第6章 空间向量与立体几何（举一反三讲义·基础篇）高二数学苏教版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过十大基础题型系统构建空间向量与立体几何的知识体系，梳理空间向量的概念、线性运算、数量积、坐标表示等核心内容，以递进式框架呈现知识脉络，突出空间向量在证明平行垂直等立体几何问题中的应用重点。 讲义亮点在于“举一反三”的分层练习设计，每个题型涵盖选择、填空、解答题，如用空间向量证明线面平行（题型9）培养逻辑推理的数学思维，通过坐标运算求参数（题型8）提升数学语言表达能力。基础题巩固概念，综合题深化应用，助力学生分层提升，为教师精准教学提供系统支持。

第6章 空间向量与立体几何全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 空间向量的有关概念 1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 4．（24-25高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 题型2 空间向量的线性运算 1．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·全国·课后作业）化简 . 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 5．（24-25高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型3 空间向量数量积的计算 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 ． 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． (1)试用，，表示向量 (2)求． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 题型4 用空间基底表示向量 1．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏·阶段练习）如图，在三棱锥中，是线段AD的中点，则 .用、、表示 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是的中点，试用表示以下各向量．    (1)； (2)； (3) ． 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 题型5 由空间向量基本定理求参数 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）空间四边形中，点是的中点，点是边上靠近的三等分点，设，则（    ） A．1 B． C．0 D． 2．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 题型6 空间向量运算的坐标表示 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知，则 . 4．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 5．（25-26高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 题型7 空间向量数量积运算的坐标表示 1．（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 2．（24-25高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 3．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知，则 . 4．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知，求. 题型8 根据空间向量的坐标运算求参数 1．（24-25高二上·广东清远·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知空间向量，若共面，则实数 . 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 5．（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，. (1)若，分别求与的值； (2)与垂直，求. 题型9 利用空间向量证明线、面间的平行关系 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 3．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 4．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 题型10 利用空间向量证明线、面间的垂直关系 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 2．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 3．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 . 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 空间向量与立体几何全章十大基础题型归纳（举一反三讲义·基础篇） 【苏教版】 题型1 空间向量的有关概念 1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【解题思路】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【解答过程】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．在空间中，单位向量唯一 C．若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D．若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【解题思路】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【解答过程】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·单元测试）给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【解题思路】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【解答过程】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 4．（24-25高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【解答过程】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【解题思路】（1）由体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）相等向量，需方向相同，模长相等，得到答案； （3）根据长方体特征写出与垂直的向量. 【解答过程】（1）与模相等的向量有； （2）与相等的向量有； （3）与垂直的向量有， . 题型2 空间向量的线性运算 1．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）如图，在四面体中，是棱的中点，是棱上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量的加减及数乘运算即可求解. 【解答过程】连接， 由题意，得 ． 故选：D. 2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）求为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的数乘运算以及加减运算的性质，求解即可得出答案. 【解答过程】原式 . 故选：B. 3．（24-25高二·全国·课后作业）化简 . 【答案】 【解题思路】利用空间向量的数乘运算法则即可得解. 【解答过程】 . 故答案为：. 4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)． (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 5．（24-25高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，图见解析 (2)，图见解析 (3)，图见解析 【解题思路】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【解答过程】（1）， 向量如图所示，    （2）； 向量如图所示，    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    题型3 空间向量数量积的计算 1．（24-25高二上·江西·阶段练习）关于空间向量，下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量数量积的运算律判断即可. 【解答过程】根据空间向量数量积的运算律可知：，， 均成立，即A、B、C正确； 为与共线的向量， 为与共线的向量，所以与不一定相等，故D错误． 故选：D. 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）如图，在棱长为2的正四面体（四个面都是正三角形）中，为棱的中点，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】将转化为，再利用数量积的定义求解. 【解答过程】由题意可知： . 故选：A. 3．（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）如图，在三棱锥中，平面，则 ． 【答案】 【解题思路】由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解. 【解答过程】因为平面，面， 所以，所以， 又，所以， . 故答案为：. 4．（24-25高二上·陕西汉中·阶段练习）如图，在长方体中，，点在棱的延长线上，且．设． (1)试用，，表示向量 (2)求． 【答案】(1)； (2)4 【解题思路】（1）由向量的加法运算法则，即可表示出 （2）将用，，表示，再根据向量的数量积运算法则，即可求得. 【解答过程】（1）点在棱的延长线上，且， ， ． （2）由题意得， 又， ． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正四面体的棱长为1，如图所示.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)1 【解题思路】（1）根据题意易得，，进而根据空间向量的数量积计算即可； （2）根据空间向量的数量积的运算性质求解即可. 【解答过程】（1）在正四面体中，， ， 则. （2） . 题型4 用空间基底表示向量 1．（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在四面体中，．点在上，且为中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解答过程】连接，利用空间向量基本定理可得答案. 【解题思路】连接． 故选：B. 2．（24-25高二上·新疆克孜勒苏·期末）如图，空间四边形中，，，，，点在上，且，点为中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【解答过程】连接，如下图所示： 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为点在上，且，则， 因此，. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏·阶段练习）如图，在三棱锥中，是线段AD的中点，则 .用、、表示 【答案】 【解题思路】由空间向量的加、减、数乘运算可求得. 【解答过程】由已知， . 故答案为 ：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在平行六面体中，设，，，M，N，P分别是的中点，试用表示以下各向量．    (1)； (2)； (3) ． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算结合基底向量逐项分析求解即可. 【解答过程】（1）因为P是的中点， 所以 . （2）因为N是BC的中点， 所以 . （3）因为M是的中点， 则 ； 且， 所以. 5．（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在正方体中，在上，且，在对角线上，且.若，，.    (1)用，，表示； (2)用，，表示. 【答案】(1) (2) 【解题思路】结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）因为，所以， 因为，所以， 则. 题型5 由空间向量基本定理求参数 1．（24-25高二上·福建泉州·期中）空间四边形中，点是的中点，点是边上靠近的三等分点，设，则（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【解题思路】根据题意结合空间向量的线性运算求，即可得. 【解答过程】由题可知： ， 可得，所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·福建三明·期中）如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【解答过程】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 3．（24-25高二上·广西玉林·阶段练习）在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数 . 【答案】2 【解题思路】结合空间向量基本定理，利用向量的线性运算求得，即可解答. 【解答过程】因为 ， 又， 所以，，，所以.    故答案为：2. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，四棱柱的各个面都是平行四边形，，分别在和上，且，. (1)求证:，，，四点共面； (2)已知，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【解题思路】（1）根据空间向量基本定理即可证明. （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【解答过程】（1） 因为 . 又，，有公共点，所以，，，四点共面. （2）因为 . 所以，，.所以. 5．（24-25高二上·河南郑州·期中）如图，在直三棱柱中，，分别为的中点. (1)若，求的值； (2)求. 【答案】(1)0 (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算法则，化简得到，结合，即可求解； （2）可得，结合数量积运算求解即可.. 【解答过程】（1）由向量的线性运算法则可得 ， 又因为，则， 所以. （2）由题意可知：， 又因为， 所以. 题型6 空间向量运算的坐标表示 1．（24-25高二上·湖南长沙·期中）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的减法运算求解. 【解答过程】因为， 所以 ， 故选：A. 2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·北京延庆·期中）已知，则 . 【答案】 【解题思路】应用空间向量坐标表示的线性运算律计算即可. 【解答过程】因为，所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）已知向量，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）利用空间向量坐标的线性运算可得结果； （3）利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果. 【解答过程】（1）. （2）. （3）， 所以. 5．（25-26高二·全国·课堂例题）已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据空间向量的坐标运算求解即可. 【解答过程】（1） ． （2） ． （3） . 题型7 空间向量数量积运算的坐标表示 1．（24-25高二上·广东江门·期末）若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】A 【解题思路】先求出和的向量坐标，再利用向量的数量积公式计算. 【解答过程】 则. 故选：A. 2．（24-25高二上·河北·阶段练习）若，，则（    ） A．22 B． C． D．29 【答案】C 【解题思路】利用向量数量积的坐标公式即可求值. 【解答过程】由，， 得，， 所以． 故选：C． 3．（24-25高二上·河南许昌·阶段练习）已知，则 . 【答案】2 【解题思路】由空间向量的坐标运算即可； 【解答过程】由题意可得， 故答案为：2. 4．（24-25高二上·新疆·阶段练习）已知，，. (1)求的值； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）（2）根据向量的坐标运算以及数量积的坐标运算即可求解. 【解答过程】（1）由，可得，. ，故 （2），，可得，，故. 5．（24-25高二·全国·课后作业）已知，求. 【答案】，，，， 【解题思路】利用空间向量线性运算与数量积的坐标表示即可得解. 【解答过程】由题意， ， ， ， ， . 题型8 根据空间向量的坐标运算求参数 1．（24-25高二上·广东清远·期中）已知空间向量，若共面，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解题思路】运用空间向量共面的定理，结合坐标运算即可. 【解答过程】因为若共面，则，即， 故，解得 故选:B. 2．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【解题思路】根据向量的数量积的坐标表示，列式计算，即得答案. 【解答过程】由题意知向量，，， 故， 故选：D. 3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知空间向量，若共面，则实数 . 【答案】1 【解题思路】根据给定条件，利用共面向量定理列式求出值. 【解答过程】空间向量共面，则存在实数，使得， 即，则，解得. 故答案为：1. 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知向量． (1)若共面，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) 【解题思路】（1）根据空间向量的基本定理计算即可求解； （2）根据空间向量数量积的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解. 【解答过程】（1）与不平行， 共面， 存在实数，使得，即，解得， 故实数的值为8． （2），且， ， 即，解得． 5．（24-25高二上·广西百色·阶段练习）已知，. (1)若，分别求与的值； (2)与垂直，求. 【答案】(1)， (2)或 【解题思路】（1）根据题意，设，利用空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解得实数、的值； （2）由题意可得，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值，即可得出向量的坐标. 【解答过程】（1）解：因为，，且， 设，即， 即，解得，故，. （2）解：因为与垂直， 则，解得， 当时，；当时，. 因此，或. 题型9 利用空间向量证明线、面间的平行关系 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）若直线的方向向量为，平面的法向量为，能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，逐项计算即可. 【解答过程】对于A，，A不是； 对于B，，，B是； 对于C，，C不是； 对于D，，D不是. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体中，棱长为a，M，N分别为和AC上的点，，则MN与平面的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．垂直 D．MN在平面内 【答案】B 【解题思路】以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的一个法向量，利用向量数量积的坐标运算可得线面平行． 【解答过程】以点为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 又因为平面，则为平面的一个法向量， 可得，可知， 且平面，所以MN与平面的位置关系是平行. 故选：B. 3．（24-25高二上·湖南·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【解答过程】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为：. 4．（2025高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【解答过程】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以 平面. 5．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 题型10 利用空间向量证明线、面间的垂直关系 1．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【解答过程】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 2．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知直线是正方体体对角线所在直线，为其对应棱的中点，则下列正方体的图形中满足平面的是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】B 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用向量法来判断出正确答案. 【解答过程】设正方体的边长为2， 对于图（1），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， ，， 因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（1）正确； 对于图（2），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，直线的方向向量为， 则，因为，所以与不垂直， 所以与平面不垂直，故图（2）错误； 对于图（3），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 直线的方向向量为，因为，， 所以，，，平面， 所以平面，故图（3）正确； 对于图（4），建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 直线的方向向量为，因为， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，故图（4）正确. 综上，正确的有图（1）（3）. 故选：B. 3．（24-25高二上·海南·阶段练习）已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则 . 【答案】 【解题思路】根据题设得到，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解. 【解答过程】因为平面的一个法向量，平面的一个法向量，且， 所以，即，所以，得到， 故答案为：. 4．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【解答过程】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 5．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【解答过程】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $