第五章 一元函数的导数及其应用全章综合检测卷（提高篇）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第五章 一元函数的导数及其应用全章综合检测卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·北京石景山·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高二下·陕西西安·月考）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（5分）（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．（5分）（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．（5分）（24-25高二下·湖北·月考）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二下·重庆·期中）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．既有极大值，也有极小值 D．曲线在处的切线斜率为 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知定义在上的函数和是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上是减函数 B．的单调递增区间为和 C．恰有一个零点 D．的极大值大于极小值 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）若，则 ． 13．（5分）（24-25高二下·吉林·月考）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 14．（5分）（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·广东佛山·月考）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 16．（15分）（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 17．（15分）（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 18．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 19．（17分）（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二下·北京石景山·期末）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则逐个判断选项即可. 【解答过程】由基本初等函数的导数公式知，，， ，故ACD错误； 由求导法则及求导公数可知，，故B正确. 故选：B. 2．（5分）（24-25高二下·陕西西安·月考）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数的几何意义，结合图象即可求解. 【解答过程】根据导数的几何意义，结合图象可得， 所以. 故选：A. 3．（5分）（24-25高二下·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【解答过程】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 4．（5分）（25-26高二上·福建莆田·月考）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，构造函数，利用导数求得函数在上单调递增，结合，得到，即可求解. 【解答过程】构造函数，其中， 则，所以在上单调递增， 由，，， 因为，所以，所以. 故选：C. 5．（5分）（25-26高三上·河南·开学考试）近日，毛绒卡通玩偶拉布布（LABUBU）火爆全球.已知某款拉布布的头部形状可视为球形，某厂家利用3D打印技术制作该头部模型，一批发商向该厂家定制半径为r（单位：dm）的拉布布头部模型.已知每个这样的模型的打印成本为元，厂家可制作的模型的最大半径为，若批发商以3元/的价格收购，则该厂家售卖单个模型最多可以获利（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【解题思路】由题意可得利润，利用导数可求利润的最大值. 【解答过程】由题意可得利润， 所以，且. 令，∴， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， ∴利润在时取得最大值，此时， ∴该厂家售卖单个模型最多可以获利元. 故选：D. 6．（5分）（24-25高二下·河南郑州·期末）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】求出函数的导数，根据题意列式求出的值，结合函数的单调性，即可求得答案. 【解答过程】由，则， 因为在处取得极值，所以，解得， 故， 当或时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极大值，符合题意，故符合题意， 所以在上单调递增，在上单调递减，又，， ，故在上的最小值为2. 故选：A. 7．（5分）（24-25高二下·湖北·月考）已知曲线与恰好存在两条公切线，则实数的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设切点分别为和，再由导数求得斜率相等，得到，构造函数由导数求得参数的范围． 【解答过程】的导数的导数为， 设与曲线相切的切点为相切的切点为， 则有公共切线斜率为， 又，即有，即为，即有， 则有，即为，恰好存在两条公切线，即有两解， 令，则， 当时，递减，当时，递增， 即有处取得极大值，也为最大值，且为， 由恰好存在两条公切线可得与 有两个交点， 可得的范围是， 故选：D. 8．（5分）（24-25高二下·重庆·期中）对于函数，下列说法错误的是（    ） A．在处取得极大值 B．有两个不同的零点 C． D．若在上恒成立，则 【答案】B 【解题思路】根据函数的零点，极值，单调性，最值和导函数的关系，求出函数单调性，判断零点和极值点，和函数最大值，依次判断各选项正误. 【解答过程】已知，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，，所以A正确； 当时，，当时，且， 所以只有一个零点，且零点在之间，所以B错误； 已知，，可得， 因为在上单调递减，所以，所以，所以C正确； 当在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，取得极大值，也是最大值，所以，所以D正确. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二下·湖北十堰·期末）已知函数的导函数的大致图象如图所示.下列结论正确的是（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．既有极大值，也有极小值 D．曲线在处的切线斜率为 【答案】BCD 【解题思路】利用函数的单调性与导数的关系可判断AB选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；利用导数的几何意义可判断D选项. 【解答过程】由图可知，当时，； 当时，. 故在、上单调递减，在上单调递增，A错B对， 故函数在处取得极小值，在处取得极大值，C对， 因为，所以曲线在处的切线斜率为，D对. 故选：BCD. 10．（6分）（25-26高二上·全国·单元测试）已知定义在上的函数和是的导函数且定义域为．若为偶函数，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，先利用求导证明为奇函数，再证明其还为周期为4的函数，再通过合理赋值可一一核对各选项的对错. 【解答过程】对于A，因为为偶函数，所以，两边求导得， 所以为奇函数．因为，， 所以，则，所以， 即的周期，因为为定义域为的奇函数， 所以 ，则，故A正确． 对于B，在中，令， 可得 ，所以，故B正确． 对于C，在中，令，可得 ， 则；在 中，令， 可得，则，所以，故C错误． 对于D，在中，令，得 ①； 在中，令，得 ②； ①②两式相加得，即，故D正确． 故选：ABD． 11．（6分）（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上是减函数 B．的单调递增区间为和 C．恰有一个零点 D．的极大值大于极小值 【答案】BC 【解题思路】求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性判断A，B，再应用单调性及最值判断C，应用极值判断D. 【解答过程】由题意知的定义域为， ． 令，解得或． 所以当或时，，此时在和上单调递减， 当或时，，所以的单调递增区间为和，故A错误，B正确； 因为当时，，所以在上恰有一个零点， 当时，，所以在上无零点，综上，恰有一个零点，故C正确； 在处取得极大值为，在处取得极小值为，即的极小值大于极大值，即D错误， 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】2 【解题思路】根据导数的定义可得 ，再利用导数运算法则求得导函数，求解即可. 【解答过程】根据导数的定义可得 ， 由可得，可得， 即． 故答案为：2. 13．（5分）（24-25高二下·吉林·月考）若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】利用导数判断函数的单调性并求得极小值，然后依题意得到，计算即可. 【解答过程】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 14．（5分）（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【解答过程】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·广东佛山·月考）已知某质点的运动方程为（位移s的单位为m，时间t的单位为s）． (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)在（1）中，若，则平均速度是多少？ (3)求该质点在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)14m/s 【解题思路】（1）根据平均速度的计算公式计算； （2）利用（1）代入求解即可； （3）求平均速度在时的极限即可. 【解答过程】（1）质点在这段时间里的平均速度为 ． （2）当时，所求平均速度为． （3）∵， ∴该质点在时的瞬时速度为14m/s． 16．（15分）（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【解题思路】（1）求导后分析单调性和端点值可得； （2）求导后分、、三种情况讨论可得. 【解答过程】（1）当时，，求导得， 因，当或时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值为，又， 故在区间上的最大值为6. （2）因，令或， 则当，即时，，即在上单调递增； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上， 当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 17．（15分）（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，ABCD是边长为40cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设. (1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm)最大，试问x应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积V(cm)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）设包装盒的底面边长为，高为，将、用表示，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值； （2）求得关于的函数表达式，利用导数法可求得的最大值及其对应的值，进而代入计算得出高及底面边长的比值. 【解答过程】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 则由题意可得，，，其中， 所以， 因此，当时，取得最大值； （2）根据题意，由（1）有， 所以， 由得，（舍）或， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以当时，函数取得极大值，也是最大值； 此时包装盒的高与底面边长的比值. 18．（17分）（24-25高二下·福建福州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1)； (2)当时，函数无极值；当时，函数的极小值，无极大值. 【解题思路】（1）求出，，写出切线方程； （2）由求极值步骤求解即可. 【解答过程】（1）当时，则，， 可得，，即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为 ，即. （2）因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值； 若，令，解得； 令，解得. 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值. 综上可知：当时，函数无极值； 当时，函数的极小值，无极大值. 19．（17分）（25-26高三上·河北邯郸·期中）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论在上的单调性； (3)若，求证：当时，． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义即可求得答案； （2）利用导数与函数单调性的关系即可判断在上的单调性； （3）设，结合（2）分类讨论，可判断该函数的单调性，即可证明不等式. 【解答过程】（1）当时，，则， 所以． 又，故所求切线方程为． （2），，， ①当时，，在上单调递增． ②当时，令，解得． 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故时，在上单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增． （3）证明：设． ，由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以， 即在上单调递增，所以，满足题意； ②当时， 当时，单调递减； 当时，单调递增， ， ，，即， 在上单调递增，，满足题意， 综上可得，当且时，． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $