可得，即， 又因为， 可得， 整理可得，所以. 【小问2详解】 由（1）得，且， 联立方程，解得，， 则， 由正弦定理得，则， 所以的面积为． 16. 欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）． （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和． 【答案】（1），，； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据欧拉函数的定义直接计算即可； （2）利用错位相减法求和，即可得出结果. 【小问1详解】 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以; 因为不超过正整数且与互素的正整数只有，所以; 所有不超过正整数的正整数有个，其中与不互素的正整数有，，，，，共个， 所以所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数为个，即. 【小问2详解】 由（1）可知， 两式相减得 . 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性； （2）令可得，换元令，原题意等价于在内恰有一个零点，分和两种情况，利用单调性判断在内的单调性，结合单调性分析零点即可. 【小问1详解】 当时，则， 因为的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 所以在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 令，可得， 因为，记，， 原题意等价于在内恰有一个零点， 因为， 当时，则，可知在单调递减， 且，所以在区间上无零点，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，当趋近于时，趋近于， 则，解得； 综上所述：的取值范围为． 18. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，结合题设可得数列为2为首项，2为公差的等差数列，进而求解即可； （2）由题意可得，进而求和即可. 【小问1详解】 由，① 当时，，即或（舍去）； 当时，，② ①②得， 得到， 则， 因为，所以， 则，即， 所以数列为2为首项，2为公差的等差数列， 则. 【小问2详解】 由， 则 . 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：因为，所以； 令，得． 要证明当时，函数存在唯一的极值点， 即证明当时，存在唯一的变号零点， 即证明当时，直线与函数的图象只有一个交点． 令，则．令，得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 因为当时，；；当时，； 当时，； 当时，．画出的大致图象如下： 所以当时，直线与函数的图象只有一个交点． 由上可知，当时，函数存在唯一的极值点． （3） 【解析】 【分析】（1）只需求得，即可得解； （2）只需证明当时，存在唯一的变号零点，分离参数，转换为函数图象交点问题即可； （3）存在，使得成立，等价于，利用导数分析函数单调性，进一步求得最值即可得解. 【小问1详解】 当时，，所以，切点为． 因为，所以切线斜率． 所以切线方程为，即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 对任意成立，等价于． 由（2）可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点． 令，则，且， 当时，，则，在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 所以当时， 有唯一的极小值． 所以，且． 所以， 存在，使得成立，等价于． 设，则． 因为， 当时，，在单调递增；当时，，在单调递减． 所以． 所以，所以实数b的取值范围是． 20. 设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的最大值； （3）已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 【答案】（1） （2） （3） 令，则， 均大于0，设， 因为，， 所以，， 显然，，若，，上式不成立， 由于在上单调递增， 故，，， 故为等差数列，首项和公差均为，故，， 故，， ， 由（2）知，， 所以，， ， 因为，所以， 所以，， 所以， 其中， 所以. 【解析】 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数的几何意义得到切线方程； （2）利用端点效应，得到，再证明时，在上恒成立，得到答案； （3）在，设，所以，，故，故为等差数列，故，故，，由（2）知，，，故，求出，所以. 【小问1详解】 ，， ， 故， 故曲线在处的切线方程为； 【小问2详解】 对任意，都有， 其中，， 令， 则，， 令， 则，其中， 令，即，解得， 下面证明时，在上恒成立， ， 令，，注意到， 则，注意到， 令，则，注意到， 令，则， 其中在上恒成立，令，， 故，故在上单调递减， 其中，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上恒成立， 故在上单调递增， 故，故在上单调递增， ，故在上单调递增， ，故， 所以，的最大值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣庄三中2026届高三10月学情诊断测试 高三数学 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1. 复数的实部是（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. “集合A、B满足：”的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，，则在上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足.当时，，则当时，的最大值为（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. 0 6. 已知圆：，直线：，点，点P在圆上运动，点Q满足（为坐标原点），则点Q到直线距离的最大值为（ ） A. B. 8 C. D. 7. 当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为复数，则下列说法中正确的有（ ） A. 若，，其中，，，，且，，则 B. 若（）为纯虚数，则 C. 若关于的方程，，的一个虚根为，则 D. 若，，则复数在复平面内对应的点位于第三象限 10. 数列前项和为，且满足则（ ） A. B. C. 数列的前项和为 D. 11. 定义：为一组数据相对于常数的“正弦方差”．若，一组数据0，相对于的“正弦方差”为，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为________． 13. 已知函数，且满足，则实数m的取值范围是______. 14. 已知函数，且，则___________，若恒成立，则整数的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知中，，． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 欧拉函数以数学家欧拉命名，其定义为：对于正整数，欧拉函数表示小于或等于的正整数中与互质的数的个数．例如（1，3，5，7与8互质）． （1）求，，的值； （2）已知数列满足，求的前项和． 17. 已知函数． （1）当时，讨论的单调性； （2）若在区间上恰有一个零点，求的取值范围. 18. 已知正项数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前n项和为，求. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）证明：当时，函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数b的取值范围． 20. 设函数. （1）求曲线在处的切线方程； （2）若对任意，都有，求的最大值； （3）已知数列满足：①；②均大于0，.设，求证：. 附：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $