第6章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·培优卷）高二数学苏教版选择性必修第二册

第6章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·培优卷） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·河北·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的加法的三角形法则和平行四边形法则计算即可. 【解答过程】因为是边的中点，则，. 故选：B. 2．（5分）（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据模长公式即可代入求解. 【解答过程】由可得， 故，故， 故选：B. 3．（5分）（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量的基本定理结合线性运算求解. 【解答过程】, 故选：C. 4．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解题思路】依据条件，计算坐标，再利用数量积为0计算即可. 【解答过程】因，，则， 因与垂直，则，得. 故选：C. 5．（5分）（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用向量的线性运用表示向量，进而求得，进而求值即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 6．（5分）（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【解答过程】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 7．（5分）（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据四面体体积为得出,再建立空间直角坐标系求线面角正弦即可. 【解答过程】设,因为四面体体积为，所以，解得, 以分别为轴，建立空间直角坐标系，则, 所以， 设平面的法向量为, 所以，即， 令，则，所以, 设与平面所成角为， . 故选：C. 8．（5分）（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 【答案】BC 【解题思路】根据共线向量以及单位向量的定义即可求解. 【解答过程】对于A，若为零向量时，则无法得到与共线，A错误， 对于B，由可得，故∥，B正确， 对于C，零向量与任意向量共线，故C正确， 对于D，单位向量的模长相等，但是方向不一定相同,故D错误， 故选：BC. 10．（6分）（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解题思路】根据空间向量坐标表示及线性运算即可判断A；根据空间向量的模的坐标公式即可判断B；根据空间向量共线定理即可判断C；根据空间向量夹角的坐标公式即可判断D. 【解答过程】对于A，由，， 得， 所以，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，， ，故D错误. 故选：BC. 11．（6分）（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（   ）　 A．线段的长度为 B．异面直线和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 【答案】BC 【解题思路】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可判断ABC，结合等体积法即可判断D选项． 【解答过程】A选项，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系如图所示： 根据题意得，，，，，， 则，所以线段的长度为，选项A错误； B选项，又，所以异面直线和夹角余弦值为： ，选项B正确； C选项，设直线上存在点满足，且， 则，所以， 则，又，所以， 解得，则， 所以点到直线的距离为：，选项C正确； D选项，因为，选项D错误． 故选：BC． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东江门·期中）已知，则 等于 . 【答案】 【解题思路】根据空间向量加法、数量积的坐标运算求解即可. 【解答过程】， ， 所以. 故答案为：. 13．（5分）（24-25高二上·江苏·阶段练习）如图，在三棱锥中，是线段AD的中点，则 .用、、表示 【答案】 【解题思路】由空间向量的加、减、数乘运算可求得. 【解答过程】由已知， . 故答案为 ：. 14．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，，则点P到平面BQD的距离为 . 【答案】 【解题思路】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距离. 【解答过程】如图， 以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，所以. 设平面BQD的法向量为，则，令，则. 所以点P到平面BQD的距离. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 17．（15分）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)0 【解题思路】（1）由数量积和模的坐标表示计算； （2）由向量夹角的坐标表示求解． 【解答过程】（1）由题意，则， 所以，； （2）， ． 18．（17分）（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【解答过程】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 19．（17分）（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面，，，. (1)证明：平面. (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）取线段的中点，连接，求证即可由线面平行判定定理得证. （2）建立空间直角坐标系，求出向量和平面的一个法向量即可由线面角的空间向量法计算求解. 【解答过程】（1）证明：取线段的中点，连接， 因为四边形是矩形，且， 所以且， 因为且且， 所以且， 所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面 （2）因为底面平面， 所以，又因为 所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则. 设平面的法向量为，则， 令，则， 故平面的一个法向量， 设直线与平面夹角为， ， 所以，直线与平面夹角的正弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何（举一反三单元自测·培优卷） 【苏教版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（24-25高二上·河北·阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则（   ） A． B． C． D． 2．（5分）（24-25高一上·重庆·期末）已知空间向量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（5分）（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在三棱锥中，点是棱的中点，若，，，则与向量相等的向量是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知向量，，且与垂直，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 5．（5分）（24-25高二上·北京·期末）已知四棱锥的底面ABCD是平行四边形，为侧棱上的点，且， 若，则（    ） A． B． C． D． 6．（5分）（24-25高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（5分）（24-25高二上·青海西宁·阶段练习）正四棱柱中，，四面体体积为，则与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．（5分）（24-25高三上·四川达州·阶段练习）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（24-25高二上·安徽合肥·期中）下列说法正确的有（   ） A．设是空间向量，若与共线，与共线，则与共线 B．若两个非零向量与满足，则 C．零向量与任何向量都共线 D．两个单位向量一定是相等向量 10．（6分）（24-25高二上·河南商丘·期中）已知向量，满足，，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）如图，在长方体中，，，若为的中点，则以下说法中正确的是（   ）　 A．线段的长度为 B．异面直线和夹角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（24-25高二上·广东江门·期中）已知，则 等于 . 13．（5分）（24-25高二上·江苏·阶段练习）如图，在三棱锥中，是线段AD的中点，则 .用、、表示 14．（5分）（24-25高二上·全国·课后作业）如图，点P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，Q为线段AP的中点，，则点P到平面BQD的距离为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 16．（15分）（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 17．（15分）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 18．（17分）（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证：平面 19．（17分）（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面，，，. (1)证明：平面. (2)求直线与平面夹角的正弦值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $