第04讲 导数的概念及其意义（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）（寒假预习讲义）-2026年高二数学寒假预科讲义（人教A版）

第04讲 导数的概念及其意义 【人教A版】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高二下·福建厦门·月考）如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由平均速度的定义求解即可. 【解答过程】由题意可得平均速度是. 故选：A. 【变式1.1】（24-25高二下·江苏无锡·月考）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据导数的物理意义直接求解即可. 【解答过程】 ， 当时，， 即该物体在时的瞬时速度是. 故选：D. 【变式1.2】（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【答案】C 【解题思路】由瞬时变化率的物理意义判断． 【解答过程】是物体在这一时刻的瞬时速度，是物体从到这段时间内的平均速度的极限值，即是是物体在这一时刻的瞬时速度. 故选：C. 【变式1.3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【答案】C 【解题思路】利用平均速度、瞬时速度的定义逐项判断即可. 【解答过程】在0到范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误； 因为甲对应的曲线在处的切线的斜率大于乙对应的曲线在处的切线的斜率 故在处，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故C正确，D错误. 故选：C. 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率公式计算可得. 【解答过程】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A. 【变式2.1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【解答过程】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 【变式2.2】（24-25高二下·广西南宁·期中）已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【答案】B 【解题思路】由导数的定义先求，由求出，进而得代入即可求解. 【解答过程】由有，当时，，即，所以，解得或（舍去）， 当时，，即当时，液体上升高度的瞬时变化率为， 故选：B. 【变式2.3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【答案】C 【解题思路】结合图中数据分析一一判断各选项即可. 【解答过程】对于A，由图可知，甲地的气温日较差明显小于乙地气温日较差， 所以甲地的绿化好于乙地，故A正确； 对于B，由图可知，甲乙两地的平均变化率为正数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率，故B正确； 对于C，由图可知，甲乙两地的平均变化率为负数，且乙地的变化趋势更大， 所以甲地气温的平均变化率大于乙地气温的平均变化率，故C错误； 对于D，由图可知，存在一个时刻，使得甲、乙两地气温的瞬时变化率相同，故D正确. 故选：C. 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解题思路】将题给的极限表达式转化为导数的定义式，即可得解. 【解答过程】因为，即， 即，则. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义可得结果. 【解答过程】因为函数在处可导，则 . 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【解答过程】，所以， 故选：C. 【变式3.3】（24-25高二下·安徽亳州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念转化求解即可. 【解答过程】因为， 所以. 故选：C. 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据导数的几何意义结合图象直接判断即可. 【解答过程】由图可知：，所以A，C，D均错，B正确. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据函数图象，以及导数的几何意义，逐项判断即可. 【解答过程】由导数的几何意义可知，，由图可知，，所以，故A成立； 由图可知，，，但不确定与的大小关系，故B不一定成立； 由图可知，，故C成立； 由图可知，函数在区间上单调递增，且增长速度越来越快，所以，故D成立. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二下·重庆·月考）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【解答过程】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 【变式4.3】（2025高二·全国·专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由图象的变化趋势，结合导数的几何意义有，即可得结果. 【解答过程】由图知：，即. 故选：A. 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】利用导数定义以及导数的几何意义计算即可. 【解答过程】易知曲线在点处的切线斜率为， 所以. 故选：D. 【变式5.1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【解题思路】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由导数的几何意义，可知曲线在点处的切线斜率为， 根据导数概念，， 又， 所以. 故选：C. 【变式5.2】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解题思路】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【解答过程】由有， 所以. 故选：A． 【变式5.3】（24-25高二下·北京·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用导数的定义及几何意义求解即可. 【解答过程】由题意得，则， 得到曲线在点处的切线的斜率是3，故B正确. 故选：B. 【题型6 求曲线的切线方程】 【例6】（24-25高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用导数的几何意义求得切线的斜率，再由点斜式求得切线方程. 【解答过程】，所以，即， 故曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：C. 【变式6.1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据导数的定义和几何意义就可以求出切线斜率，然后即可得切线方程. 【解答过程】由可得：，即， 根据导数的定义可知：， 又根据导数的几何意义可知：在点处的切线斜率， 所以过点处的切线方程为：，即， 故选：A. 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据导数的定义得出导数的几何意义得出切点的斜率； （2）先求导函数的函数值得出斜率再点斜式求出切线方程. 【解答过程】（1）由导数的几何意义可知曲线上任意一点处的切线斜率为， 则由导数的定义，可得 ． 即曲线上任意一点处的切线斜率为． （2），由（1）知，曲线在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即． 【变式6.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1) (2)和. 【解题思路】（1）“在”某点处的切线方程，求导，代入点斜式即可求得； （2）“过”某点处的切线方程，设切点，结合切点在曲线上，切点在切线上，联立方程组即可求得. 【解答过程】（1） ， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设切点坐标为，由（1）知切线的斜率为， 故切线方程为， 因为切线过点，所以， 即，所以或， 故过点且与曲线相切的直线有两条， 其方程分别是和， 即和. 一、单选题 1．（24-25高二下·四川南充·期末）若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据导数的定义求解即可. 【解答过程】根据题意，， 则. 故选：D. 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平均变化率的定义及计算公式可得解. 【解答过程】函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 函数在上的平均变化率为； 故选：A. 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据导数的定义，对式子变形，求出答案. 【解答过程】由题意知：，即， 故选：A． 4．（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【解题思路】由切线方程即可求解. 【解答过程】由点在切线上，可得：， 由切线斜率可知：， 所以， 故选：C. 5．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【解题思路】由导数的定义化简已知，即可求解. 【解答过程】已知函数可导， ， 所以. 故选：A. 6．（24-25高二下·重庆·月考）若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】结合导数的几何意义及函数的增长趋势判断即可. 【解答过程】由图可知，单调递增，且增长趋势越来越慢， 表示函数在处切线的斜率，表示函数在处切线的斜率， 表示点与两点连线的斜率， 由图可知. 故选：D. 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，化简得到，即，结合导数的几何意义，即可求得曲线在点处的切线的斜率，得到答案. 【解答过程】由， 所以，即， 所以曲线在点处的切线的斜率是. 故选：A. 8．（24-25高二下·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解题思路】根据斜率表示变化率及导数表示瞬时速度，从而由斜率的变化得出速度的变化情况，进而得出答案． 【解答过程】根据题意， ①在时间段内，位移是一条斜率大于零的直线，则汽车在该时间段内匀速行驶，汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同，故①正确； ②在时间段内，位移是一条斜率越来越大的曲线，则汽车在该时间段内不断加速行驶，故②正确； ③在时间段内，位移是一条斜率越来越小的曲线，则汽车在该时间段内不断减速行驶，故③正确； ④汽车在时刻的瞬时速度为0，在时间段内，位移不变，则汽车在该时间段内静止不动故时刻的瞬时速度为0，故④不正确． 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】根据题意，结合极限的运算法则和导数的定义，逐项计算，即可求解. 【解答过程】对于A中，由 ，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由 ，所以C不正确； 对于D中，由 ，所以D正确； 故选：ABD. 10．（24-25高二下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】根据函数的图象确定在，处切线的斜率正负，结合导数的几何意义得导数值的正负，逐项判断即可得结论. 【解答过程】由的图象在点处的切线斜率小于0，即，故A正确； 表示的图象在点处的切线斜率，故，故B错误； 由图可知，，故，故C正确； 直线的斜率小于的图象在点处的切线斜率， 即，所以，D错误. 故选：AC. 11．（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 【答案】ABC 【解题思路】对于A，分别求出和时的蜥蜴体温，即可得到从到的蜥蜴体温下降量；对于B，根据平均变化率计算公式即可得出结果；对于C，求出，令，即可求出蜥蜴体温的瞬时变化率；对于D，令，求出的值，即是蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻. 【解答过程】对于A，当时，，当时，,所以从到，蜥蜴的体温下降了，故A正确； 对于B，从到，蜥蜴体温的平均变化率为，故B正确； 对于C，，当时，，所以当时，蜥蜴体温的瞬时变化率为，故C正确； 对于D，令，解得，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ． 【答案】4050 【解题思路】根据导数的定义得到. 【解答过程】. 故答案为：4050. 13．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 【答案】 【解题思路】根据导数的定义和几何意义即可求解. 【解答过程】根据导数的定义可知，所以， 根据导数的几何意义可知曲线在处的切线的斜率为. 故答案为：. 14．（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 【答案】 【解题思路】根据题意，由平均变化率的公式代入计算，即可得到，然后作差，即可得到其大小关系. 【解答过程】因为， ， 且，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 【答案】(1) (2)8.02 【解题思路】（1）利用平均变化率的定义求解． （2）由（1）可知，令即可求解结果． 【解答过程】（1） ， 函数在区间上的平均变化率为． （2）由（1）可知在区间上的平均变化率为， 当，时， ， 即函数在区间上的平均变化率为8.02． 16．（24-25高二·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据导数的定义即可求解. 【解答过程】（1）， 即． ． （2）， 即为函数在区间上平均变化率． ∴当时，必趋于， ， ． 17．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 【答案】(1) (2)2.1，2.001，2.00001． (3)2，几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”． (4) 【解题思路】（1）利用平均变化率的意义计算. （2）利用（1）的结论，代入计算即可. （3）利用极限的意义求出结果，并指出其几何意义. （4）利用直线的点斜式求出切线方程. 【解答过程】（1）. （2），当，0.001，0.00001时，分别为2.1，2.001，2.00001． （3），几何意义是“曲线在点处的切线的斜率为2”. （4）切线方程为，即. 18．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 【答案】(1) (2) (3)． 【解题思路】（1）根据平均速度的概念求平均速度. （2）根据求初速度. （3）根据求该物体在时的瞬时速度. 【解答过程】（1）因为该物体在内的时间变化量， 该物体在内的位移变化量， 所以该物体在内的平均速度为． （2）求该物体的初速度即求该物体在时的瞬时速度． 因为该物体的位移在附近的平均变化率． 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体的初速度为． （3）该物体在时的瞬时速度即为位移在处的瞬时变化率． 因为该物体的位移在附近的平均变化率， 当无限趋近于0时，无限趋近于， 所以该物体在时的瞬时速度为． 19．（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 【答案】(1). (2)或. 【解题思路】（1）设出切点坐标，利用导数的定义求出切线的斜率，再求切线方程，将点的坐标代入，即可进一步求得切线方程； （2）根据导数公式求切点坐标，再求切线方程. 【解答过程】（1） 又不在曲线上. 设过点的切线的切点为， 则，即该切线的斜率为. 因为点在切线上， 所以， 解得.故切线的斜率. 故曲线过点的切线方程为，即. （2）设斜率为的切线的切点为， 由（1）知，，得. 所以切点坐标为或. 故满足斜率为的曲线的切线方程为 或， 即或. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 导数的概念及其意义 【人教A版】 模块一 导数的概念 1．瞬时速度 (1)平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在t0到这段时间内的平均速度为. (2)瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当∆t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当∆t趋近于0时，的极限 是v，这时v就是物体在t=t0时的瞬时速度，即瞬时速度. 2．抛物线切线的斜率 (1)抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为. (2)抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当∆x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当∆x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率. 3．函数的平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+∆x).这时，x 的变化量为∆x，y的变化量为∆y=f(x0+∆x)- f (x0).我们把比值，即叫做函数y=f(x)从x0到x0+∆x的平均变化率. 【题型1 瞬时速度、平均速度】 【例1】（24-25高二下·福建厦门·月考）如果质点M的运动方程是，那么在时间段内的平均速度是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高二下·江苏无锡·月考）某物体沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）的关系为，则该物体在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高二·全国·课堂例题）物体运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中正确的是（   ） A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度 B．18m/s是物体从3s到这段时间内的速度 C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度 D．18m/s是物体从3s到这段时间内的平均速度 【变式1.3】（24-25高二下·北京·期中）物体甲、乙在时间0到范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是（   ）    A．在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B．在0到范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C．在时，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在时，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度 【题型2 平均变化率、瞬时变化率】 【例2】（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【变式2.1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高二下·广西南宁·期中）已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h（单位:cm）与时间t（单位:s）的函数关系式为.当时，液体上升高度的瞬时变化率为cm/s，则当时，液体上升高度的瞬时变化率为（    ） A．2 cm/s B．4 cm/s C．6 cm/s D．8 cm/s 【变式2.3】（24-25高三上·北京海淀·期中）大面积绿化可以增加地表的绿植覆盖，可以调节小环境的气温，好的绿化有助于降低气温日较差（一天气温的最高值与最低值之差）.下图是甲、乙两地某一天的气温曲线图.假设除绿化外，其它可能影响甲、乙两地温度的因素均一致，则下列结论中错误的是（    ） A．由上图推测，甲地的绿化好于乙地 B．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 C．当日时到时，甲地气温的平均变化率小于乙地气温的平均变化率 D．当日必存在一个时刻，甲、乙两地气温的瞬时变化率相同 【题型3 利用导数的定义解题】 【例3】（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）已知是定义在上的可导函数，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式3.1】（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二上·安徽六安·期末）若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.3】（24-25高二下·安徽亳州·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 模块二 导数的几何意义 1．函数在某点处的导数的几何意义 (1)切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T(T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线x0. (2)函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为. 2．导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f'(x0)是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. 【题型4 函数图象与导函数的关系】 【例4】（24-25高二下·北京顺义·期末）已知函数在上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知可导函数的部分图象如图所示，，为函数的导函数，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·重庆·月考）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4.3】（2025高二·全国·专题练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列数值排序正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型5 求曲线切线的斜率（倾斜角）】 【例5】（24-25高二下·福建福州·期中）设为上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A． B． C．1 D． 【变式5.1】（24-25高二下·四川绵阳·月考）设为可导函数且满足，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【变式5.2】（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式5.3】（24-25高二下·北京·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（ ） A．1 B．3 C．6 D．9 【题型6 求曲线的切线方程】 【例6】（24-25高二·北京·开学考试）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高二下·浙江·期中）已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式6.2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知函数． (1)求曲线上任意一点处的切线斜率； (2)求曲线在点处的切线方程． 【变式6.3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 一、单选题 1．（24-25高二下·四川南充·期末）若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·北京延庆·期末）下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·贵州贵阳·月考）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 4．（24-25高二下·四川成都·月考）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（     ） A．2 B．1 C．0 D． 5．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知函数可导，且满足，则函数在处的导数为（   ） A． B． C．1 D．3 6．（24-25高二下·重庆·月考）若函数部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二上·湖北武汉·期末）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·北京顺义·月考）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个结论： ①汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； ②汽车在时间段内不断加速行驶； ③汽车在时间段内不断减速行驶； ④汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 其中正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 9．（24-25高二下·甘肃兰州·期中）对于函数，若，则当无限趋近于0时，在下列式子中无限趋近于2的式子有（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·江西南昌·月考）已知函数的部分图象如图所示，是的导函数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·江苏连云港·期末）蜥蜴的体温与阳光照射的关系近似为，其中为蜥蜴的体温（单位：），为太阳落山后的时间（单位）.则（    ） A．从到，蜥蜴体温下降了 B．从到，蜥蜴体温的平均变化率为 C．当时，蜥蜴体温的瞬时变化率是 D．蜥蜴体温的瞬时变化率为时的时刻 三、填空题 12．（24-25高二下·江苏扬州·期中）设定义在R上的函数的导函数为 ． 13．（24-25高二下·上海·期中）若函数满足，则曲线在点处切线的斜率为 . 14．（2025·天津·一模）已知,若函数在到之间的平均变化率为，在到的平均变化为，则与的大小关系是 填， 或不确定 四、解答题 15．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知函数． (1)求函数在区间上的平均变化率； (2)求函数在区间上的平均变化率． 16．（24-25高二·全国·课后作业）已知在处的导数，求下列各式的值： (1)； (2)． 17．（2025高二·全国·专题练习）过曲线上两点和作曲线的割线． (1)求； (2)分别求当，0.001，0.00001时割线的斜率； (3)求，并说明其几何意义； (4)求曲线在点处的切线方程． 18．（2025高二·全国·专题练习）已知某物体的运动方程为（位移的单位：m，时间的单位：s）． (1)求该物体在内的平均速度； (2)求该物体的初速度； (3)求该物体在时的瞬时速度． 19．（24-25高二下·全国·课后作业）已知曲线. (1)求曲线过点的切线方程； (2)求满足斜率为的曲线的切线方程. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $