第四章 数列全章综合检测卷（提高篇）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第四章 数列全章综合检测卷（提高篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·河北·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据数列所给项，找到数列中项与项数的规律即可得解. 【解答过程】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用等差数列的通项公式得、等比中项的性质及等比数列通项公式得，即可求. 【解答过程】若1，，，，4的公比为，则， 由题设，，则（负值舍）， 所以. 故选：A. 3．（5分）（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由数学归纳法的定义可得结论. 【解答过程】由数学归纳法证明时，结论成立， 即需证明成立， 即必须证得右边为. 故选C. 4．（5分）（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的性质及求和公式得解. 【解答过程】根据等差中项的性质， 可得， 再由等差数列的前n项和公式可得， 所以 ， 故选：D. 5．（5分）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【解题思路】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【解答过程】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 6．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【解题思路】设数列的最大项为,由求解. 【解答过程】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B. 7．（5分）（25-26高二上·福建宁德·月考）各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 【答案】B 【解题思路】当时，，进而结合题意得即可判断B；再结合时得，最后根据等差数列通项公式与前项和公式计算判断CD. 【解答过程】因为①， 所以当时，②， 因为等差数列的各项均不为零 所以，得，即， 所以公差，故B正确； 当时，，即 所以，整理得，解得或， 当时，，，满足条件， 当时，，与条件矛盾. 所以首项，故A错误； 所以等差数列的通项公式为，故C错误； 所以，故D错误. 故选：B. 8．（5分）（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】根据题意先求出等比数列的通项公式，从而得到的表达式，将问题转化为求取最大值时对应的的问题即可. 【解答过程】因为等比数列的首项为65，公比为， 所以， 因为对于任意，都有成立， 所以的最大值为. 当取最大值时，，且. 令，即，而， 所以满足的最大整数为6，即， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在时取得最大值，即， 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 【答案】BD 【解题思路】由数列的定义可判断ABC，由求解可判断D. 【解答过程】对于A，由数列概念，显然不是同一数列，错误， 对于B，由，即数列为递减数列，B正确， 对于C，由观察法可知，C错误， 对于D，由，解得，D正确， 故选：BD. 10．（6分）（25-26高二上·浙江·月考）已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【解题思路】根据，通过得出，判断A，通过得出，进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为，判断C，借助等差数列性质，将转化为，结合，得出，判断D. 【解答过程】对于A选项，因为，所以，故，A正确， 对于B选项，因为，所以，即，又， 所以，B正确， 对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0， 且当时，，当时，， 所以的最大值为，C正确， 对于D选项，，所以D错. 故选：ABC. 11．（6分）（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 【答案】BC 【解题思路】对于A，先求出，利用已知等式求出当时的值，再将已知等式和这个等式相减，从而得到，验证满足 ，得到是等比数列；对于B，利用等比数列的前项和公式求出；对于C，求出，得到为等比数列，利用等比数列的前项和公式求出的前100项和；对于D，利用分组求和法求出数列的前10项和． 【解答过程】对于A，当时，，解得， 当时，， 所以，即，当时也满足该式， 故，是等比数列，不是等差数列，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以为等比数列， 则其前100项和为，故C正确； 对于D，数列的前10项和为， 由于，故选项D错误． 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·陕西延安·月考）设数列满足，且，则 ． 【答案】 【解题思路】根据递推公式，依次求出数列各项，判断数列周期，进而求出结果. 【解答过程】由题意得，，，，，以此类推， 可知数列周期为，即，所以. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为 . 【答案】 【解题思路】根据等差数列的前项和的性质和项的符号分析即可. 【解答过程】在等差数列中，， 所以由，得，则， 由，得，则， 由此可知，，说明等差数列的前项为负，第项开始为正， 因此在时取得最小值. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 【答案】4 【解题思路】设等比数列的公比为，根据等比数列的性质，得到，结合，求得，再由，列出方程，求得，进而求得的值. 【解答过程】设等比数列的公比为， 由等比数列的性质，可得， 又由，所以是方程的两个根，解方程得或， 因为等比数列为递增数列，所以， 又因为，解得， 因为，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【解答过程】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为 ． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为 ． 16．（15分）（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用数学归纳法的证明步骤，结合条件，即可求解. 【解答过程】（1）时，，能被整除， （2）假设时，能被36整除， 当时，， ， 因为是偶数，所以能被整除， 又因为能被整除，所以能被整除， 由（1）（2）知，对一切，能被整除． 17．（15分）（25-26高三上·广西桂林·月考）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用等差数列基本量的计算可求数列的通项公式； （2）由（1）得，进而利用裂项相消法可求，可证结论. 【解答过程】（1）设等差数列的首项为，公差为， 由题意得，解得：， 所以. （2）由（1）得， 所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】(1) (2)是等比数列，理由见解析 (3)至少经过年 【解题思路】（1）根据题意可得出，化简可得与的关系； （2）利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论； （3）求出数列的通项公式，然后解不等式，即可得出结论. 【解答过程】（1）由题意时， ， 所以，. （2）数列是等比数列．理由如下： 由（1）得， 设，可得，所以，，可得， 所以，，且， 因此，数列是首项为，公比为的等比数列． （3）由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，，即． 令，得， 两边取常用对数，得， 所以， ，所以，， 所以，至少经过年，绿洲面积可超过． 19．（17分）（25-26高三上·黑龙江·月考）已知等差数列的前n项和为，，，是等比数列，且，. (1)求，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的通项公式，代入计算，可得的值，进而可得的通项公式，根据等比数列的通项公式，代入计算，可得的值，进而可得的通项公式. （2）由（1）得，代入化简，可得，根据裂项相消求和法，可得，根据n的范围，分析即可得答案. 【解答过程】（1）因为为等差数列，且，，设公差为d， 所以，解得， 所以. 又，，设公比为q， 所以，解得， 所以. （2）由（1）得，所以， 所以， 因为不等式对任意正整数n恒成立， 所以，即， 因为，所以，所以， 则的取值范围是. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列全章综合检测卷（提高篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·河北·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）（25-26高二上·陕西延安·月考）若1，，，4成等差数列；1，，，，4成等比数列，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二下·四川绵阳·月考）用数学归纳法证明“”时，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高二上·河北·月考）已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（5分）（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 6．（5分）（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 7．（5分）（25-26高二上·福建宁德·月考）各项均不为零的等差数列对任意的正整数满足：，为数列的前项和，则下面正确的是（   ） A．首项 B．公差 C． D． 8．（5分）（25-26高二上·浙江宁波·月考）设等比数列的首项为65，公比为，记为数列的前项积，若对于任意，都有成立，则正整数（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列与数列是同一数列 B．数列是递减数列 C．数列的一个通项公式是 D．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 10．（6分）（25-26高二上·浙江·月考）已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最大值为 D． 11．（6分）（24-25高二下·湖北武汉·期中）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（   ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高二上·陕西延安·月考）设数列满足，且，则 ． 13．（5分）（25-26高二上·天津·月考）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为 . 14．（5分）（25-26高二上·湖南·月考）已知是递增的等比数列，若，且的前项和，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（2025高二·全国·专题练习）写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 16．（15分）（24-25高二下·全国·课后作业）用数学归纳法证明：能被整除． 17．（15分）（25-26高三上·广西桂林·月考）已知是等差数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)若，记数列的前项和为，证明. 18．（17分）（24-25高二上·全国·课后作业）“绿水青山就是金山银山．”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． (1)求与的关系； (2)判断是不是等比数列，并说明理由； (3)至少经过几年，绿洲面积可超过？ 19．（17分）（25-26高三上·黑龙江·月考）已知等差数列的前n项和为，，，是等比数列，且，. (1)求，的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若不等式对任意正整数n恒成立，求的取值范围. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $