第四章 数列全章综合检测卷（基础篇）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第四章 数列全章综合检测卷（基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·广西·月考）已知数列，则是这个数列的第（    ）项 A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【解题思路】由题可得数列通项公式，据此可得答案. 【解答过程】由题可得数列通项公式为：. 则令. 故选：A. 2．（5分）（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的性质求得正确答案. 【解答过程】由等差数列的性质可知， 则，故. 故选：D. 3．（5分）（25-26高二上·重庆·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【解题思路】根据数列递推公式，依次计算数列的项，判断数列的周期，进而求出结果. 【解答过程】由题意可得，，， 所以数列是周期为3的周期数列，即， 则. 故选：D. 4．（5分）（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 【答案】B 【解题思路】由等比数列的性质可得的值，结合以及为递增数列可得和的值，从而可得公比. 【解答过程】由，，解得或， 因为是递增数列，所以，则，又为递增的等比数列，所以. 故选：B. 5．（5分）（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据等差数列的通项公式计算即可. 【解答过程】由，解得. 故选：D. 6．（5分）（25-26高二上·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用等差数列的等差中项的定义及等比数列的通项公式计算即可． 【解答过程】设等比数列 的公比为，则， 故， 由成等差数列，得， 即由于等比数列 中，， 故可得，解得：或， 由于，故即得， 故． 故选：D. 7．（5分）（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【解答过程】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： . 故选：D． 8．（5分）（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据等差数列的性质，可以判断数列的特点，确定何时最大. 【解答过程】因为数列为等差数列， 因为 所以 ； 由 . 所以. 所以等差数列是首项为正数的递减数列，且前6项为正，从第7项开始为负数. 所以最大. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】根据规律写出数列的通项公式判断AB，结合选项求，推出矛盾判断CD. 【解答过程】对于选项A，B，根据题意，数列， 即， 故一个通项公式为或，选项A，B正确， 对于选项C，若，则，矛盾，C错误， 对于选项D，若，则，矛盾，D错误， 故选：AB. 10．（6分）（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列定义及性质逐项分析判断. 【解答过程】等差数列的公差为，， 对于A，，A正确； 对于B，的符号无法确定，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，，则，D正确. 故选：AD. 11．（6分）（2025·河南·模拟预测）若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（   ） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050 【答案】ABD 【解题思路】由等比数列通项公式，确定，再结合等比数列下标和的性质逐个判断即可. 【解答过程】因为，所以， 所以，又， 所以，所以，A对， 由，，可知单调递增， 又，所以， 所以，B对， 当时，，当时，， 所以最小，故C错， 因为为正项递增数列，且， 所以使成立的最小正整数的值是4050，D对， 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【解题思路】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【解答过程】，， ，即， ， 可得， 经检验，满足条件，则. 故答案为：. 13．（5分）（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 【答案】9 【解题思路】根据等比数列的片段和的性质及等比中项求解即可. 【解答过程】由已知，显然公比， 所以成等比数列， 所以，即，解得或者， 因为，所以舍去， 故答案为：9. 14．（5分）（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 【答案】1 【解题思路】利用等差数列下标和的性质及等差数列前n项和公式有，结合已知求值即可. 【解答过程】由，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·全国·随堂练习）根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式： (1)，，，，； (2)，，，，； (3)，，，，. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）观察数列的前项的特征，写出符合条件的通项公式即得； （2）观察数列的前项的特征，写出符合条件的通项公式即得； （3）观察数列的前项的特征，写出符合条件的通项公式即得. 【解答过程】（1）因为，，，， 所以符合条件的一个通项公式是. （2）因为，，，， 所以符合条件的一个通项公式是. （3）这个数列的前项可写为，，，， 所以它的一个通项公式为. 16．（15分）（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2) ． 【解题思路】（1）根据等差数列前项和公式求解即可. （2）求出等差数列前项和，结合二次函数的性质即可求出最小值. 【解答过程】（1）设的公差为，由题意得，即， 又，所以，故数列的公差． （2）由（1）得． 所以当时，取得最小值，最小值为． 因此，最小值为. 17．（15分）（2025高三·全国·专题练习）已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 【答案】证明见解析 【解题思路】先分析得到当或时，原不等式中等号成立；再利用数学归纳法证明当，且，时，，即可完成证明. 【解答过程】当或时，原不等式中等号显然成立． 下面用数学归纳法证明： 当，且，时，． （i）当时，左边，右边， 因为，所以，即左边右边， 成立； （ii）假设当时，不等式成立，即， 则当时，因为，所以． 又因为，，所以． 于是在不等式两边同乘以得 ， 所以， 即当时，不等式也成立． 综上所述，所证不等式成立． 18．（17分）（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【解题思路】（1）根据条件可得，利用等比数列的定义推理得证，再求出等比数列通项公式. （2）由（1）得，再利用错位相减法求和即得. 【解答过程】（1）由，得，而， 所以是首项为5，公比为5的等比数列，则，即. （2）由（1）得， 则， 于是， 两式相减得 ，则， 所以数列前项的和. 19．（17分）（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【解题思路】（1）设的公差为，的公比为，根据等比中项的性质和等差数列的通项公式可求出，从而可得和的通项公式； （2）由分组求和得到并化简即可证明. 【解答过程】（1）设的公差为，的公比为. 由题意得，得，得， 解得（舍去）. 故， ，，所以. （2）证明：由题意得， 所以 . 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列全章综合检测卷（基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高二上·广西·月考）已知数列，则是这个数列的第（    ）项 A．13 B．14 C．15 D．16 2．（5分）（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，则（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（5分）（25-26高二上·重庆·月考）已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．3 4．（5分）（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知递增的等比数列满足，，则的公比（   ） A．6 B．3 C．2 D． 5．（5分）（25-26高二上·天津河北·月考）等差数列中,若，则公差的值为（   ） A． B．2 C．3 D．4 6．（5分）（25-26高二上·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 7．（5分）（25-26高二上·陕西咸阳·月考）用数学归纳法证明的过程中，时的左边比的左边增加了的量为（   ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高二上·陕西西安·期末）设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）数列的一个通项公式为（   ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高二上·安徽·月考）记等差数列的公差为，已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）（2025·河南·模拟预测）若公比为的等比数列的前项积为，，，，则（   ） A． B． C．中最小 D．使成立的最小正整数的值是4050 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 13．（5分）（25-26高二上·福建漳州·月考）已知是等比数列的前项和，且，，则 ． 14．（5分）（25-26高二上·江苏泰州·月考）已知等差数列，前项和分别为和，若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二下·全国·随堂练习）根据所给数列的前几项写出数列的一个通项公式： (1)，，，，； (2)，，，，； (3)，，，，. 16．（15分）（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求公差； (2)求，并求的最小值． 17．（15分）（2025高三·全国·专题练习）已知为正整数，用数学归纳法证明：当时，． 18．（17分）（25-26高二上·广西·月考）已知数列满足. (1)证明是等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，求数列前项的和. 19．（17分）（25-26高二上·湖南衡阳·月考）已知公差不为0的等差数列的首项为3，等比数列的前三项为，，. (1)求，的通项公式； (2)若数列的前n项和为，证明：. 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $