第05讲 导数的运算（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第05讲 导数的运算 【人教A版】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二下·重庆·月考）下列导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·广东中山·月考）设，则＝（   ） A．0 B．e C．1 D．－e 【变式1.2】（24-25高二下·北京·期中）下列函数中求导错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1.3】（24-25高二下·辽宁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2.1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【变式2.2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2.3】（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【变式3.2】（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式3.3】（25-26高二上·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【变式4.3】（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·月考）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数与直线相切，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．e D． 【变式5.2】（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 【变式5.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为，则 . 【题型6 导函数图象的判断】 【例6】（24-25高二·全国·单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式6.2】（24-25高二下·山东济宁·期中）已知为的导函数，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二下·四川内江·月考）已知函数，则的导函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例7】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【变式7.1】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式7.2】（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【变式7.3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【题型8 导数运算的新定义问题】 【例8】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【变式8.1】（24-25高二下·广东江门·月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式8.3】（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2025高二下·山东青岛·竞赛）若直线是曲线的切线，则（   ） A． B． C．3 D．4 7．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 8．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 13．（25-26高二上·福建莆田·期中）函数在处的切线方程为 ． 14．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与曲线相切，则 . 四、解答题 15．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25高二下·四川达州·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切，求的值. 17．（24-25高二下·山东淄博·月考）已知函数，且． (1)求的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 18．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 19．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知． (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 导数的运算 【人教A版】 模块一 导数的运算 1．基本初等函数的导数公式 函数 导数 （c为常数） 2．导数的运算法则 符号表达 文字叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差) 两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数 两个函数的商的导数，等于分子的导数乘分母，减去分子乘分母的导数，再除以分母的平方 3．复合函数的导数 (1)复合函数的定义 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)). (2)复合函数的求导法则 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为，即y对x的导数等于y 对u的导数与u对x的导数的乘积. 4．导数的运算的方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【题型1 基本初等函数的导数】 【例1】（24-25高二下·重庆·月考）下列导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据求导公式直接得解. 【解答过程】A选项：，A选项错误； B选项：，B选项错误； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：D. 【变式1.1】（24-25高二下·广东中山·月考）设，则＝（   ） A．0 B．e C．1 D．－e 【答案】B 【解题思路】根据基本初等函数的导数公式，即可求得答案. 【解答过程】由，得，故， 故选：B. 【变式1.2】（24-25高二下·北京·期中）下列函数中求导错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案. 【解答过程】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B. 【变式1.3】（24-25高二下·辽宁·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数运算公式求导数，逐项判断即可. 【解答过程】因为，所以，A错误； 因为，，且，所以，B正确； 因为， 故C错误， 因为，D错误， 故选：B. 【题型2 导数的四则运算法则】 【例2】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数的导函数为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出的值，进而求出. 【解答过程】因为，所以，令， 则，，令， 则． 故选：A. 【变式2.1】（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知函数在上的导函数为，且满足，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【解题思路】求导，通过赋值即可求解； 【解答过程】由， 求导可得：， 令，可得， 所以， 故选：A. 【变式2.2】（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】据函数乘法求导公式进行求导即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 【变式2.3】（24-25高二上·山西阳泉·期末）当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解题思路】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【解答过程】由，即，即， 所以是常数， 当时，，所以， 当时，，得. 故选：D. 【题型3 简单复合函数的导数】 【例3】（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】运用复合函数的求导规则计算即可. 【解答过程】． 故选：D. 【变式3.1】（24-25高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数，的定义域为，是的导数，且，，若为偶函数，则（   ） A．80 B．75 C．70 D．65 【答案】B 【解题思路】根据偶函数的定义结合导数可得，结合题意可得，，进而可得，且，即可得结果. 【解答过程】因为为偶函数，则，求导可得， 因为，， 则，可得， 且，则，可得， 即，可得，可知8为的一个周期， 且， 对于，， 令，可得，，可得， 所以. 故选：B. 【变式3.2】（2025高二·全国·专题练习）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】（1）由导数的加减法公式结合复合函数的求导法则运算可得解； （2）由导数的乘法公式结合复合函数的导数运算可得解； （3）由导数的除法公式结合复合函数的求导法则运算可得解； （4）由导数的乘法公式结合复合函数的导数运算可得解. 【解答过程】（1）. （2）. （3）. （4）. 【变式3.3】（25-26高二上·全国·单元测试）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) ． (4) 【解题思路】（1）根据导函数的基本公式和加法法则求解即可． （2）根据导函数的基本公式和复合函数求导法则求解即可. （3）方法一：根据乘法法则求解即可；方法二：先化简函数，再根据导数运算法则求解即可. （4）结合导数运算法则，根据复合函数求导法则求解即可. 【解答过程】（1）由得． （2） ． （3）方法一： ． 方法二：因为 ， 所以 ． （4）令， 则 ， 所以 ． 【题型4 求曲线的切线方程（斜率）】 【例4】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【解答过程】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 【变式4.1】（24-25高二下·重庆渝中·期中）过点作函数图像的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先设置切点的坐标，然后对函数进行求导，求出该函数在该点的斜率，然后将点代入切线方程，求出参数，进而得到切线方程的表达式. 【解答过程】设切点为， 对函数求导可得， 则切点处的斜率为，所以切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，则所求切线方程为. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高二上·重庆·期末）已知曲线， (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程. 【解答过程】（1）解：由函数，可得，可得， 即曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）解：因为点不在曲线上， 设切点为，所以， 所以切线方程为， 又因为在直线上，所以， 即，解得或. 当切点为时，切线方程为； 当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为， 综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或. 【变式4.3】（24-25高二下·福建泉州·月考）已知函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)若曲线，求曲线过点的切线方程． 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）求导结合曲线在点处的切线方程为，可得，结合，可求； （2）设曲线与过点的切线相切于点，求得切线方程为，利用点在切线上，可得，求解即可求切线方程. 【解答过程】（1），，由曲线在点处的切线方程为， 可得，即，且切点为， 所以，解得，即有，； （2）曲线即为，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率，所以切线方程为， 即，因为点在切线上，所以， 解得或，故所求的切线方程为或． 【题型5 已知切线（斜率）求参数】 【例5】（24-25高二下·广东潮州·月考）设直线是曲线的一条切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设出切点，根据在切点处的导数即为切线的斜率以及切点既在切线上又在曲线上列等式，即可求的值. 【解答过程】设切点为，，直线的斜率. 则，得，. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高三上·江苏淮安·开学考试）函数与直线相切，则实数a的值为（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【解题思路】设切点，再根据导数的几何意义列式求解即可. 【解答过程】设函数与直线相切于，直线斜率为，， 故，则，故， 即，解得，故. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高二下·广东揭阳·期末）已知曲线在点处的切线与曲线相切，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】由题意先求出切线方程，然后设曲线上的切点为，再由斜率及切线方程得出相应的方程组，从而可求解. 【解答过程】由题可得，所以在处的切线斜率， 所以切线方程为，即， 设曲线上的切点为， 则，在处的切线斜率为，且， 解得，所以，则，所以. 故答案为：. 【变式5.3】（24-25高二下·湖北·期中）已知函数在点处的切线方程为，则 . 【答案】3 【解题思路】根据题意，利用导数的几何意义，列出方程组，求得和的值，即可求解. 【解答过程】∵，∴，. ∵函数在点处的切线方程为， ∴，， 解得，，∴. 故答案：. 【题型6 导函数图象的判断】 【例6】（24-25高二·全国·单元测试）函数的导函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】首先对函数进行求导，然后判断导函数的奇偶性，最后根据图像特征，通过赋值法判断的符号即可求解. 【解答过程】∵，∴， ∴，∴为奇函数， 从而的图像在区间上关于原点对称，由此可排除选项A、B， 又∵，排除D，从而答案为C. 故选：C. 【变式6.1】（25-26高二上·全国·单元测试）已知为的导函数，则的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】先化简函数表达式，然后对函数进行求导，再分析其图象特征（如奇偶性、关键点、趋势等），结合选项判断正确图象. 【解答过程】因为， 所以， 又，      则为奇函数，排除B，D， 当时，，排除C. 故选:A． 【变式6.2】（24-25高二下·山东济宁·期中）已知为的导函数，则的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导可得，则为奇函数且，结合选项即可求解. 【解答过程】由题意知，，定义域为， 又，所以为奇函数，排除BD； 又，排除C； 结合选项，A符合题意. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高二下·四川内江·月考）已知函数，则的导函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】求出函数的导函数，再探讨的性质，结合性质及取时的函数值即可判断作答. 【解答过程】函数定义域为R，求导得，显然， 因此，函数是R上奇函数，图象关于原点对称，选项C，D不满足， 又，选项B不满足，选项A符合题意. 故选：A. 【题型7 两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题】 【例7】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【解答过程】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】求导，与直线垂直，求出的值. 【解答过程】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D. 【变式7.2】（24-25高二下·江苏常州·月考）已知函数. (1)求曲线过点处的切线； (2)若曲线在点处的切线与曲线在处的切线平行，求的值. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）利用导数几何意义求过一点的切线方程； （2）利用导数几何意义，由切线平行列方程求参数值. 【解答过程】（1）由导数公式得， 设切点坐标为，设切线方程为： 由题意可得： ，       所以或，      从而切线方程为或. （2）由(1)可得：曲线在点处的切线方程为, 由，可得曲线在处的切线斜率为， 由题意可得，  从而，    此时切点坐标为，曲线在处的切线方程为， 即，故符合题意，所以. 【变式7.3】（24-25高二下·江西·期中）已知函数，. (1)当时，求曲线在处的切线方程. (2)若，是否存在直线与曲线和都相切？若存在，求出直线的方程（若直线的方程含参数，则用表示）；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，或 【解题思路】（1）根据导数的几何意义，先求导数得到切线的斜率，利用点斜式可得方程； （2）先求两个函数的导数，利用公切线建立等量关系，求解方程可得答案. 【解答过程】（1）当时，，，. 曲线在处的切线方程为，即. （2）设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，，. 曲线在点A处的切线为， 与曲线相切于点， 则且（*）， 由，则， 代入（*）得， 解得或. 当时，直线.当时，，直线. 故存在直线与曲线和都相切，直线的方程为或. 【题型8 导数运算的新定义问题】 【例8】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】求出，，则，，代入曲率公式求解即可． 【解答过程】令，则，． 因为，， 所以曲线在点处的曲率为 ． 故选：B. 【变式8.1】（24-25高二下·广东江门·月考）给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记.若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上不是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据凸函数的定义，分别对各选项求二阶导，然后判断是否小于0，从而得到符合题意选项． 【解答过程】对于A， 当时，恒成立，故A为凸函数； 对于B，对于，，， 当时，恒成立，故B为凸函数； 对于C，对于，，， 当时，恒成立，故C不是凸函数. 对于D，由，得，所以， 因为，所以恒成立，故D为凸函数； 故选：C. 【变式8.2】（24-25高二下·宁夏银川·期末）对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，经过探究发现任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数，则函数的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导，即可根据拐点定义求解. 【解答过程】由，得，进而， 令，故， 所以，故对称中心为 故选：B. 【变式8.3】（24-25高二下·广东东莞·月考）定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列四个函数：①；②；③；④，则存在“自足点”的函数共有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】求出各函数的导函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项. 【解答过程】对于①，则，由， 即，，所以无实数根， 因此不存在“自足点”，故①错误； 对于②，，则，由， 可得，其中，令，显然在定义域上单调递增， 又，， 所以函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，故②正确； 对于③，则，其中， 因为，故函数存在“自足点”，故③正确； 对于④，则， 由，可得， 因为，， 所以， 所以方程无实解，故④错误. 故存在“自足点”的函数共有个. 故选：B. 一、单选题 1．（25-26高二上·湖南长沙·月考）下列导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由导数的计算公式逐一判断即可. 【解答过程】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高二下·甘肃临夏·期末）已知，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对函数求导，根据题中条件代入计算得到答案. 【解答过程】， ，解得. 故选：B. 3．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求导函数即可求出，再利用点斜式即可求出切线方程. 【解答过程】由得， 则在点处的切线斜率为， 又，则切线方程为，即. 故选：B. 4．（24-25高二下·四川绵阳·期末）已知为函数的导函数，则的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求导得，利用奇偶性即可判断A，计算即可判断D，当时，判断即可判断C，进而求解. 【解答过程】由题意有， 又，所以为奇函数，排除A； 又，排除D； 由，排除C，故B正确. 故选：B. 5．（24-25高二下·广东中山·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【解答过程】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C. 6．（2025高二下·山东青岛·竞赛）若直线是曲线的切线，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】设出切点坐标，根据切点在切线和曲线上，结合导数的几何意义列方程组求解可得. 【解答过程】设直线与曲线相切于点， 由题知，，直线的斜率为1， 所以，解得. 故选：B. 7．（24-25高二下·广东·期中）已知函数及其导函数的定义域均为R，记且，为偶函数，则（   ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】D 【解题思路】首先根据为偶函数和得到的一些等式关系，再通过对已知等式求导进一步推导的性质，如周期性等，然后求出的值，最后根据的奇偶性和的周期性求出的值，进而得出结果. 【解答过程】解：因为为偶函数，，所以， 对两边同时求导，得， 所以有 ，所以函数的周期为8， 在中，令，所以， 因此，因为为偶函数， 所以有（1）， （2）， 由（1），（2）可得： ，所以， 故选：D． 8．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知直线是曲线与曲线的公共切线，则实数（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解题思路】求两曲线的公切线方程，确定的值. 【解答过程】取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 取点为曲线上一点，因为， 所以曲线在处的切线为：， 即. 由公切线的概念可知： . 所以两曲线的公切线为：. 故. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏盐城·期中）下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【解答过程】选项A∶，故选项A错误； 选项B∶，故选项B正确； 选项C∶，故选项C正确； 选项D∶，故选项D正确． 故选：BCD. 10．（24-25高二下·广西南宁·期中）已知直线l经过点，且与曲线相切，则直线l的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】求导，设切点，由导数几何意义结合点斜式求出切线方程，再由切线过点求出参数即可求解. 【解答过程】由题意的导数为， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，又切线过点， 所以或或， 所以代入切线方程整理得切线方程为或或. 故选：ACD. 11．（24-25高二下·河北承德·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】由为奇函数得，赋值即可判断A；由为偶函数得，结合可得，求导可得即可判断B；由得，求导可得，继而得到的周期性，即可判断CD. 【解答过程】因为为奇函数， 所以， 则，即，故A正确； ，即 又为偶函数，所以， 两边求导，即，故B错误； 又，即，则， 即，， 又，所以，即，故C正确； 由，，所以，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高二上·江苏南通·月考）已知函数，则 . 【答案】 【解题思路】先利用导数的运算法则求得，再代入计算求解. 【解答过程】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 13．（25-26高二上·福建莆田·期中）函数在处的切线方程为 ． 【答案】 【解题思路】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【解答过程】函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 14．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）若直线与曲线相切，则 . 【答案】 【解题思路】对进行求导得，结合导数的几何意义和切点同时在直线和曲线上列方程，即可求出答案. 【解答过程】由得， 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·内蒙古包头·月考）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【解题思路】根据导数的运算、复合函数的导数等知识求解即可． 【解答过程】（1）对求导可得：； （2）对求导可得：； （3）对求导可得：； （4）对求导可得：. 16．（24-25高二下·四川达州·月考）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若直线与曲线相切，求的值. 【答案】(1)； (2)或3 【解题思路】（1）先求出导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程； （2）先求出导函数等于斜率，点在函数及切线上列式计算求解. 【解答过程】（1），则， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得，即. （2）设直线与曲线相切于点， 则 将上式代入下式，得，即， 解得或1，故或3. 17．（24-25高二下·山东淄博·月考）已知函数，且． (1)求的值； (2)求函数的图象在点处的切线方程． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求导即可代入求解， （2）根据导数求解斜率，即可由点斜式求解. 【解答过程】（1）由，得， 又， 所以，解得. （2）由（1）知，， ∴，即切点为， 又，， ∴切线的斜率为， 故函数的图象在点处的切线方程为：， 即. 18．（25-26高二上·江苏盐城·期中）（1）求曲线在处切线的方程； （2）已知曲线与曲线在它们的公共点处的切线互相垂直，求k的值. 【答案】（1）；（2）． 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求解； （2）设公共点为，由求得后，再由求得． 【解答过程】（1），则， 时，，， 所求切线方程为，即； （2），，又， 设公共点为，由题意，解得，则， 从而，所以． 19．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知． (1)求并写出的表达式； (2)记，若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）求出导函数后建立的方程求解，即可求解函数解析式. （2）先根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，再利用导数的几何意义求出的切点坐标，代入的解析式求解即可. 【解答过程】（1）由，求导可得 由，解得，则. （2），求导可得， 由得，故在处的切线斜率， 所以在处的切线方程为，化简可得， 令，解得，将其代入切线方程可得， 代入得，所以得，解得. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $